平面向量-高考文科数学复习资料

学科思想 分类讨论思想 例 已知a＝（1，2），b＝（–3，2），当k为何值时，ka＋b与a–3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【思路分析】由a，b的坐标→求ka＋b，a–3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向 【解析】由ka＋b＝（k–3，2k＋2）， a–3b＝（10，–4）． ∵ka＋b与a–3b平行， 1∴（k–3）×（–4）–10（2k＋2）＝0，解得k＝–3． 11此时ka＋b＝–3a＋b＝–3（a–3b）． 1∴当k＝–3时，ka＋b与a–3b平行，并且反向． 【方法技巧】解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解． 数形结合思想 例 已知，且与的夹角为与，则与5．已知向量=（2，0），向量=（cosα，=（2，2），向量训练题组 1．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___________，|a–b|的最大值为___________． 2．在△ABC中，=（2，3），=（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则k的值___________． 3．已知a＝（–2，–1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为___________． 4．已知向量a，b求作向量c，使a+b+c=0，表示a、bc的有向线段能构成三角形吗？ sinα），则向量与向量的夹角范围的夹角是___________，___________． 的夹角是为（ ） 【思路分析】由题意画出图形，数形结合可得答案． 【解析】如图所示，作，，则， A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，] 6．设x，y满足约束条件 以为邻边作， ，向量a=（y–2m），b=（1，1），且a∥b，则m的最小值为

则． 因为所以因为所以所以即与的夹角为，所以，， （ ） A．6 B．–6 C． D． 7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，为正三角形， ，即与的夹角为． 且|＋|＝|–|，其中O为原点，则实数a的值为（ ）A．2 B．–2 C．2或–2 D．或– ，所以平行四边形OACB为菱形， ， ， ． 8．已知a=（3，4），|a–b|=1，则|b|的取值范围是___________． 【方法技巧】（1）两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． （2）求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出夹角． 转化与化归思想 例 已知圆C：（x–3）2＋（y–3）2＝4，及点A（1，1），M是⊙C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程． 【思路分析】要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解． 【解析】设N（x，y），M（x0，y0）， 由＝2，得 （1–x0，1–y0）＝2（x–1，y–1）， 9．若，则△ABC为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 10．已知P＝{a|a＝（1，0）＋m（0，1），m∈R}，＝{b|b＝（1，1）＋n（–1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于（ ） A．{（1，1）} B．{（–1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）} 11．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a–c）·（b–c）＝0，则|c|的最大值是（ 2A．1 B．2 C． D．2 ∴，即y0＝3－2y， x0＝3－2x，代入⊙C方程，得（3–2x–3）2＋（3–2y–3）2＝4， 即x2＋y2＝1． 12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（31），B（–1，3），若点C满足＝m＋n，其中m，

∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1． 【方法技巧】向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质． 函数方程思想 例 已知＝c，＝d，试用c，d表示和． ∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为（ ） A．3x＋2y–11＝0 B．（x–1）2＋（y–2）2＝C．2x–y＝0 D．x＋2y–5＝0 13．（2017·潍坊二模）设a，b是非零向量，若函数 f（x）＝（xa＋b）·（a–xb）的图像是一条直线，则必有（ ） A．a⊥b B．a∥b 【思路分析】本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量．根据平面向量的基本定理有C．|a|＝|b| D．|a|≠|b| 14．设向量a，b满足，，则A．1 B．2 C．3 D．5 ，当a，b，c的坐标已知时，该式实际上是一个关于15．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝有实根，则a与b的夹角的取值范围是 ，的二元一次方程组，由此可确16．如图，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中定． 点，已知点O是△ABC内的一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°．设=a，=b，|c|=3，试用a和b表示c． 【解析】设＝a，＝b，则由M，N分别为DC，BC的中111点可得：＝2b，＝2a，＋＝，即b＋2a＝C．① 1＋＝，即a＋2b＝D．② 22由①②可得a＝3（2d–c），b＝3（2c–d）， 22即＝3（2d–c），＝3（2c–d）． 【方法技巧】本题求解利用了方程思想，首先利用三角形法则表示出向量，，然后解关于，的=c，且|a|=2，|b|=1， 方程组，方程思想在利用平面向量基本定理求参数经常用到．所谓方程思想，是指在解决问题时，用事先设定

的未知数表示问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．

1．【答案】4，20

2．【答案】或或

【解析】①当∠A=90°时，∵②当∠B=90°时，

=

=0，∴2×1+3?k=0，∴k==（1–2，k–3）=（–1，k–3），

．

∵=0，∴2×（–1）+3×（k–3）=0 k=．

③当∠C=90°时，∵

=0，∴–1+k?（k–3）=0，k2–3k–1=0，

，

∴k的取值为或或．

3．【答案】

∪（2，＋∞）

a·b－2λ－1

【解析】由题意cos α＝|a||b|＝λ2＋1，∵90°<α<180°，∴–1

λ2＋1<0，

－2λ－1<0，，，∴，即(2λ＋12<5λ2＋5，即λ≠2，∴λ的取值范围是

＋∞）．

4．【解析】①如图所示，当三个向量中有两个不共线时， 作平行四边形OADB，使得∵a+b+c=0，∴

=a，，∴

=b，则a+b=

，

，

∪（2，

因此表示a，b，c的有向线段能构成三角形． ②当三个向量中有两个共线时，不能构成三角形．

5．【答案】D 【解析】|

|=

，∴A点在以C为圆心，

为半径的圆上，当OA与圆相切时对应

的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置，OC与x轴所成的角为；与切线所成

的为，所以两个向量所成的最小值为；最大值为，故选D．

6．【答案】B

【解析】因为a∥b，可得m=y–2x．由不等式组可得可行域为由点A（4，2），BC（1，8）构成的三角形内部及其边界，当x=4，y=2时，m有最小值–6． 7．【答案】C

，

|－a|

【解析】由|＋|＝|–|，得⊥，∴点O到AB的距离d＝，即2＝，解得a＝±2．故选C．

9．【答案】A 【解析】∵

，

∴

10．【答案】A

，∴∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选A．

，∴

，∴

，∴

【解析】设a＝（x，y），则P＝，∴集合P是直线x＝1上的点的集

合．同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝{（x，y）|x＝1}，Q＝{（x，y）|x＋y–2＝0}．∴P∩Q＝{（1，1）}．故选A． 11．【答案】C

【解析】由（a–c）·（b–c）＝0得a·b–（a＋b）·c＋c2＝0，即c2＝（a＋b）c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C．

12．【答案】D

【解析】设点C的坐标为（x，y），则（x，y）＝m（3，1）＋n（–1，3）＝（3m–n，

x＝3m－n， ①

m＋3n），∴y＝m＋3n， ②①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，∴x＋

2y–5＝0，∴点C的轨迹方程为x＋2y–5＝0．故选D． 13．【答案】A

【解析】f（x）＝（xa＋b）·（a–xb）的图像是一条直线，即f（x）的表达式是关于x的一次函数或常函数．而（xa＋b）·（a–xb）＝–x2a·b＋（a2–b2）x＋a·b，故a·b＝0，即|a|＝|b|，故选A． 14．【答案】A

【解析】得到

，故选A．

，展开后，得，两式相减得，，

π15．【答案】[3，π]

16．【答案】

【解析】以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系．由OA=2，∠AOx=120°，所以A（2cos120°，2sin120°），即A（–1，

），易求B（0，–1），

C（3，0），设=λ1+λ2

，则（–1，

）=λ1（0，–1）+λ2（3，0），∴

，

∴λ1=–，λ2=–，所以．

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