高考数学百大经典例题 - 不等式性质

31、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．

32、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c； ④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?an?bn?n??,n?1?； ⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对

?x,y?，所有这样的有序数对?x,y?构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?． ①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0．

??yC?①若??0，则?x?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表

示直线?x??y?C?0下方的区域．

??yC?②若??0，则?x?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表

示直线?x??y?C?0上方的区域．

40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解?x,y?． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、设a、b是两个正数，则几何平均数．

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a?b称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的2 42、均值不等式定理： 若a?0，b?0，则a?b?2ab，即22a?b?ab． 2a2?b243、常用的基本不等式：①a?b?2ab?a,b?R?；②ab??a,b?R?；

2a2?b2?a?b??a?b?③ab??????a?0,b?0?；④??a,b?R?．

2?2??2?44、极值定理：设x、y都为正数，则有

22s2⑴若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得最大值．

4⑵若xy?p（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最小值2p 典型例题一

例1 比较x?3与3x的大小，其中x?R． 解：(x?3)?3x

23?x2?3x?3，

33?[x2?3x?()2]?()2?3，

2233?(x?)2?，

243??0， 4∴ x?3?3x．

说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①a?b?0?a?b； ②a?b?0?a?b；③a?b?0?a?b．

2典型例题二

例2 比较x?1与x?x的大小，其中x?R 解：(x?1)?(x?x)

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642642 ?x6?x4?x2?1，

?x4(x2?1)?(x2?1)， ?(x2?1)(x4?1)， ?(x2?1)(x2?1)(x2?1)， ?(x2?1)2(x2?1)，

∴ 当x??1时，x?1?x?x； 当x??1时，x?1?x?x.

说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．

642642典型例题三

x1?1)与(x?)（x2?x?1）的大小． 22x122分析：直接作差需要将(x?1)(x??1)与(x?)（x?x?1）展开，过程复杂，

222例3 x?R，比较(x?1)(x?式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．

xx?1)=(x?1)（x2?x??1） 22x?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)，

211(x?)(x2?x?1)?(x?1?)(x2?x?1)

221?(x?1)(x2?x?1)?(x2?x?1)，

2x122∴ (x?1)(x??1)?(x?)(x?x?1)

22111?(x2?x?1)?x(x?1)??0． 222x122则有x?R时，(x?1)(x??1)?(x?)（x?x?1）恒成立．

22解：∵(x?1)(x?2[来源学科网]说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到

比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差．

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典型例题四

例4 设x?R，比较

1与1?x的大小． 1?x1x2?(1?x)?解：作差， 1?x1?xx2?0， 1）当x?0时，即

1?x∴

1?1?x； 1?xx2?0， 2）当1?x?0，即x??1时，

1?x∴

1?1?x； 1?xx2?0， 3）当1?x?0但x?0，即?1?x?0或x?0时，

1?x∴

1?1?x． 1?x说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．

典型例题五

例5 比较18与16的大小

分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。

1618181618161916116916解：18?()?()()?()

16162816282?982916 ?()＜1,82?1618＞0,?1816＜1618.说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．

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典型例题六

abba例6 设a＞0,b＞0，且a?b，比较：a?b与ab的大小。

分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。

aabbaa?bb?a?()a?b 解：ba?abbab当a＞b＞0时，＞1,a?b＞0，?()ababa?b＞1 ＞1

1,a?b＜0?()当b＞a＞0时，0＜＜aa?baabb?()＞1即ba＞1，

bab又?ab＞0，?ab＞ab

baaabaababa?b说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.

典型例题七

例7 实数a、b、c、d满足条件：①a?b,c?d；②?a?c??b?c??0；③

?a?d??b?d??0，则有( )

A．a?c?d?b B．c?a?b?d C．a?c?b?d D．c?a?d?b

（天津市2001年南开中学期末试题）

分析：先由条件②③分析出a、b与c、d的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小．

[来源学+科+网Z+X+X+K]解：∵?a?c??b?c??0，∴a、b与c同侧 ∵?a?d??b?d??0，∴a、b与d异侧 ∵a?b,c?d

∴把a、b、c、d标在数轴上，只有下面一种情况

由此得出c?a?d?b，∴此题选D．

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说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．

典型例题八

例8 已知①?1?a?b?1；②1?a?b?3，求：3a?b的取值范围．

分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式3a?b用a?b和a?b表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定3a?b的范围．

解：设：3a?b?x(a?b)?y(a?b)?(x?y)a?(x?y)b

?x?y?3???x?y??1?x?1 ???y?2由①+②×2得：?1?2?(a?b)?2(a?b)?1?3?2

即：1?3a?b?7．

说明：此题的一种典型错误做法，如下：

??1?a?b?1,1?a?b?3,?0?2a?4，即：0?a?2

??1?a?b?1,?3?b?a??1

??4?2b?0即：?2?b?0

?0?3a?6,0??b?2,?0?3a?b?8

此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当a?b取到最大值或最小值时，a?b不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．

避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．

[来源学科网]典型例题九

例9 判断下列各命题的真假，并说明理由． （1）若ac?bc，则a?b. （2）若a?b，则

2211?. ab北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台

（3）若a?b,c?0，则

cc?. ab（4）若a?b,c?d，则a?c?b?d. （5）若a?b?0,a?c，则a?bc. （6）若a?b,m?N?，则a?b.

分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．

mm21??0?222解：（1）ac?bc?c?0?c2??a?b，是真命题．

ac2?bc2??（2）可用赋值法：a?3,b??2，有也可这样说明：

11?，是假命题． ab11b?a??， abab∵ a?b，只能确定b?a?0，

1111但ab的符号无法确定，从而?的符号确定不了，所以?无法得到，实际上有：

abab11a?b,ab?0??.

ab11a?b,ab?0??.

ab[来源:Z。xx。k.Com]11???cccca?b?（3）与（2）类似，由a?b?，从而????是假命题． ?ab?ababc?0??（4）取特殊值：a?5,b?1,c?2,d??3.

有a?c?b?d，∴ 是假命题．

定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即a?b,c?d?a?c?b?d.

?a?b?0?2??a?ab?a?0??2（5）?a?bc， ∴是真命题．

a?c???ab?bc?b?0??（6）定理4成立的条件为必须是正数．

举反例：

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a?3,b??4,m?2，则有am?bm.

说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．

典型例题十

例10 求证：a?b,11??a?0,b?0. ab分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得

a?b?a?b?0??1111a?b??ab?0 ????0??0?abbaab?a,b异号???a?0,b?0.

a?b?典型例题十一

例11 若a?b,c?d，则下面不等式中成立的一个是（ ） （A）a?d?b?c （B）ac?bd （C）

ab? （D）d?a?c?b cd解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D） 正是异向不等式相减的结果．

a?b??a??b???d?a?c?b.

c?d?d?c?说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．

典型例题十二

例12 若?1?????1，则下面各式中恒成立的是（ ）． （A）?2?????0 （B）?2??????1 （C）?1?????0 （D）?1?????1

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分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即?1???1，?1???1和???，根据不等式的性质，可得?1????1，

????0，继而得到?2?????2且????0，故?2?????0，因此选A．

典型例题十三

例13 若a?b?c，则一定成立的不等式是（ ）

A．ac?bc B．ab?ac C．a?c?b?c D．分析：A错，当a?b,负号的关系，所以也不对．

故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是?c），原不等式成立． 说明：这类题可以采用特例法：令c?0即得C成立．

111?? abcc?0时有ac?bc；同样B错；D没有考虑各数取零和正

典型例题十四

例14 已知：a＞b，e＞f，c?0，求证：f?ac＜e?bc．

[来源:Z,xx,k.Com]

分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．

??ac＜?bc．证明：?a＞b，c＞0，?ac＞bc，

又f＜e，∴由同向加性可得：f?ac＜e?bc．

?f?ac＜e?bc．说明：此题还可采用异向减性来处理：f＜e，ac＞bc，做这类题过

程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．

典型例题十五

例15已知集合I?R，A?x|x?5x?14＜０，B?x|x|?y?2,y?A,求：

?2???A?B．

分析：要求A?B，需要先求集合A和B，从已知来看，A的范围容易求，B的元素由y?A可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．

解：?x?5x?14?0且I?R,

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2 ??2?x?7.

?A?xx2?5x?14?0??x?2?x?7?.

?y?A,??2?y?7. ??4?y?2?5.?|x|?y?2, ??4?|x|?5,?|x|?5. ??5?x?5.

???B??x?5?x?5?. ?A?B?{x?2?x?5}.

说明：本题中的条件I?R，意在明确集合A中的元素为R，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，?2?x?7的实数和?2?x?7的整数显然是有区别的．另外，这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的，解题时，一定要看清．

典型例题十六

例16 设a和b都是非零实数，求不等式a?b和

11?同时成立的充要条件． ab11?成立的条件则是a与b同ab分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则a?b成立的条件就是a?b本身；而号，且a?b，但这个条件只是

11?的一个充分条件，并且与第一个不等式a?b是矛盾ab的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．

解：先求a?b，应具备什么条件．

1111?同时成立的必要条件，即当a?b，?同时成立时，a与babab?a?b,?a?b?0,??由?11，得?b?a

??0.???ab?ab由a?b?0可知b?a?0，再由是不等式a?b与

b?a?0知ab?0，即a与b异号，因此a?0?bab11?同时成立的必要条件． ab北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台

再求a?b，

11?同时成立的充分条件． ab事实上，当a?0?b时，必有a?b，且是不等式a?b，

1111?0,?0，因而?成立．从而a?0?babab11?同时成立的充分条件． ab11因此，两个不等式a?b，?同时成立的充要条件是a?0?b．

ab11说明：本题结果表明，a?b与?同时成立，其充要条件是a为正数，b为负数．这

ab11与?成立的条件ab?0，b?a不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若a?b，ab1111?同时成立，则要研究从不等式?和a?b看a与b的大小有什么关系，从中得出abab11结论（a?0?b），再把这个结论作为一个充分条件去验证a?b及?能否同时成立．从

ab而解决了本题．

典型例题十七

例17 已知函数f(x)?ax2?c满足：?4?f(1)??1,?1?f(2)?5.则f(3)应满足（ ）

（A）?7?f(3)?26 （B）?4?f(3)?15 （C）?1?f(3)?20 （D）?2835?f(3)? 33分析：如果能用f(1)与f(2)将f(3)“线性”表示出：f(3)?mf(1)?nf(2)，就可利用不等式的基本性质，由f(1)、f(2)的取值范围，推出f(3)满足的条件．

解：∵f(1)?a?c,f(2)?4a?c,

11[f(2)?f(1)],c?[f(2)?4f(1)] 331故f(3)?9a?c?3[f(2)?f(1)]?[f(2)?4f(1)]

385 ?f(2)?f(1)

33∴a?由不等式的基本性质，得

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5520???f(1)??333????1?f(3)?20.

8840??1?f(2)?5???f(2)?3330???4?f(1)??1?故选（C）.

说明：（1）也可设f(3)?mf(1)?nf(2)，由代定系数法求得m??（2）下面的错误是值得引以为戒的∵f(1)?a?c,f(2)?4a?c,

58，n?． 33?4?f(1)??1??4?a?c??1?c?a?4? ? ?1?f(2)?5??1?4a?c?5??0?3a?9?0?a?3???1?c?7

1?c?a?4?又 f(3)?9a?c.

∴

0?a?3?0?9a?27,????7?f(3)?26.

1?c?7??c??1?故选（A）

上述推理错误产生的原因是由于将条件

??4?f(1)??1?0?a?3化为?使a、c的取值范围扩??1?f(2)?51?c?7??大所致．事实上，作为点集

与N?(a,c)0?a?3,1?1?7??之间的关系是

M??N，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP

所围成的区域，这样就直观地表现了M??N，揭示了上述解法的错误．

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