清华大学 杨虎 应用数理统计课后习题参考答案2

习题三

1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量X?N(4.55,0.108).现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（??0.05）？

解 由题意知 X~N(4.55,0.108),n?5,??0.05，u1??/2?u0.975?1.96，设立统计原假设 H0:???0,H1:???0 拒

绝

域

为

22K0??x??0?c?，临界值

c?u1??/2?n?1.96?0.108/5?0.0947，

由于 x??0?4.364?4.55?0.186?c，所以拒绝H0，总体的均值有显著性

变化.

设立统计原假设 H0:???0,H1:???0 由于???0，所以当??0.05时

2222?2?1(X??)2?0.03694,?2(5)?0.83,?2(5)?12.83, S?i0.0250.975ni?122(5)/5?0.166,c2??0.975(5)/5?2.567 c1??0.025n22?2/?0?2/?0?c2或s?c1 拒绝域为 K0?s???/??3.167?2.567，所以拒绝H，总体的方差有显著性变化. 由于S00222 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为

x=950h .已知该种元件寿命X?N(100,?2)，问这批元件是否合格（??0.05）？

解 由题意知 X?N(100,?)，设立统计原假设

2H0:???0,H1:???0,??100.??0.05.

拒绝域为 K0?x??0?c 临界值为 c?u0.05????n?u0.05?10025??32.9

由于 x??0??50?c，所以拒绝H0，元件不合格.

3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g，现从某天生产的

罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（??0.05）？ 2）能

否认为这批罐头重量的方差为5.52（??0.05）？

解 （1）设X表示罐头的重量(单位：g). 由题意知X?N(?,?),?已知 设立统计原假设 H0:???0?500,H1:???0,拒绝域 K0?x??0?c 当??0.05时，x?500.89,s?34.5,s?5.8737 临界值 c?t1??2(n?1)?s22??n?4.5149，由于x??0?0.8889?c，

所以接受H0，机器工作正常.

（2）设X表示罐头的重量(单位：g). 由题意知X?N(?,?)，?已知

22设立统计原假设 H0:?2??0 ?5.52,H1:?2??0222?2?0?2?0?c1?s?c2 当?=0.05时，可得 拒绝域为 K0?s????22?2?34.5,?0.025x?500.89,s(5)?2.7,?0.975(5)?19.02,c1?0.3,c2?2.11

2?2?0由于s?1.0138?K0,所以接受H0，可以认为方差为5.52.

4 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直稳定在3.25（元/500克）左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（??0.05）

解 设X表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知X?N(?,?) 设立统计原假设 H0:???0?3.25,H1:???0, 拒绝域为 K0??x??0?c? 当?=0.05时，x?3.399,??0.269,n?20,临界值c??1????2n?0.0992

由于x??0?3.399?3.25?0.149?c.所以拒绝H0，当前的鸡蛋售价明显高于

往年.

5 已知某厂生产的维尼纶纤度X?N(?,0.048)，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差?2是否明显变大了（??0.05）？

解 由题意知 X?N(?,0.048)，??0.05

222222设立统计原假设 H0:???0?0.048,H1:???0?0.048

2222拒绝域为K0?s?0?c， 当??0.05时，

??22x?1.4213,s2?0.0055,?0.95(7)?14.07,c??0.95(7)7?2.0096

2由于s2?0?2.3988?c，所以拒绝H0，认为强度的方差明显变大.

6 某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h，标准差不得超过130h.现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值1950h,标准差s?148h.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 ?=0.05下, 确定这批元件是否合格.

解 设X表示电子元件的平均寿命（单位：h），由题意知X?N(?,?) 设立统计原假设 H0:???0=2000，H1：?

当??0.05时，x?1950,s?148,临界值c?t?(n?1)s2n??50.64

由于 x??0??50?c，所以接受H0，即这批电子元件的寿命是合格的. 7 设X1,X2,...,Xn为来自总体X?N(?,4的)样本，已知对统计假H0:??1;H1:??2.5 的拒绝域为?0??X?2?.1）当n?9时，求犯两类错的概率?与?；2）证明：当n→?时，?→0，?→0.

解 （1）由题意知 X~N(?,4),H0:??1;H1:??2.5,K0?X?2,n?9. 犯第一类错误的概率为

????P?X?2??1??P?犯第二类错误的概率为

?X?1?2?19?9?1.5??1??(1.5)?0.0668.

2?2???P?X?2??2.5??P??X?2.5?2?2.59?9??0.75?2?2?

??(?0.75)?1??(0.75)?0.2266.（2）若H0:??1成立，则X?N(1,4)

?n?P(否定H0H0成立)=P?X??0?c??1?P?X??0?c??1??(nc?0)

当n??时，?(nc?0)?1，所以?n?0(n??)

同理 ?n=PX

解 由题意知 X?N(?,4),?已知, 设立统计原假设 H0:??15,H1:??15 则拒绝域为K0?X?15?c，其中临界值c??0.05??????n??3.3n

犯第二类错误的概率

???3.32n?3.3????P?X?15???13??P?X?13??0.05 ???nn????即 ?(n?1.65)?0.95, 化简得 n?3.32?11.

9 设X1,X2,...,Xn为来自总体X～N(?,?02)的样本，?02为已知, 对假设：

?02H0:???0;H1:???1其中?0??1，试证明：n?(?1????1??)?

(?1??2)2解 （1）当?1>?0时,由题意知 H0:???0;H1:???1??0;

2犯第一，二类错误分别为?,?，则有??P(X??0?c|???0)?c?u1???0n

??P(X??0?c|???1)?P(X??1?0n?u1????1??0n|???1)??0????u1???u1??2?1??0?1??0?02?n?u1???u1???n?n??u1???u1???2?0?0??1??0? （2）当?1??0时

由题意知 H0:???0,H1:???1??0，犯第一，二类错误分别为?,?，则有

??P(X??0?c|???0)?c?u??0n

??P(X??0?c|???1)?P(u1???u??10 设

X??1?0n?u???0??1n|???1)??022?0??1???1?0n?u1???u1???0n?n??u1???u1???2?0?0??1??0?X1,...,X17为总体

X?N(0?2,样)本，对假设：

H0:?2?9,H1:?2?2.905的

拒绝域为 K0?s?4.93. 求犯第Ⅰ类错误的概率?和犯第Ⅱ类错的概率?. 解 由题意知 X?N(0,?),

2?2??2ns?2~?2(n).

22?2?4.93 统计假设为 H0:??9,H1:??2.905. 拒绝域为 K0?s??则犯第一，二类错误的概率?,?分别是

?217?4??217?4?17s?17s???4??9?P???Ps??P??7.304????0.0259?9?9?9??22??2?4?2?3.319?1?P???Ps????17s?17?4??20.488??1?0.75?0.25?3.3193.319?2

11 设总体是密度函数是

??x??1,0?x?1f(x;?)??

?0,其他统计假设 H0:??1,H1:??2.现从总体中抽取样本X1,X2,拒绝域

Κ???X2?，求：两类错误的概率?,? 4X?1?解 由题意知

?3??3?H0:??1;H1:??2,K0???X2?,n?2.

?4X1?当??1时，f(x;1)?1.X~U(0,1),f(x1,x2)??此时 ??P??1,0?x1,x2?1

?0,其他?3??X2??1???4X1?3?x24x1??f(x1,x2)dx1dx2?0.25?0.75ln0.75.

当??2时，f(x;2)??此时 ??P??2x,0?x?1?4xx,0?x1,x2?1.f(x1,x2)??12

0,其他0,其他???3??X2??2???4X1?23?x24x1??f(x1,x2)dx1dx2?99?ln0.75. 16812 设总体X?N(?,?)，根据假设检验的基本原理，对统计假设：

H0:???0,H1:???1(??0)(?已知)；H0:???0,H1:???0（?未知），试分

析其拒绝域.

解 由题意知 X?N(?,?),当H0:???0,H1:???1(??0)成立时

2??P?X???c???0??P??X??0??/n?c??c??1?????

?/n???/n?c??u1??,c?u1??,K0??X??0?c?

?/nn所以拒绝域为 K0?X??0?c

??

??24.6286?0.0589x 样本线性回归方程为：y2 证明线性回归函数中

??(1)回归系数?1的置信水平为1??的置信区间为?1??lxxt1?(n?2)；

?2????(2)回归系数?0的置信水平为1??的置信区间为?01n?x2lxxt1?(n?2).

?22???????11?证 (1) 由于?1?N??1,lxx?N?0,1? ?，所以l?xx??2??SE2又因为：2??(n?2)，故2??n?2???2(n?2)

?2????11lxx?t?n?2? 所以 ??易知

???p?11??lxx?????1???c?1??，P???????clxx?lxx???1??

????其中c=t1??2?n?2?

??lxxt1?(n?2)

?2??所以?1的置信水平为1??的置信区间为?11x22?(2) 由?0～N(?0,(?)?)，得

nlxx????00x2??nlxx1?2?n?2??22?与???lxx?N?0,1?，，相互独立， ??(n?2)02?????00?所以：T?1n?2xlxx2lxx???????001n??n?2???2?n?2??xlxx2lxx?t?n?2?

?????????00根据1???P?T?t?(n?2)??P?21?1x?2??????nlxx?

lxx????t?(n?2)? 1?2???

??1x21x2????????nlnl? xxxx?????P??tn?2????tn?2????0?00???1?1?lxxlxx22??????x2???nlxx1??得到?0的置信度为1??的置信区间?0lxxt1??2?n?2?.

3 某河流溶解氧浓度（以百万分之一计）随着水向下游流动时间加长而下降.现测得8组数据如下表所示.求溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以

?=0.05对回归显著性作检验.

流动时间t（天）

溶解氧浓度（百万分之

一）

0.5 1.0 1.6 1.8 2.6 3.2 3.8 4.7 0.28 0.29 0.29 0.18 0.17 0.18 0.10 0.12

??ltynn?1??解 利用?其中lty??tiyi?nty,ltt??ti2?nt2 ltti?1i?1?????0?y??1t???0.0472,???0.3145 代入样本数据得到： ?10??0.3145?0.0472t 所以，样本线性回归方程为：y?2?c 拒绝域形式为：?1??而c??2F0.95?1,6??ltt,?2?0.0022，所以回归模型不显著. c?0.0058??14 假设X是一可控制变量，Y是一随机变量,服从正态分布.现在不同的X值下

分别对Y 进行观测，得如下数据

yi

xi

xi yi

0.25 2.57 0.75 1.41 0.37 2.31 0.82 1.33 0.44 2.12 0.84 1.31 0.55 1.92 0.87 1.25 0.60 1.75 0.88 1.20 0.62 1.71 0.90 1.19 0.68 1.60 0.95 1.15 0.70 1.51 1.00 1.00 0.73 1.50

(1)假设X与Y有线性相关关系，求Y对X样本回归直线方程，并求DY??2的无偏估计；

(2)求回归系数?0、?1、?2的置信度为95%的置信区间； (3)检验Y和X之间的线性关系是否显著（?=0.05）； (4)求Y 置信度为95%的预测区间；

(5)为了把Y的观测值限制在(1.08,1.68)，需把x的值限制在什么范围？（?=0.05）

??lxynn??1?22lxx解 (1) 利用?其中lxy??xiyi?nxy,lxx??xi?nx计算得

i?1i?1?????0?y??1x???2.0698,???3.0332 ?102SE????3.0332?2.0698x，??0.0020 所以，样本线性回归方程为：y152???t??n?2?，代入值计算得到： (2) 根据第二题，?1的置信区间为?1?lxx1?2?1???2.1825,?1.9571?，

21x?????t??n?2?，代入数值计算得到： ?0的置信区间为?0nlxx1?2

?0??2.95069,3.1160?.

(3) 根据F检验法，其拒绝域形式为 K0???2?c ?1?而 c???lxxt1??2(n?2), 显然?1?K0，所以Y和X之间具有显著的线性关系.

(4)

?x?x?y?N(0,(lxx221?1?)?2)n,

?x?x?令s(x)?lxx?1y?y?1?，?N(0,1)

ns(x)??2(n?2)??2??2(n?2),?y?y?t(n?2) ?s(x)???s(x)??t则有 y?(y1??2??s(x)??t(n?2),y?21??2(n?2))

?2????s(x)t(5) 根据(4)的结论，令 y解得 x?(0.7802,0.8172)

1?????s(x)t?1.68，y1??1.08

?,??相互独立的充分必要条件是x?0. 5 证明对一元线性回归系数?01证 \?\

?,???E????cov?0100????????????y???x?????????

111011????2x??????E(y?1101?y?1??1?1x??0?1)

?2????y??x?2??? ?y?1?xE?1011101?2??2 ??xE?11?2?D??2?(E??)2????2 E?1111lxx?,???0，那么x若要cov?01反之显然也成立，命题的证.

6 设n组观测值(xi,yi)(i?1,2,...,n)之间有关系式：

2?????0.

1nyi??0??1(xi?x)??i，?i～N(0,?)(i?1,2,...,n)（其中x??xi），且

ni?12?1,?2,...,?n相互独立.

?,??； (1) 求系数?0,?1的最小二乘估计量?011n(2) 证明?(yi?y)??(yi?y?i)??(y?i?y)，其中y??yi

ni?1i?1i?1i?1222nnn?,??的分布. (3) 求?01解 (1) 最小化残差平方和：SE2??[yi??0??1(xi?x)]2

求?0，?1的偏导数

22?SE?SE??2??yi??0??1(xi?x)??0，??2??yi??0??1(xi?x)?(xi?x)?0??0??1??y,??? 得到：?01(2) 易知

lxylxx

??y??y???(y?y?)??y?y????y?yiiiiiii?1i?1i?1n2n2n2?i?y)?2??yi?y?i?(y?i?y)?(y2i?1nlxy???(xi?x)，将其代入上式可得 其中yi??0??1(xi?x)?y?lxx?)(y??y)?0 ?(y?yiiii?1n所以,

?(yi?1ni?i)??(y?i?y)2 ?y)??(yi?y22i?1i?1nn??y，??0(3) ??i~N(0,?),?02?~N(?,0?2n)

??) 同理，易得??1~N(?1,lxx7 某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量Y与样本点对原点的距离X有如下观测值 x 2 3 4 5 7 8 10 yi 106.42 108.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 x 11 14 15 16 18 19 yi 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20

i2i分别按(1)y?a?bx；(2)y?a?blnx；(3)y?a?b. x建立Y2SE对X的回归方程，并用相关系数R?1?2指出其中哪一种相关最大.

ST解 (1) 令v?x,y?a?bv，根据最小二乘法得到，正规方程：

??lvy??1???1.1947,???106.3013 ，最后得到?lvv10??????0?y??1v??106.3013?1.1947x，R1?0.8861 所以：样本线性回归方程为：y(2) 令v?lnx,y?a?bv

??lvy??1???1.714,???106.3147 ，得到?lvv10??????0?y??1v

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