概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

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第1章 随机事件及其概率

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概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配

率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： i 1

A Ai i 1

i

A B A B, A B A B

(7)概率 的公理化 定义

设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 , A2 , 有

P Ai P( Ai ) i 1 i 1常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° 1 , 2 n , 2° P( 1 ) P( 2 ) P( n )

(8)古典 概型

设任一事件 A ,它是由 1 , 2 m 组成的，则有

1 。 n

P(A)= 1 ) ( 2 ) ( m ) = P( 1 ) P( 2 ) P( m ) (

m A所包含的基本事件数 基本事件总数 n

(9)几何 概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,

P ( A) (10)加法 公式 (11)减法 公式

L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L ( )

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0,则称

P ( AB ) 为事件 A 发生条件下，事 P ( A) (12)条件 P ( AB ) 概率 件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) 。 P ( A)1

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(13)乘法 公式

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB ) P( A) P( B / A) 更一般地，对事件 A1,A2, An,若 P(A1A2 An-1)>0,则有

P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) P ( An | A1 A2 An 1) 。①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P( AB ) P( A) P( B) , 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ,则有

P( B | A)

P( AB ) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A)

(14)独立 性

若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2, , Bn 满足 1° B1, B 2, , Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0(i 1,2, , n) ,

(15)全概 公式

2° 则有

A Bii 1

n

,

P( A) P( B1) P( A | B1) P( B 2) P( A |

B 2) P( Bn) P( A | Bn) 。设事件 B1 , B 2 , , Bn 及 A 满足 1° B1 , B 2 , , Bn 两两互不相容， P (Bi ) >0, i 1,2, , n , 2° 则 (16)贝叶 斯公式n

A Bii 1

, P( A) 0 , ,i=1,2, n。j

P( Bi / A)

P( Bi ) P( A / Bi )

P( B ) P( A / B )j 1 j

n

此公式即为贝叶斯公式。 ( ,通常叫先验概率。 P(Bi / A) , i 1 ,2 , , ( P( Bi ) , i 1 ,2 , ,n ) n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了 (17)伯努 利概型1

“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；

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第二章 随机变量及其分布

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(4)分布 函数

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数

F ( x) P( X x)称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a X b) F (b) F (a)

可以得到 X 落入区间 ( a , b ] 的概率。分布

函数 F (x ) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°

0 F ( x) 1,

x ;

F (x ) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x 2) ;

F ( ) lim F ( x) 0 ,x

F ( ) lim F( x) 1 ;x

F ( x 0) F ( x) ,即 F (x ) 是右连续的； P( X x) F ( x) F ( x 0) 。xk x

对于离散型随机变量， F ( x )

px

k

;

对于连续型随机变量， F ( x) (5)八大 分布 0-1 分布 二项分布

f ( x)dx

。

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2, , n 。k P ( X k ) Pn(k ) C n p k q n k

,

其

中

q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, , n ,则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为

X ~ B (n, p ) 。当 n 1 时， P( X k ) p k q1 k , k 0.1 ,这就是(0-1)分 布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。

1

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泊松分布

设随机变量 X 的分布律为

P( X k )

kk!

e , 0 , k 0,1,2 ,

则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ ( ) 或 者 P( )。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ ,n→∞) 。 超几何分布

P( X k )

k n C M C N kM k 0,1,2 , l , n l min( M , n) CN

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布

P( X k ) q k 1 p, k 1,2,3, ,其中 p≥0,q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 设随机变量 X 的值只落在[a,b]内，其密度函数 f (x ) 在[a,b] 上为常数

均匀分布

1 ,即 b aa≤x≤b 其他，

1 , f ( x) b a 0,

则称随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布，记为 X~U(a,b)。 分布函数为 0, x<a,

x a , b a

F ( x)

x

f ( x )dx 1,

a≤x≤b x>b。

当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间( x1 , x 2 )内的概率为

P( x1 X x2 )

x2 x1 。 b a

1

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指数分布

e x ,f (x) 0,

x 0, x 0,

其中 0 ,则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。 X 的分布函数为

F (x)

1 e x ,0,

x 0,x<0。

记住积分公式：

x0

n

e x dx n!

正态分布

设随机变量 X 的密度函数为

f ( x)

1 2

( x )2 2 2

e

,

x ,

其中 、 0 为常数， 则称随机变量 X 服从参数为 、的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X ~ N ( , ) 。2

f (x ) 具有如下性质：1°

f (x ) 的图形是关于 x 对称的；

2° 当 x 时， f ( ) 2

1 2

为最大值；

( t X2 若 X ~

N ( , )x,则 2) 的分布函数为 1

F ( x)

2

e

2

dt

。 。

参数 0 、 1 时的正态分 布称为标准正态分布， 记为

X ~ N (0,1) ,其密度函数记为 x2 1 2 ( x) e 2 , x ,分布函数为x t2 2

( x )

1 2

(x ) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ (-x)=1-Φ (x)且 Φ (0)= 如果 X ~ N ( , 2 ) ,则

e

dt 。1 。 2 X

x x P ( x1 X x 2 ) 2 1 。

~ N (0,1) 。

1

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第三章 二维随机变量及其分布

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连续型

对 于 二 维 随 机 向 量 (X ,Y ) , 如 果 存 在 非 负 函 数

f ( x, y)( x , y ) ,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d} 有

P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy ,D

则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 =(X,Y)的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质： (1) f(x,y)≥0; (2) (2)二维 随机变量 的本质 (3)联合 分布函数

f ( x, y )dxdy 1.

( X x, Y y) ( X x Y y)设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

F ( x, y ) P{ X x, Y y}称为二

维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件

{( 1 , 2 ) | X ( 1 ) x, Y ( 2 ) y} 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质： (1) 0 F ( x, y ) 1; (2)F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x2>x1 时，有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1 时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); (3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即

F ( x, y) F ( x 0, y ), F ( x, y) F ( x, y 0);(4) F ( , ) F ( , y ) F ( x, ) 0, F ( , ) 1. (5)对于 x1 x2,y1 y 2,

F ( x2,y 2 ) F ( x2,y1 ) F ( x1,y 2 ) F ( x1,y1 ) 0 .(4)离散 型与连续 型的关系

P( X x,Y y) P( x X x dx,y Y y dy ) f ( x,y)dxdy

1

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(5)边缘 分布

离散型

X 的边缘分布为

Pi P( X xi ) pij (i, j 1,2, ) ;j

Y 的边缘分布为

P j P(Y y j ) pij (i, j 1,2, ) 。i

连续型

X 的边缘分布密度为

f X ( x) f Y ( y) (6)条件 分布 离散型

f ( x, y ) dy;

Y 的边缘分布密度为

f ( x, y )dx.

在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为

P (Y y j | X x i )

p ij pi

;

在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为

P( X x i | Y y j ) 连续型

p ij p j

,

在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为

f ( x | y)

f ( x, y) ; f Y ( y)

在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为

f ( y | x) (7)独立 性 一般型 离散型

f ( x, y) f X ( x)

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

p ij p i p j有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形

连续型

二维正态分 布

f ( x, y )

1 2 1 2 1 2

e

x 2 2 ( x )( y ) y 2 1 1 1 2 2 1 2 2 (1 2 ) 1 2

,

=0

1

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随机变量的 函数

若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则： h(X1,X2, Xm)和 g(Xm+1, Xn)相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h(X)和 g(Y)独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。

(8)二维 均匀分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

1 S D f ( x, y ) 0,

( x, y ) D 其他

其中 SD 为区域 D 的面积，则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X,Y)~ U(D) 。 例如图 3.1、图 3.2

和图 3.3。

y1

D1 O图 3.1 1

x

y1 D2

O

1

2 x

图 3.2

y dD3

c O a图 3.3

b

x

1

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(9)二维 正态分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

f ( x, y )

1 2 1 2 1 2

e

x 2 2 ( x )( y ) y 1 1 2 2 1 2 2 (1 ) 1 2 12

2

,

其中 1 , 2, 1 0, 2 0, | | 1 是 5 个参数，则称(X,Y)服从二维正态分 布， 记为(X,Y)~N( 1 , 2, 1 , 2 , ).2 2

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布， 即 X~N( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2, 2 ).2 2

但是若 X~N( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2, 2 ) ,(X,Y)未必是二维正态分布。2 2

(10)函数 分布

Z=X+Y

根据定义计算： FZ ( z) P(Z z) P( X Y z)

对于连续型，fZ(z)=

f ( x, z x)dx

2 2 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 1 2 , 1 2 ) 。

n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Ci i , 2 Ci2 i2i i

Z=max,min( X1,X2, Xn)

若 X1 , X 2 X n 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为

Fx1 ( x),Fx2 ( x) Fxn ( x) ,则 Z=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数为：

Fmax ( x) Fx1 ( x) Fx2 ( x) Fxn ( x) Fmin ( x) 1 [1 Fx1 ( x)] [1 Fx2 ( x)] [1 Fxn ( x)]

1

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2 分布

设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和

W X i2i 1

n

的分布密度为n u 1 1 2 u e 2 n n f (u ) 2 2 2 0,

u 0, u 0.

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 2 分布， 记为 W~ 2 (n) , 其中 1 n x 2 e x dx. 2 0 n

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。

2 分布满足可加性：设Yi 2 ( n i ),则

Z Yi ~ 2 (n1 n2 nk ).i 1

k

1

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第四章 随机变量的数字特征

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一 随 变 的 字 征

维 机 量 数 特

期望 期望就是平均值

设 X 是离散型随机变量， 其分布 律 为 P( X xk ) = pk , k=1,2, ,n,

设 X 是连续型随机变量， 其概率密 度为 f(x),

E( X )

E ( X ) xk pkk 1

n

xf ( x)dx

(要求绝对收敛)

(要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)n

E (Y ) g ( x k ) p kk 1

E (Y )

g ( x) f ( x)dx

方差 2 D(X)=E[X-E(X)] , 标准差

D( X ) [ xk E ( X )] pk2 k

D( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx

( X ) D( X ) ,矩 ①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=k

①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点 矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=k

xi

k i

pi ,

x k f ( x) dx ,

k=1,2, . ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期

k=1,2, . ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期望为 X

望为 X 的 k 阶中心矩， 记为 k , 的 k 阶中心矩，记为 k ,即 即

k E ( X E ( X )) k.=

k E ( X E ( X )) k.= ,

(xi

i

E ( X )) pik

( x E ( X )) k f ( x)dx ,

k=1,2, .

k=1,2, .

1

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切比雪夫不等式

设随机变量 X 具有数学期望 E(X)=μ ,方差 D(X)=σ ,则对于 任意正数ε ,有下列切比雪夫不等式

2

P( X )

2 2P( X )

切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。 (2) 期 望 的 性 质 (1) E(C)=C (2) E(CX)=CE(X) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), E (

Ci X i ) Ci E ( X i )i 1 i 1

n

n

(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 (3) 方 差 的 性 质 (1) (2) (3) (4) (5) D(C)=0;E(C)=C 2 D(aX)=a D(X); E(aX)=aE(X) 2 D(aX+b)= a D(X); E(aX+b)=aE(X)+b 2 2 D(X)=E(X )-E (X) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而 E(X

+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 期望 0-1 分布 B(1, p) 二项分布 B(n, p) 泊松分布 P ( ) 方差

(4) 常 见 分 布 的 期 望 和 方差

p np

p(1 p)np (1 p)

1 p

1 p p2nM M N n 1 N N N 1 (b a) 2 12

几何分布 G( p)

超几何分布 H (n, M , N )

nM N a b 2 1

均匀分布 U ( a, b) 指数分布 e ( )

1 2

1

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正态分布 N ( , 2 )

n 0

22n

2 分布t 分布 (5) 二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 期望n

n (n>2) n 2

E ( X ) xi pi i 1

E( X )

xf

X

( x)dx

E(Y ) y j p jj 1

n

E (Y )

yf

Y

( y)dy

函数的期望

E[G ( X , Y )] =

E[G ( X , Y )] =

G( x , yi i j

j

) pij

- -

G( x, y) f ( x, y)dxdy

方差

D( X ) [ xi E ( X )] pi 2 i

D( X ) [ x E ( X )]2 f X ( x)dx

D(Y ) [ x j E(Y )]2 p jj

D(Y ) [ y E (Y )]2 f Y ( y)dy

协方差

对于随机变量 X 与 Y, 称它们的二阶混合中心矩 1 1 为 X 与 Y 的协方 差或相关矩，记为 XY 或 cov( X , Y ) ,即

XY 11 E[( X E( X ))(Y E(Y ))].与记号 XY 相对应， 与 Y 的方差 D X (X) D 与 (Y) 也可分别记为 XX 与 YY 。

1

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第五章 大数定律和中心极限定理

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(1)大数定律

X

切比雪 夫大数 定律

设随机变量 X1,X2,

相互独立，均具有有限方差，且被同一 常数 C 所界：D(Xi)<C(i=1,2, ),则对于任意的正数ε ,有

1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1. n n n i 1 i 1 特殊情形：若 X1,X2, 具有相同的数学期望 E(XI)=μ , 则上式成为

1 n lim P X i 1. n n i 1 伯努利 大数定 律 设μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε ,有

lim P p 1. n n 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

n

lim P p 0. n

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1,X2, ,Xn, 是相互独立同分布的随机变量序列，且 E (Xn)=μ ,则对于任意的正数ε 有

1 n lim P X i 1. n n i 1 (2)中心极限定 理 列维- 林德伯 格定理 设随机变量 X1,X2, 相互独立，服从同一分布，且具有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ：

X N ( ,

2n

)

E ( X k ) , D( X k ) 2 0(k 1,2, ) ,则随机变量

Yn

Xk 1

n

k

n

n

的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x,有

n X k n 1 lim Fn ( x) lim P k 1 x n n n 2 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

x

e

t2 2

dt .

1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jcch.html