工程力学_陈天富 冯贤桂编著_重庆大学出版社_第二章

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工程力学 第2章 平面力系的简化 与平衡

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第2章 平面力系的简化与平衡平面力系——作用在物体上各力的作用线都在同一平面内。工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。A P1 45 CFs1 F1y

B D P2 (a)F

AFAx

BP1

FAy

DFDG

P2

W Fs2 F2y

空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。

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第2章 平面力系的简化与平衡本章目录2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 平面汇交力系 平面力偶系 平面一般力系 考虑摩擦时的平衡问题 静定与静不定的概念 物体系统的平衡

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2.1 平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。

A

P2

A

P3 P1 P 包括自重与 液体重力

P1

P24

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2.1 平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 1.合成的几何法 F2 力的可传性 F1 F1 F3 F b F3 c 4 F2 F F4 R1 FR 2 a 力多边形法则： F1 O FRO

F 2 F3

O F2 F3 F1O

FR

O

F4

F4

d

FR

汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd,称为不封闭的力多边形(力链)。合力为力多边形的封闭边Od, 方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。 合力大小与分力的次序无关。5

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2.1 平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 1.合成的几何法 F2 力的可传性 F1 F2 F3 F1 F3 O O F4 F44 合力可以表示为： FR Fi i 1

O F3

FR

F2 F1n

F4

若力系为n个力，合力可以表示为：

O

FR

汇交力系 F1 , F2 .....Fn 与其合力 等效。

FR Fi Fii 16

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2.1 平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法 平衡的几何法 平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零。 i 1 F2 F3 F4 F2 F1 FR F3 O F5 F5 F5 F1 FR O O F4 FR与F5等值反向二力平衡 则 F1 , F2 , F3 , F4 , F5 为平衡力系。 , , 平衡条件的几何形式： 力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭。7

n FR Fi 0

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例2-1 如图，P=10kN。两杆自重不计。求两杆的受力。 A60° 30°

FAB

B P

A B

F’BA

B F’ BC

FBAFBC

销钉BB P FBC

O30° 60°

解：

C

CFCB

(1)研究对象：销钉 B

P

(2)画受力图； (3)画力多边形： 选取比例尺；5kN

b

FBA

a

(4)确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算。也可利用三角关系求得。

FBA P sin30 5kN

FBC P cos30 8.66kN

确定未知力方向：力多边形中各力的方向为实际方向，与受力图一致。(5)答案：由作用反作用公理，AB受拉力 5 kN;BC

受压力 8.66 kN。8

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2.1 平面汇交力系2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 合成的解析法平面汇交力系

y j

F1 , F2 , F3 ,...,Fn

F1O

F2

i

F3 Fn

x

每个力 合力 因为

Fi Fix i Fiy j FR Fx i Fy j

n n n FR Fi Fix i Fiy j i 1 i 1 i 1

合力投影定理：

Fx Fix Fixi 1

n

Fy Fiy Fiyi 1

n

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2.1 平面汇交力系2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 合成的解析法 已知合力在直角坐标轴的投影 Fx、Fy 时，可求力FR 大小和 方向。合力的大小

FR Fx Fy2

2

Fix Fiy i 1 i 1 n n

2

2

合力的作用点为力系的汇交点。tan 方位：力与x轴所夹锐角α : Fy Fx F < 0 x

y

方向指向： 由 Fx、Fy 符号定。

Fy > 0

O

Fx > 0 Fy > 0x

Fx < 0 Fy < 0

Fx > 0 Fy < 0

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例2-2:作用于吊环螺钉的四个力构成平面汇交力系。已知各力大小为：F1=360N ,F2=550N ,F3=380N ,F4=300N。试用解析法求合力的大小和方向。

解：

建立坐标系Oxy

FRx F1x F2 x Fnx

y

+F =F1cos60° 2 +F3cos30° 4cos70° +F F160°

=1162NFRy F1 y F2 y Fny

F2 xO30°

—F —F =F1sin60° 3sin30° 4sin70°2 2 合力大小： FR FRx FRy =1173N

70°

FR =-160N

F4 合力方向：

F3tan FRy

FRx =0.1377

7 54 11

由于FRx>0,FRy<0,所以合力指向第四象限，指向如图。

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2.1 平面汇交力系2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 平衡的解析法

平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。 FR Fix Fiy 0 i 1 i 1 n n 2 2

n FR Fi 0 i 1

Fxi 0 x

平面汇交力系的平衡方程有2个平衡方程，

F F平衡的解析条件：

yi y

0 0

只能求解2个未知量。

力系中各力在x、y轴上 投影 的代数和为零。12

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2.1 平面汇交力系2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 平衡的解析法 利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为： 1、选——选取研究对象。

应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。

2、画——画受力图。(标清几何关系) 3、建——建立坐标系。原点可任意，使坐标轴与较多的力平行(或垂直)。

4、列——列平衡方程。注意：不要列成左式等于右式的形式。

5、解——解平衡方程。6、答——答案，必要时作出讨论或说明。13

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例2-3 刚架如图所示，受水平力作用， P=20kN,不计刚架自重，

求A、D 处的约束

反力。PB C 4m

P

y

B

C 4m

A

D8m

A

α 8msin 1 5

D

x

解：(1)研究对象：刚架

FA

FDcos 2 5

(2)受力如图： (3)建立坐标系：Axy (4)列平衡方程：

F

x

0

FA cos + P = 0

F

y

0

FA sin + FD= 0

(5)解得：FA= -22.4kN FD= 10kN

FA 为负，表明其方向与图示相反。14

FD为正，表明其方向与图示相同。

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例2-4 已知如图，不计杆和滑轮重力及滑轮大小。求二杆的受力。A D60 30

FABBA

FBA FBA'B

B

FBC' y

F2 FBC 30 x B 30 F1

B F1

解：

C

C 分析题意 (1)研究对象：滑轮和销轴。

P

FBA FCB F2 30 FBC

F1=F2=P

(2)受力如图： 滑轮大小不计，可为点B。 (3)建立坐标系：Bxy (4)列平衡方程： (5)解得：

F

x

0

-F1cos30 +FBC 2sin30 =0 -FF1sin30 -F2cos30° BA=0 -F

F

y

0

FBA= -0.366P FBC= 1.366P

FBA为负，表明其方向与图相反，FBA'与图相反，AB受压。FBC为正，表明其方向与图相同， FBC'与图相同，BC受压。15

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2.2 平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成 设同一平面内有两个力偶(F1,F'1)、(F2,F'2),力偶臂

分别为d1、d2,力偶矩分别为 m1= F1d1 、m2=-F2d2成结果。 F1 F2 d2F1d1=F3 d F2 d2=F4 d

。求它们的合

d1

F'1 F'2

F4A

F'3d B

F3

F'4

F=F3 -F4

F' A F

m = Fd =(F3-F4)d

dB

= F1d1-F2d2= m1 + m216

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2.2 平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力

偶矩的代数和。2.2.2 平面力偶系的平衡

m mii 1

n

平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代数和等于零。

mi 1

n

i

0

只有一个平衡方程，只能求解一个未知量。17

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例题2-5 已知如图：求A点和B点的约束力。 A D m l

BA DRCA

RACRA

A

m45

B RB

45

l

解

(1)研究对象：AB(2) 受力如图。 (3)列平衡方程： mi 0 (4)解方程RB 2m l

RB sin 45 l

m 0

(5)由力偶的特点，A点反力RA=RB,方向如图。18

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例2-6 用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力 和一力偶，如图所示。已知三个力偶矩分别为： m1=m2=10Nm, m3=20Nm。固定螺钉A、B的间距为l=200mm。 求两个螺钉所受的 水平力。

解： 研究对象：工件FA、FB必组成力偶与其它三个力偶平衡。 由力偶系的平衡条件：

A m 1 m3 m2 B FB l

A

FA

m 1 m3 m2 B

m 0i

FA l m1 m2 m3 0

解得： 从而

FA 200NFB FA 200N19

结果为正，说明图示方向为力的实际方向。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oj9j.html