DXC22-基于排队论的服务系统优化研究 - 以XX超市收银台为例

1、排队模型

排队论是研究排队现象的理论与运用的学科，是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象的科学，有人也称之为随机服务系统，或称之为公用事业的数学方法。它是运筹学的一个重要的分支。凡是出现拥挤现象的领域，都可以运用排队论。

在日常的生产和生活中有各种各样的随机服务系统，人们经常会碰到许多有形或无形的排队现象。例如：到食堂打饭，到车站等车，去超市购物等等。这些问题中，食堂的服务窗口与打饭者、公共汽车与乘客、超市收银台与购物者都可归结为服务窗口与顾客之间的一种服务关系，都可以当做排队问题来研究，他们之间就构成了一个排队系统或服务系统。为了统一起见，我们把要求得到服务的对象统称为“顾客”，把提供服务的服务者称之为“服务员”、“服务窗口”、或“服务机构”。因为顾客的到达情况和每位顾客接受服务的时间往往是无法事先知道的，或者说是随机的。在排队论所研究的排队系统中，顾客相继到达时间间隔与服务时间这两个变量中至少有一个是随机的，因此排队论又称为随即服务系统理论。

排队系统的一般模型图如图1所示。下图表明每个来到服务窗口的顾客需要按照排队规则进行排队等候服务，服务窗口则按照服务规则进行服务,顾客接受完服务之后就会离开。图中的排队结构是指队列的数目和排队的方式，排队规则和服务规则说明顾客在排队系统中是按照什么规则，以什么次序接受服务的。

图1 排队系统一般模型图

1）排队论的性态问题

所谓排队系统的性态问题就是研究各种排队系统的规律性。在一个排队系统中，其排队的队长是随机的，顾客等待时间的长短以及服务台繁忙时间的长短也是随机的。排队系统的规律性主要是研究排队队长的分布、等待时间的分布以及忙期的分布，它包含了瞬间状态和统计平衡条件下的稳态两种情形。

2）排队系统的最优化问题

排队系统的最优化问题主要有两类：包括系统的最优化设计和系统的最优化运行控制。前者又称为静态最优化，后者又称为动态最优化。前者是在服务系统设置之前就对未来的运行情况进行估计，从而使设计人员有所依据。例如车站的规模、水库容量的大小等。而后者是对已有的排队系统通过一定的数学方法寻求最优运行策略，例如去银行取款的时候，当排队的人太多时，就增设服务的窗口，这样虽然增加了运营成本，但同时却减少了顾客的等待时间，即减少了顾客的机会成本提高了顾客的满意度，这样带来的好处可能远远超过服务费用的增加。

因此，在对一个排队系统进行设计或运行管理的时候，就需要兼顾顾客与服务双方的利益，以便在某种合理指标的基础之上使得系统达到最优化。对实际的排队系统而言，如果把输入看作是由客观条件决定的，那么解决这种问题的关键就是确定服务效率或服务台的数量或服务规则或这几种量的组合，使系统在某种条件下达到最优。优化的目标函数可以是时间，也可以是费用或者收益。学习和应用排队论知识的目的就是要解决客观系统的最优设计或运行控制，创造更好的经济效益和社会效益。

排队系统的最优化就是通过调整和控制排队系统使其处于最佳的运营状态。排队系统的最优化分为两类：即设计的最优化和控制的最优化。设计的最优化又称静态最优化，其目的是使设备达到最大的效益，或者说，在一定的质量指标下要求机构最为经济。控制的最优化也称为动态最优化，指的是对于一个给定的系统，怎样经营才能使目标函数达到最优值。排队系统由三个方面组成，即输入过程、排队规则和服务机构。其中我们可以把输入过程看成顾客。

在排对系统的组成中有两个对立的面：即顾客和服务机构。顾客方面总希望能进入服务系统并且立刻得到服务，他们希望在系统中逗留的时间越短越好，因而要求开放更多数量的服务台，服务效率自然也就提高了。这样，顾客等待的时间减少，那么所遭受的损失就小。而作为提供服务的服务机构来说，增加窗口就会增加投资，虽然服务的效率提高了，但同时也增加了运营的成本，并且开放的服务窗口过多的话很容易导致窗口的闲置，这样更加加大了超市的运营成本。通常来说，服务机构由于各方面条件的制约不会增加过多的窗口。由此可见，对于一个排队系统的设计与运行，需要兼顾顾客与服务机构双方的利益，以便在某种合理指标上使两者利益达到最优化。对大多数实际问题来说，输入可以看作是由客观条件决定的，不受控制的。因此，解决这种问题的关键是确定服务率或服务台或选取顾客的服务规则或这几个量的组合，使之在某种意义下系统达到最优。最优化要么从服务一方考虑，要么从顾客、服务机构双方综合考虑，优化的指标可以是时间，也可以是费用。

如果仅从费用这个角度考虑的话，那么使得顾客等待损失的费用和服务机构的服务成本费用之和最小的值即为最优值，也可以说是最好的服务水平。在费用模型中

总费用=服务成本费用+顾客排队损失费用

在此公式中排队损失费用和服务成本费用都是服务水平的函数，其中前者是服务水平的减函数，后者是服务水平的增函数。当总的费用最低的时候，它所对应的服务水平即为最优的服务水平。

假定每个顾客在系统内逗留单位时间的损失费用为ω 元，每个服务台单位时间的服务成本为c元，那么单位时间内的平均损失总费用为：

f(n)??Ls(n)?cn 公式1.1

其中，Ls(n)表示开放 n 个服务台时系统中的等待队长。那么使得总费用f ( n )最小的n值即为应开放的最优的服务台数量。为求出最优的n值，可采用边际分析法，即所求的n必须同时满足：

?f(n)?f(n?1) 公式1.2 ?f(n)?f(n?1)?即：

??Ls(n)?cn??Ls(n?1)?c(n?1) 公式1.3 ??Ls(n)?cn??Ls(n?1)?c(n?1)?由上式即可求出n ，n 即为所求的最优服务台数。

作为一个服务系统的管理者，其面临的一个主要的任务就是根据顾客的到达规律，对服务系统中的各种参数进行调节和控制，使系统处于一个最佳的运营状态。使得优化后的系统比优化前的系统服务效率更高，同时又能节约更多的成本。既能使得服务机构的运营费用最小收益最大，同时还能最大限度的满足顾客的需求，这是动态优化的问题。在系统提供服务之前，依据顾客的到达规律对系统进行设计，并且制定相应的服务规则，从而使系统具有最优的性质，这是静态优化问题。

总而言之，作为服务系统的管理者必须密切关注顾客到达规律的变化，利数学模型在建立的时候都进行了一些假设，因此在应用数学模型的时候不能直接套，要结合数学模型对系统进行分析、假设和归纳，其中重要的一点是将一些实际因素合理化。为此本文对大型超市收银服务系统作如下的假设用调查的数据和排队论的相关知识来设计和制定服务的方案、调节服务水平和其他相关的指标，使得服务机构达到最佳的运营状态。

在 M / M / n / ∞ /∞ 模型中，假定顾客到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，顾客的服务时间服从参数为μ 的负指数分布。顾客的到达时间和服

务时间是相互独立的，并且系统中有n个服务台。如果顾客到达时，服务窗口全部处于繁忙的状态，则进行等待。在多服务窗口等待制排队模型中，我们有如下的定理：

定理：若X(t)表示时刻t系统中的顾客数（队长），则{X(t),t?0}是状态空间E={0,1,2,…}且，

生率为：

?k??,k?0,1,2,... 公式2.4

灭率为：

?k?{的生灭过程。

k?(k?1,2,...,n)n?(k?n?1,...) 公式2.5

定理2.3 若 X (t )表示时刻t系统中的顾客数，设Pk?limP{X(t)?k}，则

t??当????1时，系统可以达到稳定的状态，且有平稳分布 n?P0?[?k?0n?1?1kk!??1n1n!1??]?1 公式2.6

nkk?P0(0?K?n)k!Pk?{k 公式2.7

nk?P0(k?n)n!其中?1?? ?通过对系统的分析，可以计算出下列相应的目标参数：

损失概率在等待制排队系统中，因为到达系统请求服务的顾客迟早会被系统服务，因此：

P损=0 公式2.8

系统的相对通过能力和绝对通过能力：

Q?1?P损=1 公式2.9

A??Q?? 公式2.10

平均排队等待的队长：

Lq??1n?1(n?1)!(n??1)2P0 公式2.11

平均忙着的服务窗口个数

L服??1 公式2.12

系统队长（或系统中平均等待顾客数）的均值

Ls?Ls?L服?Lq??1?顾客在系统内的平均等待时间

?1n?1(n?1)!(n??1)2P0??1 公式2.13

Wq?Lq???1n?n!(n??1)2P0 公式2.14

顾客在系统内的平均逗留时间

Ws?Ls??Wq?1? 公式2.15

到达系统的顾客必须等待的概率

C(n,?1)?n?n 公式2.16 n??1顾客源

超市收银服务系统的服务对象是选择好商品并且进入排队系统等待结算的顾客。顾客的到达是随机的，因此顾客源在理论上可以认为是无限的。系统在运行一段较长的时间之后达到稳定状态，顾客可以选择较短的队列加入，进入系统的顾客可以随时改变其队列。

顾客到达方式

在实际的调查中发现顾客的到达有的是单个、随机的到达；有的则是成批、随机的到达。学生喜欢三五成群一起去购物但是付款的时候却是混在一起结算；周六日的时候以家庭为单位的购物者居多，他们在结算的时候一起进入收银服务系统但是在结算的时候却表现为“单人”结算的形式。成批到达的情况在实际的调查中不好把握，因此，为了调查数据和计算的便利，本文约定顾客到达为单个、随机的到来，并且顾客的到来是相互独立的。上面所说的成批到达的情况在本文中不作细分。

服务机构

调查发现该超市共有 54 个收银台，但是只有 40 个能用。在实际中由于每个收银员的各方面的素质不一样，因此收银台的服务能力是不一样的，但是这种

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