对数的大小比较讲议

对数的大小比较分类讲议

（关沮中学 陆家顺）

1、底数相同，真数不同的对数大小比较。 例1、比较log23.4，log28.5的大小； 解（单调性法）：

?对数函数y?log2x的底数2?1,所以它在（0，??）是增函数

所以log23.4?log28.5ln2ln3ln5，b?，c?，试比较a,b,c的大小关系。 235 解法一、底数相同（以10为底），真数化同次根式，比较真数大小（单调性法）

例2、若a?

?8?9，∴a?b.?25?32,∴c?a. ∴c?a?b

解法二、作差法。

∴c?a

∴ a?b. ∴c?a?b

2、底数不同，真数相同的对数大小比较 例1：比较log53，log63，log73的大小 解法一（换底法）利用倒数关系化为同底比较。 ∵0?log35?log36?log37， ∴log53?log63?log73

解法二（图像法） 其图像如图所示，

由图可知log53?log63?log73

例2：比较log31与log11的大小

3解：由对数的性质：1的对数是0可知 lo3g?log11

3

3、底数与真数都不相同的对数大小比较 例1：比较log67与log76的大小 解法一（中间值法）

?log67?log66?1,而log76?log77?1 ∴log67?log76 解法二（图像法） 其图像如图所示， 由图可知log67?log76

例2：比较1.10.9，log1.10.9，log0.70.8的大小； 解法一（中间值法）

∵1.10.9?1.10?1， log1.10.9?log1.11?0，

0?log0.71?log0.70.8?log0.70.7?1， ∴1.10.9?log0.70.8?log1.10.9 解法二（图像法） 其图像如图所示，

由图可知 1.10.9?log0.70.8?log1.10.9

例3：比较log23与log34的大小.

解（放缩法） (利用当a?b时，a2?b2?2ab进行放缩) 先作差商再放缩。

.

∴ log23?log34

另解：（放缩法）先作商再放缩

lg3log23lg2lg23lg23????lg2?lg42log34lg4lg2lg4() lg32lg23lg23lg23????1lg82lg92lg23()()22∴ log23?log34

例4：比较log63与log115的大小

解（指对数互化法）设log63?x,log115?y

?3?6,5?11 ∴3?6,5?11 ∴6?6,11?11 ∴x? ∴x?y,即log63?log115

x23y233232232322,y? 334、含参对数大小的比较

12例1：比较log2 log2(a?a?1)的大小。 2解（单调性法）

131?a2?a?1?(a?)2??

2421∴log2 < log2(a2?a?1)

2例2：比较loga?， logae(a?0,a?0)的大小 解（分类思考法）当a?1时，loga??logae 当0?a?1时，loga??logae 例3：已知logm4?logn4，比较m，n的大小。 解法一（分类思考法）：∵logm4?logn4， ∴

11?， log4mlog4n11?， log4mlog4n①当m?1，n?1时，得0?∴log4n?log4m， ∴m?n?1． ②当0?m?1，0?n?1时，得

11??0， log4mlog4n∴log4n?log4m， ∴0?n?m?1．

③当0?m?1，n?1时，得log4m?0，log4n?0，

∴0?m?1，n?1， ∴0?m?1?n． ④当0?n?1，m?1时，不存在在。

综上所述，m，n的大小关系为m?n?1或0?n?m?1或0?m?1?n．

解法二（图像法）分类作图如下，由图可知m，n的大小关系为m?n?1或0?n?m?1或0?m?1?n

例4、比较已知函数f(x)?log2(x?2)， 若0解（特殊值法）?0?c?b?a可设a?14,b?6,c?2 所以

?f(a)f(b)f(c),,的abcf(a)log2162f(b)log281f(c)log24??,??,??1 a147b62c221f(a)f(b)f(c)??1， ∴?? 72abc

例5：设a,b,c均为正数，且

12a?log0.5a,()b?log0.5b,0.5c?log2c，

2试比较a,b,c的大小。

解（图像法）其图像如图所示， 由图可知：a?b?c

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