有关公司资产问题的数学建模

数学建模竞赛论文

论文题目：关于公司资产问题的分析与解决方案

姓名1： 李翔宇 学号：201230200134 专业：测绘工程 姓名1： 袁晨鑫 学号：201230200114专业：测绘工程 姓名1： 上官平哲 学号：201230200104专业：测绘工程

2013年 05 月 01 日

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公司资产问题的分析与解决方案

摘要

本论文主要通过数学建模型对公司资产问题来分析，论证，公司破产的概率，和股票债券的当前的价值，并且讨论投资者如何去投资，并获得最好的利益的最优方案。以及公司随时提前还贷的最佳方案。

问题一模型

【1】问题的提出：

现有20个公司（i?1,2,?20），一般来说，公司i总资产Vi满足以下关系

Vi(t??t)?Vi(t)??iVi(t)?t??iVi(t)?t??

其中?是标准正态随机变量，?i称为收益率，?i称为波动率。

假设当前市场上的借、贷利率r均为7%，公司i的总资产Vi的波动率与公司股价Si的波动率相同，中国股市一年大约开盘250天左右，各个公司前4年的股价见附件。

各个公司的债务Bi均在六年后到期且其债务受到投资公司的监管，若在债务到期日前，其资产值低于某个门槛值Hi时，此时触发监管条款进行清算而破产，或者在到期日无力偿还，公司由于违约而破产。 1.估计各公司的破产概率

2. 某投资人欲投资一笔资金于这些公司的股票，请确定最优投资策略； 3. 试估计各个公司债券的当前价值；

4. 若公司可随时提前还贷，请讨论最佳还款方法。 【2】问题的分析与假设

考虑公司的资本金盈余过程{u(t):t之0}随时间的积累问题:由于挣得的保费，随机过程u(t)随着时间连续增加，但是又由于对索赔的赔付，该随机过程会逐段有下跳.当盈余过程首次出现负值，我们就说发生了破产。而相应的概率就称为破产概率，即

其中T=inf{t:U(t)<0}通常称为破产时刻，显然为生存概率，P（T=∞）即为永不破产概率。而相应的有限时间破产概率就可以表示为

但是盈余过程为负值并不等价于公司无力偿付债务或真的破产，如果我们考虑了其它许多影响盈余的因素，盈余任有可能为正的或回复为正。破产概率可以作为综合保费和索赔过程的公司稳健性的一个指标，是风险管理的一个有用工具。破产概率高意味着公司不稳定，这时公司必须采取措施，例如进行再保或提

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高保费等，或设法吸收一些额外的资本金。

破产概率的计算是精算数学的一个经典的问题。虽然有可能求出没有破产的概率的矩母函数，但是破产概率仅仅对两种类型的索赔分布才容易计算出来。他们是指数分布及其和、混合或组合以及只取有限个值的分布。不过对其他一些分布来说，通常我们可以建立一个足够精确的上界估计Ψ(u)≤e-Ru。该表达式中的实数R被称为调节系数。这个所谓的Lundberg上界常常被用来代替真正的破产概率值。R越大，破产概率的上界就越小，从而形势就越安全。调节系数R可以通过求解方程:

来得到。其中Mx(r)表示理赔X的矩母函数:

c=(1+θ)λμ,μ=EX,这里θ≥0,称为相对安全附加因子。

【3】我们的目的是获得对破产概率的具体表达式。要想直接得到这个函数表达式非常困难，但Lundberg(1919)发现一个间接的表达方法，即引入一个能起到中介作用的参数，称为Lundbe电系数或调节系数，先把破产概率表达为调节系数的函数，再寻求对调节系数的计算。

由上面两公式知，调节系数R满足下述等式： 注意到

即知，非负函数 不是一个概率密度函数。但若令

由上式，即知f(x)为一概率密度函数，这就是调节系数R命名的由来。

对于某个确定的险种，{N(t)：t≥0}为索赔计数过程，其中N(t)表示至时刻t为止(包括时刻t)已发生的索赔次数，这里假定理赔次数过程{N(t)：t≥0}是一个参数为λ的Poisson过程，即假定发生在任何长度为h的区间内的理赔次数服从参数为λh的Poi- sson分布，而与该区间的位置以及以前的信息无关。显然，Poisson过程是一个平稳的、具有独立增量的随机过程：S(t)为到时刻t止的索赔总额，记S(t)为：S(t)=X1+X2+…+XN(t)，其中Xi为第i个理赔的额度，也即理赔量，并假设各个理赔额度是独立的且具有同一分布函数P(x)的非负随机变量，具有均值μ。

3

定义3.2根据模型(3-1)的假定，定义Ci的Laplace变换

定义Yi的矩母函数

引理3.3对于过程{R(t)，t≥0}，存在函数g(r)，使得:

E[e-rR(t)]=etg(r〕，且方程g(r)=0的解有唯一正解R,称之为调节系数。

4

故函数g(r)在r>0内是一个凸函数，进而，只要理赔量Y以正概率取足够大的值，dg(r)/dr将一直保持为正，从而g(r)在r>0内有唯一的极小值点，又g(0)=0，于是g(r)=0方程有唯一的正根，我们记之为R。在后文中出现的R皆指该处的调节系数，不再说明。

(*)式成立是因为{R(t)-R(s)}s≦t是一个平稳独立增量过程，设

则R(t)-R(s)=[S(t)-S(s)]+[S′(t)-S′(s)]+ρ[W(t)-W(s)],其中S(t)-S(s), S′(t)- S′(s)，W(t)-W(s)是相互独立的，且S(t)-S(s)服从参数为α(t-s)的复合泊松分布，S′(t)-S′(s)服从参数为β(t-s)的复合泊松分布，W(t)-W(s)服从N(0，t-s)分布。又由引理3.3，所以有(*)式成立。

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【4】最终结果的推算 定理3.1破产概率的表达式为:

证明:显然，T是σ{U(t)，t≥0}的停时，选取t0<∞,易知t0ΛT也是是σ{U(t)，t≥0}的停时，由停时定理知:E[e-RU(t0ΛT)]=e-Ru

推论3.2破产概率的一个上界。

Ψ(u)≦e-Ru

证 明: 显 然U(T)<0，所以上面的不等式中分母大于1，所以不等式成立。 定理4.3 模型(3-1)的不破产概率满足下面的积分一微分方程：

证明:在很小的时间区间(0，Δt)内，我们分以下四种情况来考察。

(Ⅰ) 在(0，Δt]内，M和N均无跳跃发生，其概率为(l-αΔt)(l-βΔt +o(Δt) (Ⅱ) 在(0，Δt]内，M有一跳，N无跳跃，其概率为α(1-βΔt)+o(Δt) (Ⅲ) 在(0，Δt]内，M无跳跃，N有一跳，其概率为那才β(1一αΔt)+o(Δt) (Ⅳ) 在(0，Δt]内，M(N)至少有两个以上的跳跃，或M，N同时有跳跃发生，其概率为o(Δt) 有全概率公式有：

利用泰勒展开式及Φ(u)具有可微性[17]我们有:

6

化简得：

【5】模型的最终破产概率

定理4．1 设定义4．1中同时含有正、负两类风险的风险过程的盈利过程U(t)=ct-S(t)，则存在函数g(r)，使得E[e-rU(t)] =etg(r)。

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有唯一正根R。称为风险模型的调节系数。

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问题二模型

【1】问题的提出：

针对日常生活中的投资问题的一般特点和要求，建立了两个遵循题目要求的单目标规划模型。在给定投资风险上限的情况下，利用多项式进行数据拟合，并对拟合函数的拐点处进行计算，从而得到最优投资点，进一步找到最优的投资方案。

【2】问题分析和基本思路

该问题是一个比较明显的策略优化问题，由于投资的风险及收益受社会、经济等因素的影响，而影响投资的盈亏趋势的直接重要因素是：每种投资项目的收益概率和风险概率的大小关系，因此我们在建立模型时不可能也没有必要考虑所有因素，只能抓住关键因素，进行合理的假设和建模。 建立模型对投资风险收益问题进行定量安排，就是根据现有的资产评估资料和原始数据，从当前实际的准备投资情况出发，并对待定的投资项目进行合理的评估，提出合理的投资要求和假定，应用科学的方法，预测出该项目资产投资所能获得的收益及出现投资失败的可能性大小，以使投资取得最好的效果。

基本符号说明

1.Xi：第Si种资产的实际购买额 2.ri：购买第Si种资产的平均收益率 3. 4.

qi：购买第Si种资产的风险损失率

iQ：购买第Si种资产的交易费

5.r0：同期银行存款利率

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6.ui：购买第Si种资产的阈值 7.Pi：购买第Si种资产的交易费率 8.D：总体风险

9.：净收益额 基本假设

1) 假设所考查的资产的平均收益率和风险损失率在决策期间内稳定，即发生的变化不会影响到投资决策。

2) 将各资产投资的总体风险用所投资资产Si中最大的一个风险来度量。 3) 假设银行同期存款利率稳定。

4) 某公司数额为M的资金不会在投资期内发生重大改变，且M足够大。 5) 题目所给数据可靠性高。 【3】模型的建立

投资组合问题中约束条件组合多样性和不确定性是本次投资组合优化问题的几个主要讨论问题。

由题目中给出的提示和我们的进一步研究，我们将此投资组合优化问题的要素归纳成： 投资资产集合：S={

fS1,S2,……,SS }

投资资产的平均收益率集合：R={r1，r2，……，rr} 投资资产的风险损失率集合：q={投资资产的交易费率集合：P={

q，q1122，……，

qq } }

p，p，……，

pp投资资产的交易费阈值集合：U={u1，u2，……，uu}

除过以上这些要素集合外，还有一个同期银行存款利率r0，即表示公司可以把资金存放到银行。因此，我们也必须将把资金存入银行当做是一种投资选择。【4】在对投资组合问题的若干要素进行统一规定后，下面来分析题目中已知的或隐含的可能约束条件:

（1）.由题目中对公司投资总额的要求可知，该时期内公司投资总额不超过M元，由于第一问中题目给出了四种可投资资产，因此当公司对这四种资产都进行投资时，总投资额不大于投资上限M元，即：

a.总购买额限制：

?Xi?14i?M

而在实际的投资过程中，投资者不可能对投资资产进行负的投资，即投资

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金额不应该小于零元： b.购买额非负限制：Xi?0 ， i=1，2，3，4

因此我们可以得到该问题的总投资额约束条件：

?Xi?14i?M

Xi?0i=1，2，3，4

（2）.在投资问题中，对于投资所引起的不良后果的考虑是必要的，即所谓投资风险问题，从题目中我们得知，在同一时期内购买各种资产的各自的风险损失率为q={

q，q12，……，

qq }，其中总体风险用所投资的各资产中风险最

大的一个来衡量，用D来表示总体风险，可以得到：D=Max

第Si种资产的实际购买额，

?Xq?，其中x是

iiiq是购买第Si种资产的风险损失率，两者之积即

i为投资第Si种资产的实际风险，取其中最大的作为总体风险。在投资问题中，应当是投资的总体风险达到近可能的小，因此我们对总体风险表达式进行一些更改，得到最终的总体风险表示式：

MinD=Max

i=1，2，3，4

（3）.由题目可知，购买

i?Xq?

iis要付交易费，费率为p，所付的交易费用可以

i分为三种情况下的交易费。第一种，当购买额不超过定值ui时，根据规定，所付交易费用为uip；第二种，当该资产的购买额为零时，所付交易费用为0；

i第三种，当购买额为xi时，而xi超过了阈值ui，则所付交易费用为xi此可得表达式如下：

p。因

iQi??uPii0iXP

i 12

X?u时，Q=uP；

Q=0；

当X=0时，

Q=XP。

当X?u时，

当0?iiiiiiiiiiii i=1，2，3，4

综上所述，我们共得到三个约束条件，其中需要注意的是，银行存款作为一种投资方案，既没有投资风险，也没有投资交易费用。因此需要与其他四种投资项目有所区别。

【5】目标函数的确定

由题目可知，该问题主要涉及投资的收益多少和风险大小，因此，我们决定将投资的收益及风险作为两个目标函数，通过约束条件对目标函数的限制，进行求解，以期得到较为满意的结果。

（1）.投资收益目标函数的确定

经过对题目的进一步研究我们发现，资产投资的预估收益应该分为三部分，即投资项目的收益，银行存款所的利息和投资项目风险所引起的资产损失。如果用总体收益表示目标函数，则只考虑了投资收益，风险和利息造成的变动将不好表示，因此我们决定用资产投资的净收益作为目标函数。由公式得：

资产投资的净收益=投资项目的收益+银行存款所得利息-投资项目风险损失 即：

总净收益=总收益+银行利息-风险损失

我们得到一个单目标的规划模型，

44????M?????r0%?QQ????xxiriiiii?1i?1i?1?? maxf= i?1

444 S.T

?Xi?1i?M

Xi?0

MinD=Max

?Xq?

iiQ

i??uPii0iXP，

iX?u时，Q=uP； Q=0；

当X=0时，

当0?iiiiiii 13

Q 当Xi?ui时，i=XiPi。

i=1，2，3，4

【6】模型求解时交易费用及最大投资风险的处理 问题一中，在交易费用的限制条件中存在三种不同的情况，这对模型的求解造成了一定困难，因为投资项目阈值的存在，使得每个投资项目的交易费用的表达式不唯一，为了方便求解，我们根据题目中的条件：数额为M的一笔相当大的资金，认为公司对每个项目的投资额只有两种情况，一种是投资额为零，则交易费用

Q=XiPi，其中Xii为零，则

Qi=0.；另一种是投资额远大于投资项目的阈值，

则交易费用仍然为i=XiPi。在本投资问题中，由于投资项目的风险不定，

为了方便，我们定义了公司所能承受的最大投资风险，即总体风险上线，把

iiMinD=Max 线性化，转化为x(i)*q(i)

Q?Xq?f?-2.2277e4?15.97e3-40.99e2?47.204e?2.4557

f随e的增大而增大，在[0,0.5]范围内f随e的增大变化明显，当e>0.8时f逐渐趋 于平缓e增大到一定范围，e的变化给引起f的变化不明显。

在问题一的要求下，最优投资组合为：将资金M用于投资资产S1，资产S2，资产S3和资产S4，其中对资产S1的投资占总投资的24.00%，对资产S2的投资占总投资的40.00%，对资产S3的投资占总投资的10.91%，对资产S4的投资占总投资的22.12%。 【7】模型评价与推广

此模型是针对总体风险可用所投资的i中最大的一个风险来度量的投资组合问题的处理方案，而对于通常的投资组合问题，其总体风险并不一定按此度量，其度量方式在专门的书中有所讲述。但对于一般投资者，在某些不太关键的投资中，依然可以采用此模型进行方案的比较和选取。本模型对投资者关于风险的态度有一定的依赖性，因此投资者的风险承受上限在一定程度上决定了最终的方案。

模型的应用是在金融市场较稳定的情况下进行的，此时的平均收益率，风险损失率和交易费用变化不是很大，由前面的灵敏度分析可知，在这种情况下模型的决策作用是比较稳定的，有利于投资方案的确定。其次，由于在通常情况下，投资者的投资金额是大于投资阈值的，这一点与模型的建立条件吻合，因此使模型的可用性增强。

s

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问题三模型

【1】问题的分析与假设

分析债券的投资价值需要通过一些数学模型的运算来进行量化考察，一方面是计算债券的理论价值，另一方面是分析债券面临的利率风险，通过债券的久期这个指标来衡量。

计算债券的理论价值，都应运用现金流贴现原则，这是适用于各种债券的原理。具体的做法是将该债券未来能够回收的价值都进行折现，也就是求现值。即通过债券发行人将来支付的利息和面值，用合理的收益率计算其现值，这个现值即债券的合理价值，可以与市场价格进行比较，从而决定购买、卖出或持有。也可以将市场价格作为现值，未来的利息收入与面值作为年金与终值，从而计算其到期收益率，来分析其是否理想。

计算债券所面临的利率风险，要用到久期指标。久期可以直接用来衡量债券的利率敏感性，理论上讲，用久期乘以利率变动的幅度即为债券价格变动的幅度，只是变动方向相反。零息债券与到期一次还本付息债券的久期均为其到期期限，分次付息的债券久期的计算比较复杂，先对每次收到的收益进行折现，确定该现值在理论价值中的比例，再对相应期限进行加权平均。债券的久期就是加权平均的回收期。

所谓到期收益，是指将债券持有到偿还期所获得的收益，包括到期的全部利息。到期收益率又称最终收益率，是投资购买国债的内部收益率，即可以使投资购买国债获得的未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率。 （贴现率指持票人以没有到期的票据向银行要求兑现，银行将利息先行扣除所使用的利率）

它相当于投资者按照当前市场价格购买并且一直持有到满期时可以获得的年平均收益率。

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【2】模型的建立

假设现有5年期国债两种，分别按半年和一年付息方式发行，面值1000元，票面利率6%，年收益率利率8%，分别计算其理论发行价格。

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R——债券的名义收益率； 1F——债券面值；

i——债券票面年利率；

P2——债券卖出价或到期收回的本金； P1——债券投资的购买价

m——投资期间利息支付年数； n——债券投资年数。

F?i?m?（P?P）R?P?n以上计算公式没有考虑把获得的利息进行再投资的因素。把所获利息的再投资收益计入债券收益，据此计算出来的收益率，即为复利收益率。 【3】模型的求解

设其发行价格为x元，则： （1） 半年付息情况下：

解方程得：X＝931.79元

（2） 一年付息情况下：

解方程得：X＝928.5元

1该债券每次所付利息=100×12%×2=6（元）

设持有期收益率为r，则有

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问题四模型

【1】问题的提出

假设当前市场上的借、贷利率r均为7%，各个公司的债务Bi均在六年后到期且其债务受到投资公司的监管，若在债务到期日前，其资产值低于某个门槛值Hi时，此时触发监管条款进行清算而破产，或者在到期日无力偿还，公司由于违约而破产。

我国现行公司还款方式有两种:

第一种：等额本金还款。本案例中的还款金额仅以第一个月为计算依据，之后每月还款金额会逐月递减。

第二种：等额本息还款。等额本息还款每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

若公司可随时提前还贷，讨论最佳还款方法。 现通过数学模型完成以下任务：

1、 分别给出等额本金还款法和等额本息还款法的月供金额的计算方法。 2、 通过具体的数据计算每种贷款方法月供金额和月支付利息。 3、 分别计算两种方法在贷款期限内的总还款额和总支付利息。

4、 由计算数据分析两种方法的还款特点及规律，并分析适用的人群。 【2】模型的假设

1.银行在贷款期利率不变

2.在这段期间内不考虑经济波动的影响 3.银行利息按复利计算

4.投资公司在还款期内还款能力不变 【3】模型的参数及说明 1、 a：表示贷款本金； 2、 ?i：月还款本金； 3、 r：表示月利率； 4、 n:表示还款月数；

5、 pi：表示第i个月的还款额； 6、 qi：表示第i个月还款前所剩贷款额； 7、 s：总还款金额； 8、 l：总支付利息； 9、 bi：月支付利息； 10、

R:年利率；

11、 【4】模型的分析

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

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1) 等额本金还款方式，就是投资公司将贷款

额平均分摊到整个还款期内，每月归还，同时付清自上一个还款日

至本次还款间的贷款余额所产生的利息。所谓等额本金还款，又称利随本清、等本不等息还款法。投资公司将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。

每月还款额 = （贷款本金 / 还款月数）+（本金 — 已归还本金累计额）×每月利率

第i个月月支付利息=第i个月后所剩余的贷款额×月利率 用数学公式直观的表示如下： 第i月还款时需还款的本金为：

?i?an

??i?1?a??rbi??a??n??第i 月所还利息金额为：

pi?第i 月还款总额为：

l?a?r?a??i?1?a???a???rn?n?

所还总利息：

n?12

n?12

还款总额为：

s?a?a?r?2) 一般银行所使用的等额本息还款方式，是指投资公司每月以相等的金额偿还贷款本息，但是每月利息和本金所占的比例不同。

即把公司债务的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。这种方法是目前最为普遍，也是大部分银行长期推荐的方式。

每月还款额 = [贷款本金×月利率×（1+月利率）^还款月数]÷[（1+月利率）^还款月数－1]

第i个月月支付利息= [贷款本金×月利率×（1+月利率）^还款月数]÷[（1+月利率）^还款月数－1]－[贷款本金×月利率×（1+月利率）^（i－1）]÷[（1+月利率）^还款月数－1]

用数学公式直观的表示如下：

?1?r??i?a?r?n1?r??1?第m 月还款时需还款的本金为： ?1?r???1?r?bi?a?n1?r??1?第i月所还利息金额为：

ni?1i?1?r

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pi?a?r??1?r?n第i月还款总额为：

l?a??1?r??1?r?nnnn?1n

(n?r?1)??1?r??1?1所还总利息：

s?

a?r??1?r??1?r??1 还款总额为：3) 提前还款是指借款方在还款期未到之前即先行偿还贷款的行为。提前还款在某些情况下对投资公司有利而对贷款人不利，所以是否允许提前还款以及提前还款的条件应予明确规定。提前还款包括提前全部还款、提前部分还款且贷款期限不变、提前部分还款的同时缩短贷款期限三种情况。贷款银行只能受理自发放投资公司贷款一年后投资公司提前还款的申请。用数学公式直观的描述如下：提前还款所付总额= 本金+还款之前产生的利息

aa??s?a?a?r?(a?2?)?r?...??a??j?1????rnn? ??na?r?j??j?1?s?a?a?r?j?2n简化得

等额本息贷款法：

假设投资公司在第j个月将所剩金额一次还清，则第j个月应还款金额为：

pj?a?r??1?r?n

则全部还完后总的还款金额为：

pj?a?r??1?r?n?1?r?n?1?a???ii?1j?1?r?n?1?j?a??1?r??ja?r??1?r?n?1?r?n?1?1?r??rj?1

【5】模型的建立及解

我们建立了一个关于等额本金与等额本息的贷款问题模型如下：

在满足模型假设的情况下，假设贷款总额a为200000 元，年利率r为0.07，月利率r 为0.0067，贷款期数n为72 个月。 1、 等额本金贷款法

所谓等额本金还款，又称利随本清、等本不等息还款法。投资公司将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。

投资公司每月需支付的贷款本金为贷款本金除以总还款月份，即：

?i?an

（i?1）?a/n 第i个月还款前所剩贷款额qi?a?每月需支付利息为上月还款后剩余本金乘以月利率：bi?qi?r

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则月还款额计算公式：

pi?a/n?qi?r 月支付利息计算公式：

bi?qi?r

一般银行所使用的等额本金还款方式，就是投资公司将贷款额平均分摊到整个还款期内，每月归还，同时付清自上一个还款日至本次还款间的贷款余额所产生的利息。

第i月还款时需还款的本金为：

?i?an

??i?1?a??rbi??a??n?? 第i 月所还利息金额为：

第i 月还款总额为：

l?a?r?a??i?1?a?pi???a???rn?n?n?12

n?12

所还总利息：

还款总额为：

s?a?a?r?计算所得各项还款金额为：

b p ? i 1 1111.11 1340 2451.11 2 1111.11 1332.56 2443.67 3 1111.11 1325.11 2436.22 4 1111.11 1317.67 2428.78 5 1111.11 1310.22 2421.33 … … … … 71 1111.11 14.89 1126.00 72 1111.11 7.44 1118.56 所还总利息l为121270 元 所还总金额s为321270元 使用等额本金还款，开始时每月负担比等额本息要重。尤其是在贷款总额比较大的情况下，相差可能达千元。

由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月递减，因此，等额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减。 2、 等额本息贷款法：

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2、 提前还款一次性还清的等额本金和等额本息的Matlab运行代码： x=1:1:180;

y=200000*0.0067*1.0067^180*x/(1.0067^180-1)+200000*1.0067.^x-(200000*0.0067*1.0067^180.*x/(1.0067^180-1)).*(1.0067.^x-1)/0.0067; plot(x,y)

z=200000+200000*0.0067*x-(200000*0.0067*(x.^2-x))/360; plot(x,z)

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