普宁二中2011-2012学年高一上学期11月月考（数学）

普宁二中2011~2012学年高一上学期11月月考

数学试题

本试卷共3页，22题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能写在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不安以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 5．参考公式：锥体体积公式 V?13Sh 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 V?Sh 其中S为底面面积，h为高 台体体积公式V?1?S343'?3SS?Sh 其中S,S分别为上、下底面积，h为高

'?'球的体积公式 V??R 其中R为球的半径

圆锥的侧面积S??rl 其中r为底面半径，母线长为l

圆台的侧面积S???r'?r?l 其中r',r是上下底面半径，母线长为l 球的表面积源S?4?R2

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集I＝｛0，1，2，3，4｝，集合M＝｛1，2，3｝，N＝｛0，3，4｝， 则?CIM??N=（ ）

A. ? B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ｛0，4｝

22．如果函数f(x)?x?2(a?1)x?2在区间???,4?上是减函数，那么实数a的取值范围是 A、a??3 B、a??3 C、a?5 D、a?5 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面

4．空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH是

A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )． A．y?x B．y??x C．y?311x D． y?()

2x6．．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是

1

A．

2?22 B．

1?22 C．2?2 D． 1?2

7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方 形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为

3A．

2π

B．

2π C．3π

D．4π

8．函数f（x）=lnx+2x-6的零点一定位于区间

A.（1，2） B.（2，3） C.（3，4） D.（4，5） 9、如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 A．

423 B．

453ax2 C．

433 D．不确定

10．如果函数f(x)?是

?ax?1的定义域为全体实数集R，那么实数a的取值范围

A．[0，4] B．[0，4） C．[4，+∞） D．（0，4） 11、如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长（包括底面边长） 都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C 所成的角的余弦值是

A． B． C． 1 D．2

52555212．设奇函数f(x)在(0，??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式集为

A． (?1，0)?(1，??) C．(??，?1)?(1，??)

B．(??，?1)?(0，1) D．(?1，0)?(0，1)

f(x)?f(?x)x?0的解

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若两球半径比为1:2,则这两球表面积之比为 . 14、右图的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与C1C 所成角的大小是 .

15．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_________.

16、已知两条不同直线m、l，两个不同平面?、?，给出下列命题： ①若l垂直于?内的两条相交直线，则l⊥?； ②若l∥?，则l平行于?内的所有直线；

③若m??，l??且l⊥m，则?⊥?； ④若l??，l??，则?⊥?； ⑤若m??，l??且?∥?，则m∥l． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演

2

算步骤．

17、（本题满分10分）

112 (1) 化简

(ab32?)31 （4分）

(ab)21?3(2) 求函数y?5x?1的定义域和值域.（6分）

18、（本题满分12分）

如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证：（Ⅰ）A1C//平面BDE；

（Ⅱ）平面A1AC?平面BDE。 19、（本小题满分12分）

已知函数f(x)?loga(x?1)，函数g(x)?loga(4?2x)（a?0，且a?1）． （Ⅰ）求函数y?f(x)?g(x)的定义域；

（Ⅱ）求使函数y?f(x)?g(x)的值为正数的x的取值范围． 20、（本题满分12分）

某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)

2

与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x1

2

－x2＋13x1＋11x2－28.

(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝

销售收入－广告费用)

(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略． 21、（本题满分12分）

如图，正四棱锥S-ABCD 的底面是边长为a正方形，O为底面

对角线交点，侧棱长是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点. （Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F为SD中点,求证:BF∥平面PAC;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，

使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值； 若不存在，试说明理由。

22．（本题满分12分）

2已知二次函数f?x??ax?bx?c.

（1）若f??1??0，试判断函数f?x?零点个数；

1(2) 若对x1,x2?R,且x1?x2，f?x1??f?x2?，证明方程f?x????f?x1??f?x2???2必有一个实数根属于?x1,x2?。

(3)是否存在a,b,c?R，使f(x)同时满足以下条件①当x??1时， 函数f(x)有最小值

120；；②对?x?R,都有0?f(x)?x?(x?1)。若存在，求出a,b,c的值，若不存

2在，请说明理由。

3

参考答案

1-5 DADCB 6-10 CABCA 11-12 BD 13、1：4 14、45° 15、

3?32?323324?R3 16、①④

17．解：(1) 原式=a2?a?b?b2?1????????????（4分）

(2) 由x?1?0得x?1??????????????（2分）

?1x?11?0 ?51x?1?1

又?5x?1?0?????（2分）

1?函数y?5x?1的定义域是(??,1)?(1,??)，值域是(0,1)?(1,??)??（2分）

18．(12分)证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，

∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//A1C

又EO?在平面BDE， A1C?在平面BDE ∴A1C//平面BDE。……………6分 （Ⅱ）?A1A?平面ABCD?A1A?BD

又?四边形ABCD为正方形?AC?BD?BD?平面A1AC 再?BD?平面BDE ∴平面A1AC//平面BDE。………12分

19、解：（Ⅰ）由题意可知，y?f(x)?g(x)?loga(x?1)?loga(4?2x)， …1分

由??x?1?0?4?2x?0， 解得 ??x??1?x?2， ……………3分

∴ ?1?x?2， ……………4分

∴函数y?f(x)?g(x)的定义域是(?1,2)．……………5分 （Ⅱ）由f(x)?g(x)?0，得 f(x)?g(x，)

即 loga(x?1)?loga(4?2x)， ① ……………6分

当a?1时，由①可得 x?1?4?2x，解得x?1，

又?1?x?2，∴1?x?2； ……………8分 当0?a?1时，由①可得 x?1?4?2x，解得x?1，

又?1?x?2，∴?1?x?1．……………10分 综上所述：当a?1时，x的取值范围是(1,2)；

当0?a?1时，x的取值范围是(?1,1)．…………12分

20．(12分) (1)依题意x1＋x2＝5，

∴x2＝5－x1，

∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28

＝－2x12－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28

4

＝－3x1＋12x1＋2(0≤x1≤5)，…………………………3分

2

∴收益y＝R－5＝－3x1＋12x1－3 ＝－3(x1－2)2＋9≤9，

当且仅当x1＝2时取等号．

∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．…6分 (2)收益y＝R－(x1＋x2)

＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－(x1＋x2) ＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15， 当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号．

∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．…12分

21、证明：（Ⅰ）连接SO

?四边形ABCD为正方形

1分 ?AC?BD且O为AC中点

又?SA?SC ?SO?AC 2分 又?SO?BD?O

3分

?AC?平面SBD 又?SD?平面SBD

?AC?SD 4分

2

（Ⅱ）连接OP

?SD?平面ACP，OP?平面ACP ?OP?SD 5分

又?SBD中，BD?2a?SB，且F为SD中点 ?BF?SD 6分

因为OP、BF?平面BDF； 所以OP∥BF 7分 又?OP?平面ACP，BD?平面ACP

8分 ?BF∥平面PAC

（Ⅲ）解：存在E， 使得BE∥平面PAC. 过F作FE∥PC交PC与E，连接BE，则E为所要求点. ?FE∥PC，FE?平面ACP，PC?平面ACP ?FE∥平面PAC

由（Ⅱ）知：BF∥平面PAC，而FE?BF?F

?平面BEF∥平面PAC 10分

?BE∥平面PAC

?OP∥BF，O为BD中点，?P为FD中点

SESF2 12分 ?? 又因为F为SD中点 ?ECFP1所以，在侧棱SC上存在点E，当SE:EC?2:1时，BE∥平面PAC .

22．解：（1）?f??1??0,?a?b?c?0, b?a?c

222???b?4ac?(a?c)?4ac?(a?c)---------------2分 当a?c时??0，函数f?x?有一个零点；--------------3分 当a?c时，??0，函数f?x?有两个零点。------------4分 （2）令g?x??f?x??12??f?x1??f?x2???，则

g?x1??f?x1??12??f?x1??f?x2????f?x1??f?x2?2

5

g?x2??f?g?x1??g?x2?x2???1412??f?x1??ff?x2????2f?x2??f?x1?2，

??12??f?x1???x2????0,??f?x1??f?x2???g?x??0在?x1,x2?内必有一个实根。

即方程f?x????f?x1??f?x2???必有一个实数根属于?x1,x2?。------------8分

b2a??1,4ac?b4a122(3)假设a,b,c存在，由①得??0

? b?2a,b2?4ac?4a2?4ac?a?c 由②知对?x?R,都有0?f(x)?x?(x?1)

2令x?1得0?f(1)?1?0?f(1)?1?0?f(1)?1?a?b?c?1 ?a?b?c?111?由?b?2a得a?c?,b?，

42?a?c?当a?c?14,b?12时，f(x)?14214x?212x?14?14(x?1)，其顶点为（－1，0）满足条件

12(x?1)，满足条件②。

22①，又f(x)?x?(x?1)?对?x?R,都有0?f(x)?x?∴存在a,b,c?R，使f(x)同时满足条件①、②。------------------------------12分

6

g?x2??f?g?x1??g?x2?x2???1412??f?x1??ff?x2????2f?x2??f?x1?2，

??12??f?x1???x2????0,??f?x1??f?x2???g?x??0在?x1,x2?内必有一个实根。

即方程f?x????f?x1??f?x2???必有一个实数根属于?x1,x2?。------------8分

b2a??1,4ac?b4a122(3)假设a,b,c存在，由①得??0

? b?2a,b2?4ac?4a2?4ac?a?c 由②知对?x?R,都有0?f(x)?x?(x?1)

2令x?1得0?f(1)?1?0?f(1)?1?0?f(1)?1?a?b?c?1 ?a?b?c?111?由?b?2a得a?c?,b?，

42?a?c?当a?c?14,b?12时，f(x)?14214x?212x?14?14(x?1)，其顶点为（－1，0）满足条件

12(x?1)，满足条件②。

22①，又f(x)?x?(x?1)?对?x?R,都有0?f(x)?x?∴存在a,b,c?R，使f(x)同时满足条件①、②。------------------------------12分

6

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