2013年全国高考数学试题及答案-江苏卷
更新时间:2023-05-26 04:20:01 阅读量: 实用文档 文档下载
(第5题) 2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1.函数4
2sin(3π
+=x y 的最小正周期为 .
【答案】π
【解析】T =|2πω |=|2π
2 |=π.
2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 【答案】5
【解析】z =3-4i ,i 2=-1,| z |=
=5.
3.双曲线
19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 . 【答案】x y 43±=
【解析】令:091622=-y x ,得x x y 4
3
1692±=±=. 4.集合}1,0,1{-共有 个子集.
【答案】8 【解析】23=8.
5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .
【答案】3 【解析】n =1,a =2,a =4,n =2;a =10,n =3;a =28,n =4. 6
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【答案】2
【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:905
92
88919089=++++=
x .
方差为:25
)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222
=-+-+-+-+-=
S . 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 .
【答案】63
20 【解析】m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则n m ,都取到奇数的概率为
63209754=??. 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1
AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的
体积为2V ,则=21:V V .
【答案】1:24
【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1:2,故体积
之比为1:8. 又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:3.所以,三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:24.
9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 .
【答案】[—2,12 ]
【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y =2x —1,令z =y x 2+,y =—12 x +z 2 .
画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,z min =—2,过点(12 ,0)时,z max =12 .
10.设E D ,分别是ABC ?的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 .
【答案】12
x
A B
C 1A
D
E
F 1B 1C
【解析】)(3
2213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= AC AB AC AB 213
261λλ+=+-= 所以,611-=λ,3
22=λ,=+21λλ12 . 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)( 的解
集用区间表示为 .
【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)
【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像,如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x <0的图像。不等式x x f >)(,表示函数y =)(x f 的图像在y =x 的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。
12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ,右焦点为 F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为 . 【答案】3
3 【解析】如图,l :x =c a 2,2d =c a 2-c =c
b 2,由等面积得:1d =a b
c 。若126
d d =,则c b 2=6a bc ,整理得:06622=--b ab a ,两边同除以:2a ,得:0662=+??? ??-??? ??a b a b ,解之得:a b
=x
y
y =x
y =x 2—4P (5,5)
36,所以,离心率为:331e 2=??
? ??-=a b .
13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x
y 1=(0>x )图象上一动点, 若点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 .
【答案】1或10
【解析】
14.在正项等比数列}{n a 中,2
15=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 .
【答案】12
【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1,公比为q ,则:?????=+=3
)1(215141q q a q a ,得:a 1=132 ,q =2,a n =26-n .记5212
12-=+++=n n n a a a T ,2)1(212n n n n a a a -==∏ .n n T ∏>,则2)1(52212n n n ->-,化简得:5211212212+->-n n n ,当5211212+->n n n 时,122
12113≈+=n .当n =12时,1212∏>T ,当n =13时,1313∏<T ,故n max =12.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ,=,παβ<<<0.
(1)若2||=-b a ,求证:b a ⊥;
(2)设)1,0(=c ,若c b a =+,求βα,的值.
解:(1)a -b =(cosα-cosβ,sin α-sin β),
|a -b |2=(cosα-cosβ)2+(sin α-sin β)2=2-2(cosα·cosβ+sin α·sin β)=2,
所以,cosα·cosβ+sin α·sin β=0,
所以,b a ⊥.
(2)???=+=+②1sin sin ①0
cos cos βαβα,①2+②2得:cos(α-β)=-12 .
所以,α-β=π32,α=π3
2+β, 带入②得:sin(
π32+β)+sin β=23cosβ+12 sin β=sin(3π+β)=1, 所以,
3π+β=2
π. 所以,α=65π,β=6π. 16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点.求证:
(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
证:(1)因为SA =AB 且AF ⊥SB , 所以F 为SB 的中点. 又E ,G 分别为SA ,SC 的中点, 所以,EF ∥AB ,EG ∥AC .
又AB ∩AC =A ,AB ?面SBC ,AC ?面ABC ,
所以,平面//EFG 平面ABC . (2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,平面SAB ∩平面SBC =BC ,
AF ?平面ASB ,AF ⊥SB .
所以,AF ⊥平面SBC .
又BC ?平面SBC ,
所以,AF ⊥BC .
又AB ⊥BC ,AF ∩AB =A ,
所以,BC ⊥平面SAB .
又SA ?平面SAB ,
所以,SA BC ⊥.
17.(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l .
设圆C 的半径为1,圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,
求切线的方程;
(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐
标a 的取值范围. 解:(1)联立:?
??-=-=421x y x y ,得圆心为:C (3,2). 设切线为:3+=kx y , A B
C S G F
E
d =11|
233|2==+-+r k k ,得:4
30-==k or k . 故所求切线为:3430
+-==x y or y . (2)设点M (x ,y ),由MO MA 2=,知:22222)3(y x y x +=-+,
化简得:4)1(22=++y x ,
即:点M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D .
又因为点M 在圆C 上,故圆C 圆D 的关系为相交或相切.
故:1≤|CD |≤3,其中22)32(-+=
a a CD . 解之得:0≤a ≤125 .
18.(本小题满分16分)
如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行 到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两 位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从 A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的 速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =
A ,53cos =C . (1)求索道A
B 的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,
乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D ,
设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m , 知:AB =52k =1040m .
(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示.
则:AM =130x ,AN =50(x +2),
由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000,
其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC =500m ,甲到C 用时:126050 =1265 (min).
若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043 m/min .
若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) . C B
A
D M N
此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min .
故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514 ]范围内.
19.(本小题满分16分)
设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记c n nS b n n +=2, *N n ∈,其中c 为实数.
(1)若0=c ,且421b b b ,,成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈);
(2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .
证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(a d n b n +-=. 当421b b b ,,成等比数列,4122b b b =, 即:??? ?
?+=??? ??+2322
d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=. 由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=.
故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈). (2)c
n a
d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(, c
n a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:022)1(2=++-c
n a
d n c ,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c . 经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.
20.(本小题满分16分)
设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数.
(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;
(2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)a x x f -=
'1)(≤0在),1(+∞上恒成立,则a ≥x 1,
)1(∞+∈,x . 故:a ≥1. a x g x -='e )(,
若1≤a ≤e ,则a x g x -='e )(≥0在),1(+∞上恒成立,
此时,ax e x g x -=)(在),1(+∞上是单调增函数,无最小值,不合;
若a >e ,则ax e x g x -=)(在)ln 1(a ,上是单调减函数,在)(ln ∞+,a 上是单调增函数,)ln ()(min a g x g =,满足.
故a 的取值范围为:a >e .
(2)a x g x -='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立,则a ≤e x ,
故:a ≤1e .
)0(11)(>-=-='x x ax a x x f .
(ⅰ)若0<a ≤1e ,令)(x f '>0得增区间为(0,1a );
令)(x f '<0得减区间为(1a ,﹢∞).
当x →0时,f (x )→﹣∞;当x →﹢∞时,f (x )→﹣∞;
当x =1a 时,f (1a )=﹣ln a -1≥0,当且仅当a =1e 时取等号.
故:当a =1e 时,f (x )有1个零点;当0<a <1e 时,f (x )有2个零点.
(ⅱ)若a =0,则f (x )=﹣ln x ,易得f (x )有1个零点.
(ⅲ)若a <0,则01)(>-='a x
x f 在)0(∞+,上恒成立, 即:ax x x f -=ln )(在)0(∞+,上是单调增函数,
当x →0时,f (x )→﹣∞;当x →﹢∞时,f (x )→﹢∞.
此时,f (x )有1个零点.
综上所述:当a =1e 或a <0时,f (x )有1个零点;当0<a <1e 时,f (x )有2个零点.
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