九年级数学上册1.3.2正方形的性质与判定教案新版北师大版

课题：1.3.2正方形的性质与判定

教学目标：

1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.

2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力．

3.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．

4.通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣． 教学重点与难点：

重点：形成判定正方形的基本思路

难点：综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探索中点四边形形状 课前准备：多媒体课件． 教学过程:

一、创设情境 导入新课 活动内容:回答下列问题.

问题1: 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么请思考一下，它们之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.

问题2：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？

问题3：议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？与同伴交流一下.

处理方式：问题1由学生尝试画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图，目的是让学生理清它们之间的联系和区别.对于问题2先让学生折纸，然后用剪刀剪出一个正方形，并引导学生思考怎样判定一个图形是正方形. 这也为新课的学习做好铺垫．

设计意图：（1）以问题串的形式引入新课，让学生明确本节课所要解决的问题。 （2）让学生回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，正方形性质和判定的

探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。

二、探究学习，感悟新知 探索正方形的判定条件：

学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。

（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形； （3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。

处理方式：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，其他的判别方法要求学生：选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性.

设计意图: 小组内交流，教师关注各小组中每个学生参与的积极性及小组内的合作交流情况，对于正方形的判别，大多数学生习惯于合情推理的论述方式，教师要重视学生语言表述的条理性及严谨性。另外教师利用课件及时总结，让学生学以致用。

三、例题解析，应用新知 活动内容：

例2 如图 1-21，在矩形 ABCD 中，BE 平分 ∠ ABC，CE 平分 ∠ DCB，

BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形 BECF 是正方形．

证明：∵ BF∥CE，CF∥BE，

∴ 四边形 BECF 是平行四边形． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，

∴ ∠ ABC = 90°，∠ DCB = 90°． 又∵ BE 平分 ∠ ABC，CE 平分 ∠ DCB， ∴ ∠ EBC = 12

∠ ABC = 45°，∠ ECB = 12 ∠ DCB = 45°． ∴ ∠ EBC = ∠ ECB． ∴ EB = EC．

∴ □BECF是菱形（菱形的定义）． 在 △EBC 中，

∵ ∠ EBC = 45°，∠ ECB = 45°， ∴ ∠ BEC = 90°．

∴ 菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．

处理方式：此环节采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考正方形判定的运用，目的在于加深学生对判定本身的理解和掌握，同时也丰富了交流的内容，激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的，教师应对学生的合理讲解给予肯定和鼓励。而且整个过程也使学生重新回顾了证明的步骤，为进一步发展学生的演绎推理能力奠定了基础。

设计意图：通过例2，复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 四、猜想结论，分组验证 活动内容1：

B E E A F C

A H B F C G D

A H E B F C G D

图1-8-1 图1-8-2 图1-8-3

问题：1.如图，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线，

①若∠BEF=30，则∠A= . ②若EF=8cm, 则AC= .

°

2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？ 3.四边形EFGH的形状有什么特征？

处理方式：教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题，也增强了学生学习数学的自信心。此外，课件的运用，直观形象，也分解了难点。

设计意图：通过问题串，复习三角形中位线性质定理和命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。 活动内容2：

问题1:依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是什么形状的四边形？

问题2：做一做：我们知道，连接任意一个四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．

学生积极独立思考回答，教师进一步引导他们在小组内交流讨论.然后请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书写在练习本上.

设计意图:让学生亲身经历独立思考、合作交流获得问题解决方法的过程，既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法，提高了解决问题的能力,学生在探究的过程中，享受到成功的喜悦，增强了学习的信心，为下面的学习打下基础. 问题3：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？

处理方式：有的学生猜测还是平行四边形，有的学生猜测是正方形，有的学生猜测是矩形，有的学生猜测是菱形，甚至有的学生猜测是梯形。经过师生的共同探讨，达成一致的结论：一定是平行四边形，而非梯形。于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢？从结论来探索有一些困难，那么我们可以换一种角度思考：四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形？”学生的回答多种多样，原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。

设计意图：在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳、类比、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。 活动内容3：

议一议：(出示多媒体课件)

(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．如果以平行四边形四各边的中点为顶点呢?

(2)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系？

处理方式: 学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。最后归纳得出下面的结论.

原四边形对 角线关系 中点四边形 形状 菱形 矩形 正方形 相等 垂直 相等且垂直 既不相等又 不垂直 平行四边形 设计意图: 使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展．分小组对问题展开探究，既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用更充分发挥其直观、形象和快捷的作用，最大限度的使学生掌握和理解知识.

五、回顾反思，提炼升华

师：同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

生：畅谈自己的收获！

处理方式：学生畅谈自己的收获！最后师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。

设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．

六、达标检测，反馈提高

师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）

A组：

1．（2014?株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A． 选①② B组：

2．（2014?扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H． （1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由； （2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．

设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．

七、布置作业，课堂延伸

必做题：课本25页，习题1.8第2题 第3题． 选做题：1．课本25页，习题1.8第4题． 板书设计：

B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④

§1.3正方形的性质与判定法(2) 正方形的判定方法 ： 例2 证： 中点四边形 投 影 区 学 生 活 动 区

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