大连理工大学大学物理作业及答案详解1-22

大连理工大学大学物理作业及答案详解

作业1 （静电场一）

1．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ]

?A．场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比。

?B．对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变。

??C．试探电荷受力F的方向就是场强E的方向。

??D．若场中某点不放试探电荷q0，则F?0，从而E?0。

答案： 【B】

[解]定义。场强的大小只与产生电场的电荷以及场点有关，与试验电荷无关，A错；如果试验电荷是负电荷，则试验电荷受的库仑力的方向与电场强度方向相反，C错；电荷产生的电场强度是一种客观存在的物质，不因试验电荷的有无而改变，D错；试验电荷所受的库仑力与试验电荷的比值就是电场强度，与试验电荷无关，B正确。

2．一个质子，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示哪个正确？[ ]

??[解]qE?ma，质子带正电且沿曲线作加速运动，有向心加速度和切线加速度。

存在向心加速度，即有向心力，指向运动曲线弯屈的方向，因此质子受到的库仑力有指向曲线弯屈方向的分量，而库仑力与电场强度方向平行（相同或相反），因此A和B错；质子沿曲线ACB运动，而且是加速运动，所以质子受到的库仑力还有一个沿ACB方向的分量（在C点是沿右上方），而质子带正电荷，库仑力与电场强度方向相同，所以，C错，D正确。

3．带电量均为?q的两个点电荷分别位于X轴上的?a和?a位置，如图所示，则

答案： 【D】

?Y轴上各点电场强度的表示式为E= ，场强最大值的位置在y? 。

qyj，y??a/2 答案：E?32??0(a2?y2)2q[解]E?E1?E2 E1?E2?4??0(a2?y2)关于y轴对称：Ex?0,Ey?2E1cos?

?E?Eyj?qy322j

2??0(a2?y)dE沿y轴正向的场强最大处?0

dy? ? dE322222?(a?y)?y(a?y)2?2y y?a/2 y??a/2处电场最强。 dy24．如图所示，在一无限长的均匀带点细棒旁垂直放置一均匀带电的细棒MN。且二棒共面，若二棒的电荷线密度均为??，细棒MN长为l，且M端距长直细棒也为l，那么细棒MN35受到的电场力为 。

?2答案：ln2，方向沿MN

2??0[解] 坐标系建立如图：MN上长为dx的元电荷dq??dx受力dF?Edq。 无限长带电直线场强E??， 方向：沿x轴正向。

2??0x?F??dF??2ll?2?2dx?ln2；方向沿x轴正向。 2??0x2??05．用不导电的细塑料棒弯成半径为R的圆弧，两端间空隙为l?l??R?，若正电荷Q均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。 解：设棒上电荷线密度为?，则：??Q,

2?R?l根据叠加原理，圆心处场强可以看成是半径为R,电荷线密度为?的均匀带电园环（带电量为Q1?2?R?）在圆心处产生的场强E1与放在空隙处长为l，电荷线密度为??的均匀带电棒（可以看成是点电荷q???l）在圆心产生的场强E2的叠加。即：

E0?E1?E2;

?E1?0,?E0?E2?q24??0R???llQ?)?? E0?(?RR224??0R4??0R(2?R?l)?) (?R(方向从圆心指向空隙处)。

6．如图所示，将一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电荷Q，下半段均匀带有电量?Q，求半圆中心处的电场强度。

解：按题给坐标，设线密度为?，有：??Q/(?2?

R) 。上下段分割，任意dQ在圆心产生

dE?(?) 对称性：E0x?0,Eo?Eoy?2E?y(2E?y)，dE?y??dE?cos?

?E0?2??dE?cos???2?dQcos?Qcos???2?Rd????4??0R24??0R2?2?0R202 方向沿y轴负方向。

7．线电荷密度为?的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状，若圆弧半径为R，试求O点的场强。

答案：按题给坐标，O点的场强可以看作是两个半无限长直导线、半圆在O点产生场强的

????叠加。即：E0?E1?E2?E3

??由对称性，E1和E2在y方向的矢量和为零；在x方向矢量和是单根的2倍。 上半无限长导线取电荷元dq1??dx，它在O点的场强沿x方向的分量：

1qdxxdE1x??

4??0(R2?x2)R2?x2E1x????224??0?(R?x)01??dxxR2?x2??18??0??0?d(R2?x2)(R2?x2)1R2?x2

?4??0R?????E1x?E2x??i ，E1?E2??2??0R2??0R?由对称性，E3在y方向的分量为零。

在圆弧上取电荷元dq3??Rd?，它在O点的场强的x方向分量，

dE3x?14??0?Rd?R2cos?

?2E3x????4??21?Rd?0R2cos??1?2??0R?，E3?1??2??0Ri

????E0?E1?E2?E3?0

8．一个金属球带上正电荷后，质量有所增大？减小？不变？

答案：理论上说金属带正电后因失去电子，质量有所减少，但测量很困难。 9．以点电荷为中心，半径为R的球面上，场强的大小一定处处相等吗？

答案：如果点电荷是静止孤立的且周围介质均匀分布，则半径为R的球面上，场强大小一定处处相等，在其它情形，不一定处处相等。比如，点电荷周围还有其它的带电体，则球面上的场强应是各场强的叠加，可能不处处相等。

作业2

1．如图所示，把点电荷?q从高斯面外P移到R处?OP?OR?，

O为S上一点，则[ ]

? A.穿过S的电通量?e发生改变，O处E变

???B.?e不变，E变。 C.?e变，E不变。D.?e不变，E不变。

答案：【B】

[解]闭合面外的电荷对穿过闭合面的电通量无贡献，或者说，

闭合面外的电荷产生的电场，穿过闭合面的电通量的代数和为零；移动点电荷，会使电荷重新分布，或者说改变电荷的分布，因此改变了O点的场强。

2．半径为R的均匀带电球面上，电荷面密度为?，在球面上取小面元?S，则?S上的电荷受到的电场力为[ ]。

?2?S?2?S?2?SA. 0 B. C. D. 22?0?04??0R答案：【B】

解：应用高斯定理和叠加原理求解。如图所示。

面元?S上的电荷受到的库仑力是其他电荷

?在面元?S处产生的总电场强度E1与面元?S上的电荷量?Q???S的乘积：

???F1??QE1???SE1。

???S?SE面元处电场强度是面元电荷在此产生的电场强度E2与其他电荷在面元?S????处产生的总电场强度E1的矢量和，E?E1?E2。

首先，由高斯定理求得全部球面分布电荷在面元?S处产生的总电场强度 ??? E?R?0其次，面元?S上的电荷量?Q???S对于面元?S来说，相当于无限大带电平面，因此，面元?S上的电荷量?Q???S在面元?S处产生的电场强度为

???E2?R 2?0由叠加原理，其他电荷在面元?S处产生的总电场强度为

?????E1?E?E2?R

2?0面元?S上的电荷量?Q???S受到的库仑力为 ??????2?F1??QE1???SE1???SR??SR

2?02?0注：本题可以用叠加原理直接进行计算，太麻烦。

3．如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于[ ]。 A.

qq B. 6?012?0qqC. D.

24?048?0答案：【C】

[解] ：如果以A为中心，再补充上7个相同大小的立方体，则组成一个边长为小立方体边长2倍大立方体，点电荷q位于大立方体的中心。

由高斯定理，穿过大立方体表面的电通量为q/?0，大立方体的6个正方形表面相对于点电荷q是对称的，所以，穿过大立方体一个侧面的电通量是总电通量的1，即穿过大立

6方体一个侧面（可以考虑abcd所在的侧面）的电通量为

q6?0。

大立方体一个侧面，是由4个小立方体一个侧面组成的，而这4个小立方体侧面对于点电荷q也是对称的，所以，穿过小立方体一个侧面的电通量是穿过大立方体一个侧面的电通量的1，即穿过小立方体一个侧面的电通量为

4q24?0。

4．一半径为R长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为?，在带电圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为r?r?R?，则P点的电场强度的大小= ，当r??L时，

E? ，当r??L时，E? 。

解：当r??L时，在柱体中垂面附近，带电柱体可以被看作无限长。以带电柱体的轴为对称轴，过P点作一个高为l（l??L）的柱面为高斯面，

如图所示。则由对称性，柱面高斯面的上下底面处电场强度处处与高斯面的法线垂直，电通量为零；柱面高斯面的侧面上，电场强度近似处处相等，并与高斯面的法线方向平行。则穿过高斯面的总电通量为

????????E?dS?E?dS?E?dS?E?????????dSSS1S2S3?????E?dS?2?rlES2

而高斯面包围的电荷量为

Q??l

由高斯定理，得到

2?rlE??l?0，E?? 2??0r如果r??L，则带电柱面体可以被看作点电荷，则

E??L

4??0r2

??? E?E1?E2

由高斯定理

??E?dS?Q/?0,

在两个导线之间（平面）的P点，有

?E1???????i，E2??i 2??0x2??0(d?x)P点的电场强度为 ???E?E1?E2?????i?i 2??0x2??0(d?x)??d?i2??0x(d?x)两个导线之间的电势为

2?d?a??2???U??E?dl??E1?idx??E2?idx??2111ad?a???d?a dx??dx?ln2??0x2??0(d?x)??0aa故单位长度的电容为 C?dlna8在一大块金属导体中挖去一半径为R的球形空腔，球心处有一点电荷q。空腔内一点A到球心的距离为rA，腔外金属块内有 一点B，到球心的距离为rB，如图4-2所示。求A,B两点的电场强度。S

QL???LULU??0d?alna???0

解：

由于电荷q放在球心处，球形空腔内的电场强度具有球对

称性，由高斯定理得到A的电场强度

??E?dS?Q/?0,EA?rA 24??0rArAqB点在导体内，EB=0

9．有两个无限大平行面带电导体板，如图4-3所示。

?1?证明：相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；

相背的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相同。

?面上的电荷面密度。E

?2?若左导体板带电3C?m?2，右导体板带电7C?m?2，求四个表

解：设4个面电荷分布为?1 、?2 、?3 、?4（暂设为正） (1)做出如图所示的柱形高斯面S1，由于导体内部场强为零，侧面法线方向与场强方向垂直，故穿过高斯面S1的电通量为零，由

高斯定理有，S1面内电荷数为零，即?2???3。

做出如图所示的对称的柱形高斯面S2，侧面法线方向与场强方向垂直；柱形两个底面上，电场强度大小相等，而且都与底面法线方向同向，由高斯定理有

E2?S??1??2??3??4???4???4?S?1?S，E?1?0?02?0

做出如图所示的对称的柱形高斯面S3，由高斯定理有

?1??S，E?1 ?0?0两式联立，即可得到?1??4。

E?S?(2)

??1??2?3?????7?????5C?m?2?3?144?? ??2???1??4??2???3??2C?m???2???310．将一个中性的导体放在静电场中，导体上感应出来的正负电荷的电量是否一定相等，这时导体是否为等势体？若在电场中将此导体分为分别带正负电的两部分，两者的电势是否仍相等？

答：(1) 一定相等；是等势体. (2) 不一定. 解：（1）电荷守恒，中性导体感应出来的电荷的电量一定等值异号。只要导体达到静电平衡，导体一定是等势体。（2）分开后，变为两个导体，各自的电荷要重新分布，各自达到静电平衡，各自是等势体，但两个等势体的电势不一定相等。

11．孤立导体带电量Q，其表面附近的场强方向如何？当将另一带电体移近导体时，其表面附近的场强方向有什么变化？导体内部的场强有无变化？

答案：(1)方向为垂直导体面； (2)没有变化; (3)内部场强不变。 解：（1）静电平衡时，导体表面附近的电场强度与该处导体表面。在表面正电荷处，电场强度方向向外；在表面负电荷处，电场强度方向向里。（2）当将另一带电体移近导体时，电荷要重新分布，两个导体的电荷产生的电场叠加，保证导体表面附近的电场强度与该处导体表面。（3）静电平衡时，导体内部电场强度为零。 12．根据电容的定义C?Q，是否可以为系统不带电时电容为零？ U答案：不能这么认为。电容是系统的固有属性，不会因系统带电与否而改变。

作业5

1．一平行板电容器中充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为???，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。

A.

???????? B. C. D. ?02?0?0?r?r答案：【A】

解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。在产生静电场方面，它们的性质是一样的。在电容器中，正是极化电荷的存在，产

生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。

正负极化电荷产生的电场强度的大小都是?/2?0，方向相同，所以，极化电荷产生的电场的电场强度为?/?0。

2．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷q所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。

A. 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 B. 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 C. 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 D. 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立

答案：【B】

解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。

3．半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为?r的均匀介质。设两圆筒上单位长度带电量分别为??和??，则介质中的电位移矢量的大小D? ，电场强度的大小E? 。 答案：D???, E? 2? r2??0?rr解：如图，取柱面高斯面。根据对称性，柱面（高

?斯面）的上下底上，电位移矢量D与高斯面法线

方向垂直；柱面（高斯面）的侧面上，电位移矢由高斯定理，得到

?量D处处大小相等，并与高斯面法线方向平行。

???D?dS?QD?2?rlD?l?，， 0??2? rS电场强度为 E?D?0?r??

2??0?rr4．一带电量q、半径为R的金属球壳，壳内充满介电常数为?的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势U? 。 答案：

q4??0Rq

解：由高斯定理，可以求得球壳外电场强度

E?4??0r?2

取无限远处电势为零，则

U??Ecos?ds?Rq4??0R

5．两个点电荷在真空中相距为r1时的相互作用力等于在某一“无限大”均匀电介质中相距为r2时的相互作用力，则该电介质的相对介电常数?r? 。

r12答案：?r?2

r2解：在真空中，两个点电荷之间的作用力（库仑力）为F?Q1Q2

4??0r12?/Q1点电荷Q1在“无限大”电介质中产生的电场强度为E1?

4??0?rr2Q1Q2/点电荷Q2受到的库仑力为F/?Q2E1? 24??0?rr2/依题F?F

Q1Q2Q1Q2r12 ? ?r?2 ?4??0r124??0?rr22r26．有一同轴电缆，内、外导体用介电系数分别为?1和?2的两层

电介质隔开。垂直于轴线的某一截面如图5-2所示。求电缆单位长度的电容。

解：取高斯面为柱面。柱面的半径为r、长度为l，对称轴为同轴电缆的对称轴，柱面在同轴电缆的两极之间。由对称性，高斯面上的上下底面电位移矢量与高斯面法线方向垂直；侧面上，电位移矢量处处大小相等，并且与高斯面平行。由高斯定理,有

?????，D?dS?2?rlD?q??lD?r， R1?r?R3 0??2? rS则同轴电缆的两极之间的电场强度为

??DE1???1?2??1r??D? ，R1?r?R2；E2?r??2?? ，R2?r?R3 r2??2rR3同轴电缆的两极之间的电势差为

??R2??R3??R2U??E?dl??E1?dr??E1?dr??R2R1R1R2R1??????dr??r?dr2??1r2??2rR2??1R21R3(ln?ln)2??1R1?2R2q0???UU

单位长度的高斯面包围的自由电荷量为q0??

2??0?1?2 R3R2?2ln??1lnR1R27．在一平行板电容器的两极板上，带有等值异号电荷，两极间的距离为5.0mm，充以?r?3则单位长度的同轴电缆的电容为：C?的介质，介质中的电场强度为1.0?10V?m。

求：?1?介质中的电位移矢量；?2?平板上的自由电荷面密度；?3?介质中的极化强度；

6?1?4?介质面上的极化电荷面密度；?5?平板上自由电荷所产生的电场强度，介质面上极化电

荷所产生的电场强度。

解：(1) D??E??0?rE?2.655?10C?m (2) ?e0?D??0?rE?2.655?10?5C?m?2 (3) P??e?0E?1.77?10C?m

?5?2?5?2 (4) ?e?P?1.77?10?5C?m?2

(5) E0??e0/?0??rE?3.0?106V?m?1，

/E/?E0?E?(?r?1)E?2.0?106V?m?1

1.77?10?5C?m?26?1?2.0?10N?C 或E??e/?0? ?122?1?28.85?10C?N?m8． 一导体球，带电量q，半径为R，球外有两种均匀电介质。第一种介质介电常数为?r1、

//厚度为d，第二种介质为空气?r2?1充满其余整个空间。求球内、球外第一种介质中、第二种介质中的电场场强、电位移矢量和电势。 解：由高斯定理，得到电位移矢量的空间分布

（r?R）；D2?D3?D1?0，

电场强度的空间分布：

（r?R）；E2?E1?0，

球壳内电势：（r?R）

?q，（R?r）。 24?r，（R?r?R?d）；E3??R?d???E3?dr??Rq4??0?r1r2q4??0r2，（r?R?d）。

??R??R?d??U1??E?dl??E1?dr??E2?dr?rrRq4??0?r1r2?dr?R?dR?d?q4??0r2dr 11q?)?4??0?r1RR?d4??0(R?d)球外第一种介质中的电势：R?r?R?d ????R?d?R?d???U2??E?dl??E2?dr??E3?dr???(rrR?drqq4??0?r1r2?dr?2R?d4??0r?qdr 11q(?)?4??0?r1rR?d4??0(R?d)球外第二种介质中的电势：r?R?d ???????qq U1??E?dl??E3?dr??dr??24??0rrrr4??0r?的电势是否为

q9．半径为R的均匀带电金属球壳里充满了均匀、各向同性的电介质，球外是真空，此球壳

Q4??R？为什么？

?答：球壳外电场分布E?Q4??0r22?，球壳电势为 r????U??E?dl???RRQ4??0r???dr??rRQ4??0r2dr??Q4??0R

作业6

1．真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电量都相等，则

3.真空中一平面电磁波表达式为Ey?Ez?0，Ex?E0cos??t???y??，在t?t0时刻，c?y?y0 处的电场强度指向x轴负向，则该时刻处的磁场强度方向应该是[ B ]

A. X轴负向 B.Z轴负向 C.X轴正向 D. Z轴正向 答［B］

解：电磁波的表达式得知，电磁波的传播方向沿y轴负方向。对于平面波，波的传播方向就是能流方向，即坡印亭矢量方向。由坡印亭矢量，得到电场、磁场方向满足如下关系

???S?E?H 如图，可见，在t?t0时刻，y?y0 处，磁场强度方向必定沿着z轴负方向。

4.对于平面电磁波，E和H的相位 ，在空间任一点E和H的量值关系为 ，

??????E和H的偏振方向彼此 ，且均与波的传播方向 ，从而可知电磁波是 。

答：相同；

?E??H；垂直；垂直；横波。

５.由两块圆形导体板组成的平板电容器，圆板半径为1cm，中间为空气。当以5A的电流

dE；（２）极板间的位移电流密度Jd；dt（3）极板间的位移电流Id；（４）在圆板边缘处的磁感应强度B。

充电时，求：（１）电容器内部的电场强度变化率

解：平板电容器以恒定电流充电，板上的电荷量随时间正比增加；板上的电荷要在电容器内产生电场，电场强度随电荷量的增加，正比增强；电容器内变化的电场，产生位移电流；位移电流在电容器内产生磁场。

（1）极板上电量随时间的变化：Q?It ,

电荷面密度随时间的变化：??QIt? ， SS 极板间电场强度随时间的变化： E?则电场随时间的变化率：

?It??0?0S ，

dEI??1.8?1015V/m?S dt?0SIt（2） 极板间的电位移随时间的变化：D??? ，

S 位移电流密度：Jd?（3）极板间的位移电流：IddDI??1.6?104A/m2 dtS?JdS?I?5A ，

（4）极板内，只有位移电流。由于极板是圆形板，具有轴对称性，因此，位移电流在板内产生的磁场也具有轴对称性。由安培环路定理

??22dD2I2?RB??I???RJ???R???R??0I B?dl??I ?0d0d000d ，CdtS?IB?0?1.0?10?4T

2?R６.如图１５－１所示，平板电容器之间加交变电场

E?720sin(105?t)V?m?1 。

求距电容器中心连线r?0.01m处的P点，经过2?10s， 位移电流产生的磁场强度的大小。 解：极板间的位移电流密度

?5dDdEJd???0?720?105??0cos(105?t)

dtdt以r为半径绕极板中心作圆形安培环路，由安培环路定理： 2?rH??r2Jd ，解出

rJd?3.6?105??0cos(105?t)?10?5A/m 2７.真空中沿z轴负向传播的平面电磁波，其磁场强度的表达式为

z?? H?iH0cos?t???SI?，求电场强度的波的表达式。

?c?H? 解：

??????u??uk?E?H, H?Hi

[SI] ???0??0zE?jH?jH0cos?(t?)?0?0C

作业16

1.在地面参考系测得一星球离地球5光年，宇航员欲将此距离缩为3光年，他乘的飞船相对

地球的速度应是[ ]

A. 1c B. 3c C. 4c D. 9c

25510答：［C］

解：这里，要求宇航员的钟走3光年，是原时：?t?3；地面上的时钟测量，宇航员走5光年，是测时：?t?5。因此由?t/?/?t1?uc22，得到

5?31?u2c2，u?4c。 5注意：地面上仍然认为宇航员走了5光年。

2.火箭的固有长度为L，其相对地面以?1作匀速直线运动。若火箭上尾部一射击口向火箭首部靶子以?2速度发射一子弹，则在火箭上测得子弹从出射到击中靶的时间间隔为[ ]。

LLLL??????1??1? D. 1??1? A. B. C. ?2?1??2?1??2?2?c??c?答：［B］

解：事件发生在火箭上，与地面无关。当然，地面上测量这一时间间隔是不同的。

3.在K惯性系中x轴上相距?x处有两只同步钟A和B，在相对K系沿x轴以u速运动的惯性系K中也有一只同样的钟A。若xx轴平行，当AA相遇时，恰好两钟读数都为零， 则当A与B相遇时K系中B钟的读数为 ，K系中A钟的读数为 。

/

//

//

22//?x?xu2答：，1?2

uuc解：如图，在K系测量，A和B的距离为?x，钟A正在以速度u从A向B运动，钟A从A到达B所用的时间为

//

?x u这也就是B钟的读数。

?t??K/看来，A和B以速度?u运动，A和B的距离?x/是测量长度，因此

/由于A和B在K系中是静止的，所以，K系中测量，A和B的距离?x是原长；在系

(?u)2u2?x??x1?2??x1?2

cc?///由于在系K看来，B以速度?u运动，B运动距离??x所用时间?t为 ??x/?xu2?t??1?2

?uuc/

这就是A钟的读数。

/

可见，A钟与B钟相遇时，确实是：A钟读数小、B钟读数大，即似乎确实能分辨出来“A钟慢、B钟快”。

/

//

A/钟相对于K系运动，A/钟确实应该慢；而在K系看来，B钟也是运动的，也经该

慢。这似乎出现了矛盾。

如图，K认为：钟A与钟A相遇时，钟A与钟B根本没有校准，钟B的指针比钟A提前。（或者，从经典物理大致考虑：信号的传播是需要时间的，钟B指针指向“0”这一信号传到A时，将钟A调到“0”，此时，钟B已经过“0”了，即钟B比钟A提前了）。

如图，K认为：在对“AA相遇到A钟与B钟相遇所用时间的测量”中，A和B钟的测量结果是一样的，都比A钟测量的结果短，即A和B钟都慢；只不过是在AA相遇时，

/

///

///B钟的指针“提前”了，从而在A/钟与B钟相遇时，B钟的“读数”比A/钟的“读数”

大。可见，上面的结果，并不违反相对论，反而正是相对论的必然结果。 4.根据狭义相对论的原理，时间和空间的测量值都是 ，它们与观测者的 密切相关。

答：相对的，相对运动状态。

5. K、K系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K系相对与K沿x轴正方向匀速运动。一刚性尺静止于K系中，且与x轴成30角，而在K系中测得该尺与x 轴成45角，试求：K、K系的相对运动速度。 解：如图，在K系中测量，??30，所以 ?y??xtan???xtan300 在K系中测量，??45，所以 ?y/??x/tan?/??x/tan450

由洛伦兹变换，得到

////0//00/0u2?y??y，?x??x1?2

c2u?c

3//6.一匀质矩形薄板，静止时边长分别为a和b，质量m0，试计算在相对薄板沿一边长以v速运动的惯性系中测得板的面密度。

解：在相对于板运动的参照系中，长度收缩，同时质量增大。

质量为：m?质量密度为

m01?v2c2/22/；长度为：a?a1?vc，b?b

m0m0?0m1 ???//22222222abab(1?vc)1?vc1?vcab1?vc7.列车和隧道静止时长度相等，当列车以u的高速通过隧道时，分别在地面和列车上测量，

/列车长度L与隧道长度L的关系如何？若地面观测者发现当列车完全进入隧道时，隧道是

??的进、出口处同时发生了雷击，未击中列车，按相对论的理论，列车上的旅客会测得列车遭雷击了吗？为什么？ 解：（1）由于隧道相对于地面是静止的，而列车是运动的，所以，地面测量隧道的长度是原长，地面测量列车的长度是测长，即地面测量：

22/隧道长L1?l0，列车长L1?l01?uc

//地面测量隧道长L1与列车长L1的关系为：L1?L11?u2c2

由于列车相对于列车是静止的，而隧道是运动的，所以，列车测量列车的长度是原长，列车测量隧道的长度是测长，即列车测量：

22列车长L/2?l0，隧道长L2?l01?uc

地面测量隧道长L2与列车长L2的关系为：L2?L/21?u2c2

（2）地面测得雷击时刻火车完全位于隧道内，没有遭雷击。列车上的测量同样得出列车没有遭雷击。

设列车头到达隧道出口为事件A1，闪电到达隧道出口为事件A2；列车尾到达隧道进口为事件B1，闪电到达隧道进口为事件B2。在地面上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车头与闪电同时到达隧道出口，闪电没有

/击中列车头；在地面上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车尾与闪电同时到达隧道进口，闪电没有击中列车尾。

事实上，“列车头到达隧道出口的事件A1”与“列车尾到达隧道进口的事件B1”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的；“闪电到达隧道出口的事件A2”与“闪电到达隧道进口的事件B2”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的。

设“闪电到达隧道出口的事件A2”在地面测量A2(x1,t1)，在列车上测量A2(x1,t1)；“闪电到达隧道进口的事件B2” 在地面测量B2(x2,t2)，在列车上测量B2(x2,t2)。由于t1?t2,x2?x1?l0，则

/t1/?t2??(t1?////ux1ux2uu)??(t?)??(x?x)??l0?0 221c2c2c2c2可见，出口处雷击先发生，此时列车头部未出隧道；入口处雷击后发生，此时列车尾部进入

隧道。

8.伽利略相对原理与狭义相对论的相对性原理有何相同之处？有何不同之处？ [答] 相同：力学规律对一切惯性系成立；

不同：狭义相对论的相对性原理要求所有物理规律对一切惯性系成立。 9.“同时性”的相对性是针对任意两个事件而言的吗？ [答] 不是，要求两个事件发生在不同地点。

同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的。

作业17

1.实验室测得粒子的总能量是其静止能量的K倍，则其相对实验室的运动速度为[ ]

A.

ccc1?K2 C. B.

K?1KKK2?1 D.

cKcKK?1

答：［C］

解：mc2?Km0c2，m?m01??21??2.把一静止质量为m0的粒子，由静止加速到??0.6c，所需作的功为[ ]

A. 0.18m0c2 B.0.36m0c2 C.1.25m0c2 D.0.25m0c2 答：［D］

解：Ek?mc2?m0c2?m0c2(，

m02?Km0， ?v?K2?1

11??2?1)?0.25m0c2

3.观测者乙以

3c的速率相对观测者甲运动，若甲携带质量为1kg的物体，则 5 (1) 乙测得物体的质量为： ； （2）甲测得物体的总能量为： ； (3) 乙测得物体的总能量为： 。 答：1.25kg；9?10J；1.125?10J。 解：v?16173c，m0?1kg 5

它们的静电能之间的关系是[ ]。 A. 球体的静电能等于球面的静电能 B. 球体的静电能大于球面的静电能 C. 球体的静电能小于面的静电能

D. 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能 答案：【B】

解：设带电量为Q、半径为R，球体的电荷体密度为?。

由高斯定理，可以求得两种电荷分布的电场强度分布

??Q02，E?E?dS?2?rE???SQ02??0r2?0

对于球体电荷分布：

43?r?2r?Q3r?RE1???0，（）；，（r?R）。 E?2223?02??0r2??0r对于球壳电荷分布：

（r?R）；E2?E1?0，

//Q2??0r2，（r?R）。

可见，球外：两种电荷分布下，电场强度相等；球内：球体电荷分布，有电场，球壳电荷分

布无电场。

静电场能量密度??1?0E2 2两球外面的场强相同，分布区域相同，故外面静电能相同；而球体(并不是导体)内部也有电荷分布，也是场分布，故也有静电能。所以球体电荷分布时，球内的静电场能量，大于球面电荷分布时，球内的静电场能量；球体电荷分布时，球外的静电场能量，等于球面电荷分布时，球外的静电场能量。

2．C1和C2两空气电容器串联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图6-1所示，则[ ]。

A. C1两端电势差减少，C2两端电势差增大

B.C1两端电势差减少，C2两端电势差不变 C.C1两端电势差增大，C2两端电势差减小 D. C1两端电势差增大，C2两端电势差不变

答案：【B】

解：电源接通时，给两个串联的电容器充电。充电量是相同的，是为Q。则两个电容器的电压分别为

QQ，U2? C1C2电源断开后，C1插入电介质，两个电容器的电量不变，仍然都是Q。但C1的电容增大，因此C1两端的电压降低；而C2不变，因此，C2两端的电压不变。

3．一平行板电容器，板间相距d，两板间电势差为U，一个质量为m，电荷为?e的电子，

U1?从负极板由静止开始向正极板运动，它所需的时间为[ ]。

2mdmd2md22md2A. B. C. D. eUeU2eUeU答案：【D】

解：两极间的电场E?UeU ，电子受力F??eE??dd?a?FeU? m2d122md2由d?at?t?

2eU4．将半径为10cm的金属球接上电源充电到3000V，则电场能量W? 。 答案：5?10?5(J)

解：孤立导体球的电容为：C?4??0R，所以，充电到U?3000V时，

11W?CU2??4??0RU2?2?3.14?8.85?10?12?0.1?30002?5?10?5(J)

225．A、B为两个电容值都等于C的电容器，已知A带电量为Q，B带电量为2Q，现将A、B关联在一起后，则系统的能量变化?W? 。

Q2答案：?

4CQ2(2Q)25Q2??解：未并联前，两电容器储存的总能量为：W? 2C2C2C/当并联后，总电容为：C?C?C?2C，总电量不变：Q/?Q?2Q?3Q，

Q/3Q则并联后，总电压为：U?/?

2CC1//213Q29Q2/)?并联后，储存的总能量为：W?CU??2C?(

222C4C9Q25Q2Q2/???系统的能量变化为：?W?W?W? 4C2C4C6．一平行板电容器电容为C0，将其两板与一电源两极相连，电源电动势为?，则每一极板

/上带电量为 。若在不切断电源的情况下将两极板距离拉至原来的两倍，则电容器内电场能量改变为 。 答案：C0?，?1C0?2 411C0U2?C0?2 22解：（1）Q?C0U?C0? 。电容器储存的静电场能量为W?（2）当增大两极板的距离时，平行板电容器电容为C?//1C0。因为电源未切断，故电容2两端电压U?U??不变，则电容器储存的静电场能量为

W/?1//21CU?C0?2 24/电容器储存的静电场能量的变化为：?W?W?W??1C0?2 47．两层相对介电常数分别为?r1和?r2的介质，充满圆柱形电容器之间，如图6-2示。内外圆筒（电容器的两极）单位长度带电量分别为?和??，求：?1?两层介质中的场强和电位移矢量；?2?此电容器单位长度的电容。

答案：同作业5中第6题的计算。

8．充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压U?1000V时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压U0?3000V，求：?1?电介质的相对介电系数?r；?2?若有

介质时的电容C1?2.0?10?3?F，抽出介质后的电容C0为多少？?3?抽出电介质时外力所做的功。

解：(1)有电介质和无电介质时，电容器的电容间的关系：C??rC0，切断电源，电容器带电量不变，?CU?C0U0 ，?rC0U?C0U0 ，??r?(2) C0?(3) W?U0?3 UC?r?6.7?10-4?F

112CU2?1?10-3J,W0?C0U0?3?10-3J A外?W0-W?2?10-3J 229．有一导体球与一同心导体球壳组成的带电系统，球的半径R1?2.0cm，球壳的内、外半

径分别为R2?4.0cm，R3?5.0cm，其间充以空气介质，内球带电量Q?3.0?10?8C时，求：?1?带电系统所存储的静电能；?2?用导线将球与球壳相连，系统的静电能为多少？

解：(1)由导体的静电平衡条件和电荷守恒定律、高斯定理，可分析得：导体球上所带电量在球面，电量为?Q；球壳内表面带电量为?Q，外表面带电量为?Q 。

由高斯定理可得各个区域的电场分布：

(R1?r?R2)，

4??0r2Q(r?R3) E2?0(R2?r?R3)，E3?4??0r2带电系统所储存的能量为：

E0?0(r?R1)，E1?Q1We??dWe???0E2dV23211112222???0E0dV???0E1dV???0E2dV???0E3dV22220R1R2R3R1RR?1122???0E1dV???0E3dV22R1R31Q1Q22???0()2?rdr??()2?rdr022?224??0r4??0rR1R3Q2111?(??)8??0R1R2R3R2?R2?

(2) 当内球与球壳连在一起时，由于球与球壳是等势体，在球与球壳之间没有电场，E1?0；在两面上的电量中和，只有球壳外表面带?Q电量，电场只分布在r?R3区域，可求得：

111QQ2222)2?rdr? We??dWe???0EdV???0E3dV???0( 22228??R4??r030R3R3

??作业7

1.在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大。在圆柱与圆筒之间充满电导率为?的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒上加上一定电压时，在长为l的一段导体上总的径向电流为?,如图7-1所示，则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为[ ]。

2?r?? B. 2l?2?rl????lC. D.

2?rl2?r2?A.

答案：【B】

解：如图，通过半径为r、高为l的圆柱侧面的总电流为I，则该处的电流密度为

J?I2?rl

由电流密度与电场强度的关系J??E（?为电导率），得到

E?JI?2?rl???2.一电子以匀速率v作圆周运动，圆轨道半径为R,它相当于一个圆电流，如图7-2所示，其电流强度是[ ]。 A.

?I

2?rl?C. e? D. e 答案：【A】

解：在电子运动轨道上固定一个横截线，电子一个周期通过一次该横截线，即在一个运动周期T时间内，通过横截线的电量为e，因此，电流为

I?e?e? B. 22?R?Ree?T2???e?ev? 2?2?R3.单位正电荷从电源的负极通过电源内部移到正极时非静电力所作的功定义为该电源的电动势，其数学表达式为 。

?答案：??Ek?dr

????4.有一根电阻率为?、截面直径为d、长度为L的导线。若将电压U加在该导线的两端，则单位时间内流过导线横截面的自由电子数为 ；若导线中自由电子数密度为n，则电子平均飘移速率为 。

?d2?UU答案：， vd?

n?Le4?Le解：（1）设单位时间内流过导线横截面的自由电子数为N，则单位时间内流过导线横截面

的电量为eN，这就是电流，I?eN。按电流与电压的关系

U?IR?I?L S?d2U? 4e?LL（2）电子漂移距离L所用时间?t?，即在?t内，电子全部通过以L为高、以S为底

vdSU?则 N?e?L的柱形底面，即在?t内柱形内的电子全部通过底面，其他电子都没有通过。因此，在?t内通过底面的电量为

?q?enLS 因此，电流为

?()2Ud2e?LI? 即得到

?qenLS??enSvd ?t?t?qSUU，? ?enSvd?vd??t?Len?L5.如图7-3所示的导体中，均匀地流着10A的

22电流，已知横截面a?1cm，b?0.5cm，c

0的法线与轴线夹角为60，试求：（1）三个面

I?与轴线交点处的电流密度。（2）三个面上单位面积上的电流密度通量dI。 解： (1)

Ja?(2)

I?105A2mS1Jb?I?2?105A2mS2Jc?Jb?2?105Am2

dI1?Ja?105Am2dI2?Jb?2?105Am2dI3?Jccos60??Jc?105A2m26.圆柱形电容器，长为l，内、外两极板的半径为rA，rB，在两极板间充满非理想电介质，其电阻率为?，设在两极间加电压VAB。求：（1）介质的漏电阻R；（2）漏电总电流I；（3）漏电流密度j；（4）介质内各点的场强。

dr 这里r?r?dr的球壳层的横截面可认为相同， ?Srdrdrdr???(rA?r?rB)?R??????nB 球壳层的漏电阻：dR??S2?rl2?rl2?lrA解：(1) R?dR???VABVAB?2?l?

rR???nBrAVABI?(3)j?

r2?rlr???nBrAVABj(4)E??

rlr????nBrA(2) I?

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