概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

第1章 随机事件及其概率

nPm?（1）排列组合公式 nCm?m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：（3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 （5）基本事件、样本空间和事件 A?B （6）事件的关系与运算 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：i?1?A??Aii?1??i A?B?A?B，A?B?A?B （7）概率的公理化定义 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有 ????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 1° ????1,?2??n?， 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1。 n（8）古典概型 设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有 P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m) ?mA所包含的基本事件数? n基本事件总数（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)?（10）加法公式 （11）减法公式 L(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 L(?)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)（12）条件P(AB)概率 件B发生的条件概率，记为P(B/A)?。 P(A)1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（13）乘法公式 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) （14）独立性 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,?,Bn满足 1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， （15）全概公式 2°则有 A??Bii?1n， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，…，Bn及A满足 1° B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，2，…，n， 2° 则 （16）贝叶斯公式 nA??Bii?1，P(A)?0， P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jjj?1n，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 （i?1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，…，P(Bi)，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了（17）伯努利概型 1

“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0?k?n)次的概率， Pn(k)?Cnpkqn?kk，k?0,1,2,?,n。 第二章 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。 显然分布律应满足下列条件： （1）pk?0，k?1,2,?， （2）k?1（2）连续型随机变量的分布密度 ?p?k?1。 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)??f(x)dx??x， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)?0。 2° ?????f(x)dx?1。 （3）离散与连续型随机变量的关系 P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)?P(X?x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0?F(x)?1, ???x???； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1； x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。 对于离散型随机变量，F(x)?xk?xx?pk； 对于连续型随机变量，F(x)?（5）八大分布 0-1分布 二项分布 ???f(x)dx 。 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,?,n。 kkn?kP(X?k)?Pn(k)?Cnpq， 其中q?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。 k1?k当n?1时，P(X?k)?pq，k?0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?， 则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 kn?kk?0,1,2?,lCM?CN?M P(X?k)?,nl?min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 均匀分布 1，即 b?a?1a≤x≤b ,?f(x)??b?a 其他， ??0,则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。 当a≤x1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

指数分布 f(x)? ?e??x, x?0, 0, x?0, 其中??0，则称随机变量X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为 1?e??x, x?0, F(x)? 0, x<0。 记住积分公式： n?xx?edx?n! 0??正态分布 设随机变量X的密度函数为 2????0为常数，?其中?、则称随机变量X服从参数为?、2X~N(?,?)。 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为f(x)?1e?(x??)22?2， ???x???， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?12??22X~N(?,?)(t??)X的分布函数为 若?x，则12?2F(x)?edt2?????。。 为最大值； 参数??0、??1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为x2 ?12?(x)?e2?，???x???， 分布函数为 2????(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1。 2X??2如果X~N(?,?)，则~N(0,1)。 ??x????x???P(x1?X?x2)???2????1?。 ??????Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝1

?(x)?1x?e?t22dt。 概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（6）分位数 （7）函数分布 下分位表：P(X???)＝?； 上分位表：P(X???)＝?。 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,?,xn,?X ， P(X?xi)p1,p2,?,pn,?Y?g(X)的分布列（yi?g(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y， P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布

（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称?为离散型随机量。 设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称 P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?) 为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 … … … … yj p1j p2j … … … x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? ? … pij ? ? ? ? ? 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2）??ijpij?1. 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

连续型 对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|ax1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0); （4）F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1. （5）对于x1?x2，y1?y2， F(x2，y2)?F(x2，y1)?F(x1，y2)?F(x1，y1)?0. （4）离散型与连续型的关系 P(X?x，Y?y)?P(x?X?x?dx，y?Y?y?dy)?f(x，y)dxdy 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)??pij(i,j?1,2,?)； jY的边缘分布为 P?j?P(Y?yj)??pij(i,j?1,2,?)。 i连续型 X的边缘分布密度为 fX(x)??fY(y)??（6）条件分布 离散型 ???? f(x,y)dy；Y的边缘分布密度为 ????f(x,y)dx. 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y?yj|X?xi)?pijpi? ；在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(X?xi|Y?yj)?连续型 pijp?j, 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)?f(x,y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)?（7）独立性 一般型 离散型 f(x,y) fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y) pij?pi?p?j 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 连续型 二维正态分布 f(x,y)?12??1?21??2?e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122????????????2(1??2)?122???1?1????2????, ?＝0 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 （8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D 其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1 x y 1 O 图3.2 1 D2 2 x y d D3 c O a b x 图3.3 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 f(x,y)?12??1?21??2e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122????????????1?22(1??2)?12????1????2????, 其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 22记为（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2). 22但是若X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2)，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ??对于连续型，fZ(z)＝???f(x,z?x)dx 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（?1??2,?1）。 ??2n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ???Ci?i， ?2??Ci2?i2 iiZ=max,min(X1,X2,…Xn) 若X1,X2?Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)?Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： Fmax(x)?Fx1(x)?Fx2(x)?Fxn(x) Fmin(x)?1?[1?Fx1(x)]?[1?Fx2(x)]?[1?Fxn(x)] 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

?2分布 设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W??Xi2 i?1n的分布密度为 nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,u?0, u?0.我们称随机变量W服从自由度为n的?2分布，记为W～?2(n)，其中 ?n????1?????x2e?xdx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 n?2分布满足可加性：设 Yi??2(ni), 则 Z??Yi~?2(n1?n2???nk). i?1k1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 X~N(0,1),Y~?2(n), 可以证明函数 T?的概率密度为 XY/n ?n?1????t2?2???f(t)?1??nn??n??????2??????n?12 (???t???). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 t1??(n)??t?(n) F分布 设X~?2(n1),Y~?2(n2)，且X与Y独立，可以证明F?X/n1的概率密度函数为 Y/n2??n1?n2?????n12??????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2??????y?n12n1?12?n1??1?y??n2????n1?n22,y?0 0,y?0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). F1??(n1,n2)?1 F?(n2,n1)第四章 随机变量的数字特征

（1） 离散型 连续型 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P(X?xk)＝pk，k=1,2,…,n， 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， ??E(X)?E(X)??xkpk k?1n???xf(x)dx （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) nE(Y)??g(xk)pk k?1??E(Y)????g(x)f(x)dx ?? 方差 2D(X)=E[X-E(X)]， 标准差 D(X)??[xk?E(X)]2pk kD(X)??[x?E(X)]2f(x)dx ???(X)?D(X)， 矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)= k①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)=k?xikipi, ?????xkf(x)dx, k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期 k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X望为X的k阶中心矩，记为?k，的k阶中心矩，记为?k，即 即 ?k?E(X?E(X)).=ik?k?E(X?E(X))k ， .= ?(xi?E(X))kpi?????(x?E(X))kf(x)dx, k=1,2, …. k=1,2, …. 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 2?2P(X????)?2 ?切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X????) 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(?CX)??CE(X) iiiii?1i?1nn（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C 2（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) 2（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 22（4） D(X)=E(X)-E(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 0-1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) 期望 方差 （4）常见分布的期望和方差 p np p(1?p) np(1?p) ? 1 pnM Na?b 21? 1?p 2pnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?(b?a)2 121 2?几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) 均匀分布U(a,b) 指数分布e(?) ? 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

正态分布N(?,?2) ? n 0 ?2 2n ?2分布 t分布 （5）二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n?2??E(X)??xipi? i?1E(X)??????xfX(x)dx E(Y)??yjp?j j?1nE(Y)????yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ ??G(x,yiijj)pij ????－?－???G(x,y)f(x,y)dxdy ??方差 D(X)??[xi?E(X)]2pi? iD(X)??[x?E(X)]2fX(x)dx ????D(Y)??[xj?E(Y)]2p?j jD(Y)??[y?E(Y)]2fY(y)dy ??协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即 ?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]. 与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称 ?XYD(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。 |?|≤1，当|?|=1时，称X与Y完全相关：P(X?aY?b)?1 完全相关??正相关，当??1时(a?0)，?负相关，当???1时(a?0)， 而当??0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①?XY?0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 ??XX????YX?XY?? ??YY?混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为?kl；k+l阶混合中心矩记为： ukl?E[(X?E(X))k(Y?E(Y))l]. （6）协方差的性质 （7）独立和不相关 (i) (ii) (iii) (iv) （i） （ii） cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。 若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 22第五章 大数定律和中心极限定理

1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（1）大数定律 X?? 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量Xn为具有参数n, p(0

（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,?,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,?,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,?,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称 个体 样本 ??? （x1,x2,?,xn） 为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（x1,x2,?,xn）为一个统计量。 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 2 1nx??xi. ni?11n2S?(x?x). ?in?1i?1 样本标准差 1n2S?(x?x). ?in?1i?1 样本k阶原点矩 1nkMk??xi,k?1,2,?. ni?1样本k阶中心矩 1n???(xi?x)k,k?2,3,?. Mkni?1E(X)??，D(X)??2n， E(S2)??2，E(S*2)?2n?12?, n1n2其中S*??(Xi?X)，为二阶中心矩。 ni?1（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数 ut分布 defx???/n~N(0,1). 2设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，则样本函数 tdefx??s/n~t(n?1), 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

?2分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数 wdef(n?1)S2?2~?2(n?1), 其中?2(n?1)表示自由度为n-1的?2分布。 F分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?12)的一个样本，而2y1,y2,?,yn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数 F其中 defS12/?12S/?2222~F(n1?1,n2?1), 1n1S?(xi?x)2, ?n1?1i?1211n2S?(yi?y)2; ?n2?1i?122F(n1?1,n2?1)表示第一自由度为n1?1，第二自由度为n2?1的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 X与S2独立。 第七章 参数估计

1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数?1,?2,?,?m，则其分布函数可以表成F(x;?1,?2,?,?m).它的k阶原点矩vk?E(Xk)(k?1,2,?,m)中也包含了未知参数?1,?2,?,?m，即vk?vk(?1,?2,?,?m)。又设x1,x2,?,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 1nk?xi (k?1,2,?,m). ni?1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 ?1n????v1(?1,?2,?,?m)?n?xi,i?1?????1n2?v2(?1,?2,?,?m)??xi,?ni?1? ??????????????n????v(?,?,?,?)?1xim.?m12m?ni?1?由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(?1,?2,?,?m)即为参数（?1,?2,?,?m）的矩估计量。 ????)为g(?)的矩估计。 若?为?的矩估计，g(x)为连续函数，则g(??1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;?1,?2,?,?m)，其中?1,?2,?,?m为未知参数。又设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称 L(?1,?2,?,?m)??f(xi;?1,?2,?,?m) i?1n为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X?x}?p(x;?1,?2,?,?m)，则称 L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)??p(xi;?1,?2,?,?m) i?1n为样本的似然函数。 若似然函数L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)在?1,?,?,?m处取2???到最大值，则称?1,?2,?,?m分别为?1,?2,?,?m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 ????lnLn??i ??0,i?1,2,?,m ?i??i??)为g(?)的极大若?为?的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(?似然估计。 （2）估计量的评选标准 无偏性 设???(x1,x2,?,xn)为未知参数?的估计量。若E （?）=?，则称 ????为?的无偏估计量。 E（X）=E（X）， E（S）=D（X） 有效性 设?1??1(x1,x,2,?,xn)和?2??2(x1,x,2,?,xn)是未知参数?的两个无偏估计量。若D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效。 ????2?????1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

一致性 设?n是?的一串估计量，如果对于任意的正数?，都有 n????limP(|?n??|??)?0, ?则称?n为?的一致估计量（或相合估计量）。 ?)?0(n??),则?为?的一致估计。 若?为?的无偏估计，且D(?只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）区置信区间估计 间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数?。如果我们从样本x1,x,2,?,xn出发，找出两个统计量???1??1(x1,x,2,?,xn)与?2??2(x1,x,2,?,xn)(?1??2)，使得区间[?1,?2]以1??(0???1)的概率包含这个待估参数?，即 P{?1????2}?1??, 那么称区间[?1,?2]为?的置信区间，1??为该区间的置信度（或置信水平）。 单正总体期望方差区间计 态的和的估设x1,x,2,?,xn为总体X~N(?,?)的一个样本，在置信度为1??下，我们来确定?和?2的置信区间[?1,?2]。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度1??，查表找分位数； （iii）导出置信区间[?1,?2]。 21

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 u?x???0/n~N(0,1). (ii) 查表找分位数 ??x??P????????1??. ???0/n??（iii）导出置信区间 ?0?0??x??,x???? nn??未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 t? x??S/n~t(n?1). (ii)查表找分位数 ??x???P????????1??. ?S/n??（iii）导出置信区间 ?SS?x??,x???? nn??方差的区间估计 （i）选择样本函数 w?(n?1)S2?2~?2(n?1). （ii）查表找分位数 ??(n?1)S2?P?????2??1??. 2?1???（iii）导出?的置信区间 ?n?1n?1?S,S? ??1???2第八章 假设检验

1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件{K?R?}，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) ?由样本值x1,x2,?,xn计算统计量之值K； ??将K与?进行比较，作出判断：当|K|??(或K??)时否定H0，否则认为H0相容。 两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记?为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}=?； 此处的α恰好为检验水平。 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记?为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}=?。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，?变小，则?变大；相反地，?变小，则?变大。取定?要想使?变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。

第二类错误 1

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

单正态总体均值和方差的假设检验

条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 H0:???0 已知? 2|u|?uU?x??0 1??2 H0:???0 H0:???0 H0:???0 ?0/nN（0，1） u?u1?? u??u1?? |t|?tT?x??0S/n 1??2(n?1) 未知? 2H0:???0 H0:???0 t(n?1) t?t1??(n?1) t??t1??(n?1) 2w???(n?1)或H0:?2??2 未知? 22w?(n?1)S2?02w?? 21??2(n?1) ?2(n?1) H0:???220 w??12??(n?1) 2w???(n?1) 2 H0:?2??0

1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pr83.html