《现代控制理论基础》第八章(1)

哈工大,自动控制原理下,考研出题老师的课件!!!!

《自动控制原理》 (下册)现代控制理论基础1

哈尔滨工业大学控制科学与工程系史小平 2010年3月2

1

2

第八章线性系统的状态空间分析法目录 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6线性系统的状态空间描述线性系统的运动分析——状态转移矩阵线性系统的能控性、能观性及对偶原理线性系统的能控规范型和能观规范型线性系统的实现线性离散系统的分析3

8.1线性系统的状态空间描述8.1.1线性系统的状态空间描述一.状态变量 1.状态变量——足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量； 2.一个用阶微分方程描述的系统，就有个独立变量； 3.系统状态变量就是阶系统的个独立变量； 4.阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道个独立的初始条件； 5.个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻 t0时的值。 4

n

n

n n

n

n

n

3

4

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三.状态空间二.状态向量x x以状态变量 x1 (t ), 2 (t ),…, n (t )为坐标轴所构 n维空间，称为状态空间。

x x如果 n个状态变量用 x1 (t ), 2 (t ),…, n (t )表示，并把这些状态变量看作是向量 x (t )的分量，则就称 x (t )为状态向量，记作

成的

x (t ) x1 (t ) x2 (t ) xn (t )

T

在特定时刻 t,状态向量 x (t )在状态空间中是一点。已知初始时刻 t0的状态向量 x (t0 ),就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x (t )将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线或状态轨迹。

5

6

5

6

四.状态方程

R+

由系统的状态变量所构成的一阶常微分方程组称为系统的状态方程。

u (t )-

iL

C

uC (t )

举例说明状态方程的列写过程。

图1

典型的

RLC

电路

图1是一个 R L C网络，此系统有两个独立的储能元件，即电容 C和电感 L,所以应该有两个状态变量。7 8

7

8

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根据电路理论，很容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：状态变量的选取，原则上是任意的，但是考虑到电容的储能与其两端的电压 uc有关，电感的储能与流经它的电流 i直接相关，故通常就以 uc和 i作为此系统的两个状态变量。

R+

u (t )-

i

C

u C (t )

9

L du C c i dt di L Ri uc u dt

10

9

10

du C c i dt

式(8-1)就是图示系统的状态方程，令：

x1 uc

x2 i

di L Ri uc u dt1 uc C i i 1 u R i 1 u c L L L

1 uc C i i 1 u R i 1 u c L L L (8-1)

(8-1)

11

x1 0状态方程： x2 1 L

1 0 C x1 u (8-2) R 1 x2

L 12 L

11

12

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或

五.输出方程

x Ax bu其中

在系统指定输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。在上例中，如果系统指定

x1 uc作为输出，

x x 1 x2

0 A 1 L

1 C R L

0 b 1 L

则(输出一般用

y表示)有y ucy x1

或

(8-3)14

13

13

14

这个输出方程可以用矩阵形式表示为

六.状态空间表达式

x y 1 0 1 x2 或

状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 (8-4)例如在上例中，式(8-2)、(8-4)合称为一个状态空间表达式。

y cT x式中

cT 1 0 15 16

15

16

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例如，在上例中，在以 uc作为输出时，从状态方程式(8-1)中消去变量 i,以便得出高阶微分方程：在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程，这就可以进一步得出系统的传递函数描述。

1 uc C i i 1 u R i 1 u c L L L 消去变量 i

(8-1)

17

uc

R 1 1 uc uc u L LC LC

(8-5)18

17

18

根据式(8-5)可以写出其相应的传递函数为如果要将高阶微分方程或传递函数变换为状态方程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选择可以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性，归根到底是由于系统结构的不确定性造成的。考虑上例的情况，按照式(8-5)或(8-6),如果另外选择状态变量，

1 uc ( s ) LC u (s) s 2 R s 1 L LC

(8-6)

19

20

19

20

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即选择

即

x1 uc则

x2 uc

x1 uc x2 x2 u c 1 1 R uc uc u LC L LC(8-7)21

0 x 1 LC

1 0 R x 1 u LC L

(8-8)

这就是该系统的另一个状态方程，比较式(8-2)与 (8-8)可知，显然它们是不同的。

1 R 1 x1 x2 u LC L LC

22

21

22

从理论上来说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但是在工程实践中，仍然以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往要求将状态变量作为反馈量。下面介绍一般情况。设有一个单输入单输出定常系统，其状态变量为 x1, x2, , xn,则状态方程的一般形式为：

x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu输出方程

则有如下形式：

23

24

23

24

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y c1 x1 c2 x2 cn xn用矩阵形式表示，状态空间表达式则为

x Ax bu y cx x1 x x 2 xn

(8-9)

a11 a12 a1n a a22 a2 n 表示 n n的系统矩阵， A 21 an1 an 2 ann

式中

表示

n维状态向量，25

b1 b b 2 表示 n 1的输入矩阵。 bn

26

25

26

对于一个复杂系统，具有此时状态方程变为

m r个输入，个输出，

至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能包含输入向量的直接传递关系，因而有如下的一般形式：

x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x27

y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1rur y2 c21x1 c22x2 c2n xn d21u1 d22u2 d2rur ym cm1x1 cm2 x2 cmnxn dm1u1 dm2u2 dmrur28

27

28

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多输入多输出系统的状态空间表达式用矩阵形式表示就是：

式中

x

x Ax Bu (8-10) y Cx Du 和 A的意义及形式与单输入单输出系统相同，

u1 u u 2 ur

y1 y y 2 表示 m维输出向量。 ym

表示

r维输入向量，29

b11 b12 b b B 21 22 bn1 bn 2

b1r b2 r 表示 n r的输入矩阵， bnr 30

29

30

除特殊申明外，一般情况下均令 D

0。

c11 c12 c c22 C 21 cm1 cm 2

c1n c2 n 表示 m n的输出矩阵， cmn

d11 d12 d d 22 D 21 d m1 d m 2

d1r d 2 r 表示 m r的直接传递矩阵， d mr 31

32

31

32

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七.状态空间表达式的系统方块图单输入单输出系统的方块图如图2所示。

多输入多输出系统的方块图如图3所示。

Dc

u

b

++

x

A

x

yu

B

++

x

A

x

+

y

C

+

图2单输入单输出线性系统方块图33

图3多输入多输出线性系统方块图34

33

34

8.1.2线性系统的状态空间表达式的建立状态空间表达式是系统的一种完全描述，它既反映了外部输入输出关系，也反映了内部状态变量与外部信号的关系。一.根据系统的方块图建立状态空间表达式[例1]给定单输入单输出系统的方块图如下

u-

K1 T1s 1

K2 T2 s 1

K3 T3 s

y

K4试写出其状态空间表达式。35 36

35

36

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[解]第一步：将方块图改画成模拟结构图首先考虑一个子模块该子模块的模拟结构图为

K1 Ts 1 1改画为

K1 T1

-

1 T1

K1 T1 1 s T1

37

38

37

38

整个系统的模拟结构图为

第二步：根据模拟结构图写出状态方程

u-

K1 T1

-

1 T1

x3

K2 T2

-

1 T2

x2

K3 T3

x1 y

K4

K3 x2 T3 K 1 x2 x2 2 x3 T2 T2 KK K 1 x3 x3 1 4 x1 1 u T1 T1 T1 x1

y x139 40

39

40

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写成矩阵形式，即得状态空间表达式：

[例2]考虑一个含有零点的单输入单输出系统的方块图

0 x 0 K1 K 4 T1

K3 T3 1 T2 0

0 0 K2 x 0 u T2 K 1 1 T1 T1

u-

s z s p

K s

1 s a

y

试写出其状态空间表达式。[解]第一步：将方块图改画成模拟结构图41 42

y 1 0 0 x

41

42

首先考虑含有零点的模块

s z s p将其展开成部分分式得：

z p s p

+

s z z p 1 s p s p该模块可以改画为43

画出原系统的等价方块图如下：

44

43

44

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u-

z p x3 s p

+

K s

x2

1 s a

x1 y

u-

z p

-

p

x3

+K

x2-

a

x1 y

画出原系统的模拟结构图如下：45 46

45

46

第二步：根据模拟结构图写出状态方程

二.根据系统的机理建立状态空间表达式控制系统按照能量属性分类：

1 0 0 a K x K u x 0 K z p ( z p ) 0 p y 1 0 0 x47

电气

机械

机电牛顿定律

气动液压

热力

物理定理定律

状态空间能量守恒定律基尔霍夫定律48

表达式

47

48

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[例3]电网络如图所示，输入量为电流源，并指定以电容 C1和 C2上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。

[解]

本电网络有2个电容器和2个电感器，共4个

+a

uC2 C2b

储能元件，共有4个状态变量。

i1L1

i 2 l3L2 C1

令 c

x1 uC1 x2 uC2

iR1

i3

u C1

+ -

i4R2

x3 i1 x4 i2

l1

l249

50

49

50

按照节点a、b、c的顺序，由基尔霍夫电流定律得

x2x3x4

x2x3x4

x1节点a:

x1

i i3 x3 C2 x2 0

节点b:51

C1 x1 x3 x4 0

52

51

52

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x2x3x4

按照回路l1、 l2、l3的顺序，由基尔霍夫电压定律得

x2x3x4

x1

x1回路l1

节点c:

C2 x2 x4 i4 0

53

L1 x3 x1 R1i3 0

54

53

54

x2x3x4

x2x3x4

x1

x1

回路l2

x1 L2 x4 R2i4 0

55

回路l3

L2 x4 L1 x3 x2 0

56

55

56

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从以上6个式子中消去非独立变量 i3和 i4,得

从以上4式解出表达式 0 x1

x 0 2 x3 1 x4 L1 1 L257

x1, x2, x3, x4,最后得状态空间 1 C1 R2 x` C2 ( R1 R2 ) x2 x3 R1 R2 L1 ( R1 R2 ) x4 R1 R2 L2 ( R1 R2 ) 1 C158

1 1 x3 x4 C1 C1 R1C2 x2 L1 x3 x1 R1 x3 R1i x1

0 1 C2 ( R1 R2 ) R1 L1 ( R1 R2 )

R1 C2 ( R1 R2 ) R1 R2 L1 ( R1 R2 ) R1 R2 L2 ( R1 R2 )

R2C2 x2 L2 x4 x1 R2 x4 L1 x3 L2 x4 x2

R2 L2 ( R1 R2 )

57

58

0 R1 C2 ( R1 R2 ) i R1 R2 L1 ( R1 R2 ) R1 R2 L2 ( R1 R2 ) 59

x1 y1 uC1 1 0 0 0 x2 y u 0 1 0 0 x 3 2 C2 x4

60

59

60

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[例4]

试列写如图所示机械旋转运动模型的状态空间

[解]

表达式。

选择扭转轴的转角变量，即

及其角速度 为状态

x1

x2 并令扭转力矩为控制量，即

J K T

转动惯量

B

粘性阻尼系数61

u T62

扭转轴的刚性系数施加于扭转轴上的力矩

61

62

于是有

从而有

x1 x2 x 2

x1 x2 x2 K B 1 x1 x2 u J J J

根据牛顿第二定律有：

K B 1 T J J J63

指定 x1为输出，即

y x164

63

64

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写成矩阵形式为

[例5]

研究双容水箱水位调节系统的数学模型。泵1

1 0 0 x1 x1 u x2 K B x2 1 J J J x y 1 0 1 x2 65

f1 h1 f12泵2

h2 f266

65

66

泵1

f1 h1 f12dh1 (t ) dt dh2 (t ) dt 1 f1 (t ) f12 (t ) A 1 f12 (t ) f 2 (t ) A泵2

dh1 (t ) dt dh2 (t ) dt

1 f1 (t ) f12 (t ) A 1 f12 (t ) f 2 (t ) A

h2 f2近似为自由落体速度

f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t )

dh1 (t ) 1 f1 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t ) A dt dh2 (t ) 1 2 g h1 (t ) h2 (t ) f 2 (t ) A dt68

水箱横截面积

f12 (t ) 2 g h1 (t ) h2 (t ) 67

67

68

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dh1 (t ) 1 1 2 g h1 (t ) h2 (t ) f1 (t ) A A dt dh2 (t ) 1 1 2 g h1 (t ) h2 (t ) f 2 (t ) A A dt注意：大多数系统属于非线性系统。

本次课内容总结状态变量的概念；状态空间表达式的概念；如何从方块图入手求得状态空间表达式；如何用机

理建模的方法求取状态空间表达式。

课后思考题1:如何将上述非线性模型线性化？69

70

69

70

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/imt1.html