相似图形的复习与小结

主备人： 毛忠余 备课组长： 学科组长:

课 题 课 型

二、经典例题

小 主 人 姓 名 班 级 例1. 如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

相似图形 （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． 一、基础知识 （2）判定△ABC与△DEF是否相似？ (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： （2）合比定理： （3）等比定理： 例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件____3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点． 使得△ADE∽△ABC． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD?的长为1米，继续往前走2米到达E

1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ） 2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质

1）对应边的比相等，对应角相等. 2）相似三角形的周长比等于相似比. 例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. 形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，?这个正方形零件的边长是多少？ 4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 例5.如图，已知四边形BDFE是菱形，DC=BD，且DC=4，求AE的长度 ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似 图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 例6.如图，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一点D，使AD=3，如果在AB上取点E，使△ADE和

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相似，则AE的长度为多少？ 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线 此时BC︰CD为（ ） （A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰2 12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后D三．课堂训练 和折痕EF的长分别为（ ） （一）选择题 （A）4 cm、 cm （B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm （D）5 cm、2 cm 1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ 题） 12 （A） （B） （C） （D） （二）填空 2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（ ） 13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与 （A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD a－b的比例中项是_____cm． 14．若＝＝＝－m2，则m＝______． 题2 题4 题5 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝___3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．

样条件的直线共有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条 题16 题17 题18 4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ） 17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP18相似的．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出是（ ） 适的条件）． （A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3 19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．

6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：

（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC 题19 题20 题21 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ） 20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则 （A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 △ABC的面积是______． 21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD 题6 题7 题8 面积是_________． 7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm， 的是（ ） 则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．

（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE （D）FB︰FC＝HB︰EC

8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ） (三)解答题 （A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母

（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC

9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则24. S△已知：如图，DEFF是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证＋＝1

︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）

（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25

25. 如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、 题9 题10 题11 证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．

（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2

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26. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明 理由．

30. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：A （2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。 是否仍有AE//BC？证明你的结论。 27. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的

速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC？

31. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度28. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m?长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车（1）设△POQ的面积为，求关于的函数解析式。 经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）． （2）当△POQ的面积最大时，△ POQ沿直线PQ翻折 后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上， 并说明理由。 （3）当为何值时， △POQ与△AOB相似？

29. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口

高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC. 32. 如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△A

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面积．

4.如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F，交AC的延长线于点 请说明：△DCF∽△DEC。

33. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交

CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=16，将△ABC沿DE折叠，使点C落在BC边上的C’处，并且C’

D∥BC，则CD的长度是_________。

2．如图，在直角梯形ABCD中，AD=8，AB=2，DC=3，P为AD上一点，若△PAB和△PCD相似，则AP的长度

为多少？

3.如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，已知AB=7，

BC=5，则

等于_________。

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