2009年中考数学专题复习 - 压轴题

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2009年中考数学专题复习——压轴题

1.（2008年四川省宜宾市）

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

2?b4ac?b??） （注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,?4a??2

yDBG

1. 解：（ 1）由已知得：c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y??x?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE ==

1212AO?BO??1?3?1212(BO?DF)?OF?12?2?4

12EF?DF

2?c?解得 ???1?b?c?0AOFEx(3?4)?1?=9

（3）相似

如图，BD=BG?DG?1?1?BE=BO?OE?DE=DF?EF222222222 3?3?32 2?4?25 2222?- 1 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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所以BD?BE?20, DE?20即： BD2?BE2?DE2,所以?BDE是直角三角形

AOBDBOBE22222所以?AOB??DBE?90?,且??,

所以?AOB??DBE.

2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所

示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，23)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由. y y B B C C O O x T A x T A

2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，

2310?8 ∴tan?OAB??3，

∴?OAB?60?

当点A′在线段AB上时，∵?OAB?60?，TA=TA′， ∴△A′TA是等边三角形，且TP?TA?， ∴TP?(10?t)sin60??32(10?t)，A?P?AP?12AT?12(10?t)，

∴S?S?A?TP?12A?P?TP?38(10?t)，

2y A′ C E B P A x 当A′与B重合时，AT=AB=

23sin60??4，

T 所以此时6?t?10.

(2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)，

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当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2?t?6. (3)S存在最大值

1当6?t?10时，S? ○

y E A′ P B C O F T 38(10?t)，

2A x 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是23.

2当2?t?6时，由图○1，重叠部分的面积S?S○?S?A?EB ?A?TP∵△A′EB的高是A?Bsin60?， ∴S?3838(10?t)?212(10?t?4)?232

?(?t?4t?28)??238(t?2)?43

2当t=2时，S的值最大是43；

3当0?t?2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA′与○

CB的交点，F是TP与CB的交点)，

∵?EFT??FTP??ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴S?12EF?OC?12?4?23?43

综上所述，S的最大值是43，此时t的值是0?t?2.

3. （08浙江温州）如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

?（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

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A D P B H Q

R E C

123. 解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

?点D为AB中点，?BD??AB?3．

??DHB??A?90，?B??B．

?△BHD∽△BAC， DHBDBD312???AC??8?，?DH?． ACBCBC105?（2）?QR∥AB，??QRC??A?90．

??C??C，?△RQC∽△ABC，

?RQAB?QCBC，?y6?10?x10，

35x?6．

即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A ??1??2?90，?C??2?90，

??D P 45R E C

??1??C．

?cos?1?cosC?810?45，?QMQP?，

B 1 M 2 H Q

1?3???x?6?182?5?4． ??，?x?12555A D B H

A D B H

E P R Q

C

P E Q

R C ②当PQ?RQ时，??x?6．

35x?6?125，

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

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?CR?12CE?QRCR?1AC?2． 4BACA?tanC?，

??35x?62?68，?x?185152．

152综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A A N C P 图 3

B

D 图 2 M O B P C B

图 1

C N M O A N M O

4. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

A ∴ △AMN ∽ △ABC．

xAN∴ AM?AN，即?．

ABAC43M O P N ∴ AN＝

34x． ……………2分

B

C ∴ S=S?MNP?S?AMN?图 1 1332?x?x?x．（0＜x＜4） ……………3分 24812（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB2?AC2=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

xMN∴ AM?MN，即?．

ABBCMN．

A M O B

Q

D 图 2

N 45∴ MN?∴ OD?5458x，

x． …………………5分

C - 5 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?58x．

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM．

BCAC5?5∴ BM?∴ x＝

964983x?2524x，AB?BM?MA?2524x?x?4．

．

9649∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

A ∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2．

ABAP2M O B

P 图 3

N 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?∴ 当x＝2时，y最大?38?2?238C x2．

32. ……………………………………8分

② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．

∴ PF?x??4?x??2x?4． 又△PEF ∽ △ACB．

S?PEF?PF??∴ ?． ?ABS???ABC2A M E P

O N C B F 图 4

∴ S?PEF?32?x?2?． ……………………………………………… 9分

38x?22y?S?MNP?S?PEF＝

32?x?2?2??98x?6x?6．……………………10分

229?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2．

88?3?29∴ 当x?83时，满足2＜x＜4，y最大?2． ……………………11分

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综上所述，当x?83时，y值最大，最大值是2． …………………………12分

kx5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ； （2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=kx(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由. y A O B 图1 P A x B Q kmO 图2 5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-） (2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形 ②可能是矩形，mn=k即可 不可能是正方形，因为Op不能与OA垂直. 解：（1）作BE⊥OA， ∴ΔAOB是等边三角形 ∴BE=OB·sin60=23， ∴B(23,2)

33o

∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??解析式为

y??33x?4

o

,的以直线AB的

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60,

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∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=AO2?OP2?19 6. （2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点34P，使ΔOPD的面积等于请说明理由. ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在， 6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60=23，o

∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??33,

以直线AB的解析式为y??33x?4

o

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60, ∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=AO?OP?2219

y如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30° ∴GD=

12BD=

3232,DH=GH+GD=32+23=53272,

AHEGBPD∴GB=32BD=,OH=OE+HE=OE+BG=2?32?

O∴D(

532,

72x)

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(3)设OP=x,则由（2）可得D(23?x,2?133 x)若ΔOPD的面积为：x?(2?x)?2224213解得：x? ?23?321所以P(

?23?3,0)

7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D

不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a?b，k?0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=7. 解:

12，求BE2?DG2的值．

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(1)①BG?DE,BG?DE ????????????????????????2分

②

BG?DE,BG?DE仍然成

立 ????????????????????1分

在图（2）中证明如下

∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形

∴ BC?CD，CG?CE， ?BCD??ECG?90 ∴

?BCG??DCE?????????????????????????1分

0 ∴?BCG??DCE （SAS）?????????????????????1分

∴BG?DE ?CBG??CD E又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?90 ∴?CDE??DHO?90 ∴?DOH?90

∴

BG?DE ????????????????????????????1分

（2）BG?DE成立，BG?DE不成立 ???????????????????2分

简要说明如下

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，

且AB?a，BC?b，CG?kb，CE?ka(a?b，k?0)

∴

BCDC?CGCE?ba000，?BCD??ECG?90

0∴?BCG??DCE

∴

?BCG??DCE???????????????????????????1分

∴?CBG??CDE

又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?90 ∴?CDE??DHO?90 ∴?DOH?90

∴

BG?DE ?????????????????????????????1分

（3）∵BG?DE ∴BE?DG?OB?OE?OG?OD?BD?GE 又∵a?3，b?2，k? ∴

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2222222200012

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326522222 ??????????????????1分 BD?GE?2?3?1?()?24 ∴

BE?DG?22654 ???????????????????????????1分

8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t?0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积

（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4． ①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积； ②当2?t?4时，求S关于t的函数解析式；

（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在

直线上是否存在点P，使?PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满．．AB．．

足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．

8. 解：

（1）①AB?2 ?????????????????????????????2分

OA?82?4，S梯形OABC=12 ?????????????????OC?4，

2分

②当2?t?4时，

直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开

DOE面积

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S?12?12(4?t)?2(4?t)??t?8t?4????????????????4分

2（2）

在 ????????????????????????????????1分

P1(?12,4),P2(?4,4),P3(?83存

,4),P4(4,4),P5(8,4) ?（每个点对各得1分）??

5分

对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：

① 以点D为直角顶点，作PP1?x轴

?在Rt?ODE中，（图示OE?2OD，?设OD?b，OE?2b.Rt?ODE?Rt?P1PD，阴影）

?b?，2b?8，在上面二图中分别可得到P点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）

E点在0点与A点之间不可能； ② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得P点的生标为P（－

以点P为直角顶点

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83，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.

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同理在③二图中分别可得P点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4）， E点在A点下方不可能.

综上可得P点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－P（8，4）、P（4，4）．

83，4）、

下面提供参考解法二：

以直角进行分类进行讨论（分三类）： 第一类如上解法⑴中所示图

此时D（-b,o)，E(O,2b) ?P为直角：设直线DE：y?2x?2b，的中点坐标为(-b2,b)，直线DE的中垂线方程：y?b??12(x?b2)，令y?4得

P(3b22?8,4)．由已知可得2PE?DE即832?322(b?8)?(4?2b)?23b2b?4b化简

22得3b?32b?64?0解得 b1?8，b2?P2(?4,4)；

将之代入P（ -8，4）?P1?（4，4)、第二类如上解法②中所示图

此时D（-b,o)，E(O,2b) ?E为直角：设直线DE：y?2x?2b，，直线PE的方程：y??(4b?8)?(4?2b)?b1?4，b2?432212x?2b，令y?4得P(4b?8,4)．由已知可得PE?DE即

22b?4b化简得b?(2b?8)解之得 ，

22将之代入P（4b-8，4）?P3?（8，4)、P4(?83,4)

第三类如上解法③中所示图

此时D（-b,o)，E(O,2b) ?D为直角：设直线DE：y?2x?2b，，直线PD的方程：y??8?4?222212(x?b)，令y?4得P(?b?8,4)．由已知可得PD?DE即

（-b-8，4）?P5?（-12，4)、b?4b解得b1?4，b2??4将之代入PP6(?4,4)（P6(?4,4)与P2重合舍去）．

综上可得P点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－P（8，4）、P（4，4）．

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83，4）、

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事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB?a、OC?b、设k?OA?h、

b?ah，则P点的情形如下

直角分类情形 k?1 P1(h,h) k?1 ?P为直角 P1(?h,h) P2(?h,h) P3(?hk1?khkk?1,h) P2(??E为直角 h2,h) P4(,h) P5(?h(k?1),h) ?D为直角 P3(0,h) P4(?2h,h) P6(?h(k?1),h)

9.(2008山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

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9.

10.(2008山东烟台)如图，抛物线L1:y??x2?2x?3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.

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10.

11.2008淅江宁波)2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本

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是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

11. 解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米， 由题意得

x?120103?x2， ········································································································ 2分

解得x?180．

?A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ······················································ 4分 （2）1.8?180?28?2?380（元），

?该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ······························ 6分 （3）设这批货物有y车，

由题意得y[800?20?(y?1)]?380y?8320， ································································· 8分 整理得y?60y?416?0，

解得y1?8，y2?52（不合题意，舍去）， ······································································ 9分

?这批货物有8车． ············································································································ 10分

2

12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸?．已知标准纸的．．．

短边长为a．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B?处，铺平后得折痕AE；

第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF． 则AD:AB的值是 ，AD，AB的长分别是 ， ．

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．

?①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸??都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a的代数式表示． （4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M?90，MN?MQ?2PQ，且四个顶点

M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的

面积．

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A B?

4开

a

2开

8开 16开 图1

D F

A E

H D G

B

E 图2

C

B

F 图3

C

12. 解：（1）2，1a，a． ····························································································· 3分 442（2）相等，比值为2． ·················· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG?x，

在矩形ABCD中，?B??C??D?90，

??HGF?90，

??DHG??CGF?90??DGH，

????△HDG∽△GCF，

DGHG1???， CFGF2··········································································································· 6分 ?CF?2DG?2x． ·同理?BEF??CFG． ?EF?FG，

?△FBE≌△GCF，

?BF?CG?14a?x． ········································································································ 7分

?CF?BF?BC，

?2x?14a?x?24a， ······································································································· 8分

解得x?2?142?142a．

即DG?316a． ··············································································································· 9分

（4）a， ······················································································································· 10分

27?1828a． 12分

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13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

D M C N A E F B

13. 解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分

∵ AB∥CD，

∴ DG＝CH，DG∥CH．

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°， ∴ △AGD≌△BHC（HL）． ∴ AG＝BH＝

AB?GH2?7?12D M C N ＝3． ………2分

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ∴ DG＝4． ∴ S梯形ABCD??1?7??42A E G H F B

?16． ………………………………………………3分

（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ∴ ME＝NF，ME∥NF． ∴ 四边形MEFN为矩形． ∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B．

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， ∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF． ……………………4分 设AE＝x，则EF＝7－2x． ……………5分 ∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA． ∴

AEAG?MEDG4x． 3D M C N A E G H F B

．

…………………………………………………………6分

42∴ ME＝∴

S矩形MEFN8?7?49?ME?EF?x(7?2x)???x???33?4?6． ……………………8分

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当x＝

74时，ME＝

73＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为49．……………9分

6（3）能． ……………………………………………………………………10分 由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． 即

4x3?43x．

7－2x．解，得 x?2110?2110． ……………………………………………11分 ＜4．

196?14?????25?5?2∴ EF＝7?2x?7?2?145∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形

MEFN．

14．（2008山东威海）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y?的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函数表达式．

友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对

完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做

题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）

小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标

y 为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1， Q 2 则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为 ．

14. 解：（1）由题意可知，m?m?1???m?3??m?1?． 1 O kxy A B O x Q1 P1 1 2 3 P x y 解，得 m＝3． ………………………………3分 A ∴ A（3，4），B（6，2）；

∴ k＝4×3=12． ……………………………4分 N1 B （2）存在两种情况，如图：

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴

M2 O x M1 上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）． N2 ∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，

∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，

再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．

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由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），

∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）； ………………………………5分 M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）． ………………………………6分 设直线M1N1的函数表达式为y?k1x?2，把x＝3，y＝0代入，解得k1??∴ 直线M1N1的函数表达式为y??23x?223．

． ……………………………………8分

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）．

∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．

∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．

∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）． ………………………9分

设直线M2N2的函数表达式为y?k2x?2，把x＝-3，y＝0代入，解得k2??∴ 直线M2N2的函数表达式为y??23x?22323，

． 或y??23x?2所以，直线MN的函数表达式为y??x?2． ………………11分

（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)(a≠0)

y C A O M B x D 图12 - 21 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

∴y=x-2x-3 ············································································································ 3分 自变量范围：-1≤x≤3 ··························································································· 4分

解法2：设抛物线的解析式为y?ax22

?bx?c(a≠0)

根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

?a?b?c?0?∴?9a?3b?c?0?c??3??a?1?，解之得：?b??2?c??3?

∴y=x-2x-3 ····················································································· 3分 自变量范围：-1≤x≤3··································································· 4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC= 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为(0，

3332

3

)，(-3,0) ······················································ 6分

∴切线CE的解析式为y?x?3································································ 8分

y

C

A B x M O E

D

解图12

(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ···························· 9分

??y?kx?3由题意可知方程组?2??y?x?2x?3只有一组解

即kx?3?x2?2x?3有两个相等实根，∴k=-2 ················································· 11分

∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 ························································· 12分

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0)，A(6，0)，16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，C(0，3)．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动

23秒时，

动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也

停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示OP，OQ；

（2）当t?1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；

（4） 连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC

能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

y C Q O P 图1

16.

解：（1）OP?6?t，OQ?t?y C Q O D1 23y D B C E Q A x O 图2 P A x B

． y y B C Q Q E P 图3 F A x

B D B C P 图1

A x O 图2 P A x O （2）当t?1时，过D点作DD1?OA，交OA于D1，如图1， 则DQ?QO?53，QC?43，

3)． ?CD?1，?D(1，（3）①PQ能与AC平行．

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若PQ∥AC，如图2，则

6?tt??t?OPOQ?OAOC，

73即

23149?63，?t?149，而0≤t≤，

．

②PE不能与AC垂直．

若PE?AC，延长QE交OA于F，如图3，

23．

则

QFAC?OQQF??OC35t?3?QF?2?5?t?3???． ??EF?QF?QE?QF?OQ

?2?5?t?3?2????t????

3????(5?1)t?23(5?1)．

PEEF?OCOA又?Rt△EPF∽Rt△OCA，?6?t2??(5?1)?t??3??36，

??，

?t?3.45，而0≤t≤?t不存在．

73，

17.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线y??3x?2333与x轴交于

点A，与y轴交于点C，抛物线y?ax?2x?c(a?0)经过A，B，C三点．

（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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y A C O F B x 图16

3与x轴交于点A，与y轴交于点C．

17. 解：（1）?直线y??3x??A(?1，0)，C(0，?3) ······································································································· 1分

?点A，C都在抛物线上，

??233a?0?a??c???? ??33

???c??3??3?c?抛物线的解析式为y?33x?2233x?3 ···································································· 3分

?43?顶点F?1，??3?? ·············································································································· 4分 ???（2）存在 ································································································································ 5分 P1(0，?P2(2，?···························································································································· 7分 3) ·

····························································································································· 9分 3)

（3）存在 ······························································································································ 10分 理由： 解法一：

延长BC到点B?，使B?C?BC，连接B?F交直线AC于点M，则点M就是所求的点． ··································································································· 11分 过点B?作B?H?AB于点H．

y ?B点在抛物线y?33x?2233x?0) 3上，?B(3，在Rt△BOC中，tan?OBC?33H ，

B A C O B x

??OBC?30，BC?23，

?M F 图9 - 25 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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在Rt△BB?H中，B?H?BH?12BB??23，

························································· 12分 ?23) ·3B?H?6，?OH?3，?B?(?3，设直线B?F的解析式为y?kx?b

?3??23??3k?b?k???6??43 解得?

33?k?b???b??3???236332?y?x? ··············································································································· 13分

3??y??3x?3x???3710???? 解得 ?M，???333?77103x??y???y??，62??7??3 ????3103??在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M?，． ·········· 14分 ???7?7??解法二：

过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交········································· 11分 AC于点M，则点M即为所求．

过点F作FG?y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH．

??BOC??FGH?90，?BCO??FHG

?y ??HFG??CBO

0)． 同方法一可求得B(3，A O C M G F H 图10 ?B x

在Rt△BOC中，tan?OBC?33，??OBC?30，可求得GH?GC?33，

?GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形， ?AC垂直平分FH．

?53?即点H为点F关于AC的对称点．?H?0，?3?? ······················································· 12分 ???设直线BH的解析式为y?kx?b，由题意得

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5?k?3?0?3k?b???9 解得? 5?3?b???b??533??3??y?593?53··············································································································· 13分 3 3?55x???3x?3?3710??y?93 解得? ?M?，????77??y??103?y??3x?3??7??3 ????3103??在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M?，． 1 ???7?7??18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB?1，OB??3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向

旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax?bx?c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y E A B 18. 解：（1）点E在y轴上理由如下：

连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，?AB?1，BO?3，?AO?2

2F C D O

x ··················································· 1分

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?sin?AOB?12，??AOB?30

??由题意可知：?AOE?60

??BOE??AOB??AOE?30?60?90

?点B在x轴上，?点E在y轴上． ··················································································· 3分

???（2）过点D作DM?x轴于点M ?OD?1，?DOM?30

12??在Rt△DOM中，DM??点D在第一象限，

，OM?32

?31?点D的坐标为?，?22?? ····································································································· 5分 ???由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上

?点E的坐标为(0，2)

?点A的坐标为(?3，1) ······································································································· 6分 ?抛物线y?ax?bx?c经过点E，

2?c?2

1)，D?由题意，将A(?3，?31，?22??2代入y?ax?bx?2中得 ???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ?3?31b?2??a??b??53?422?9?892?所求抛物线表达式为：y??x?539x?2 ································································ 9分

（3）存在符合条件的点P，点Q． ··················································································· 10分 理由如下：?矩形ABOC的面积?AB?BO?3

?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．

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由题意可知OB为此平行四边形一边， 又?OB?3

·············································································································· 11分 ?OB边上的高为2·

2) 依题意设点P的坐标为(m，?点P在抛物线y??89x?2539x?2上

??89m?2539m?2?2

解得，m1?0，m2??538

?53?，2? ?P1(0，2)，P2????8???以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

?PQ∥OB，PQ?OB??当点P1的坐标为(0，2)时，

3，

y E A B F C D x O M 点Q的坐标分别为Q1(?3，2)，Q2(3，2)； 当点P2的坐标为?????53?，2?时， ?8????1338?，2?，Q4??点Q的坐标分别为Q3???33?，2?． ······················································· 14分 ??8???（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）

19.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y??与直线y??34x?b相交于点B，点C，直线y??3434x?3与x轴交于点A，点B，

2x?b与y轴交于点E．

（1）写出直线BC的解析式．

（2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

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19. 解：（1）在y????34x?3?0

234x?3中，令y?0

2?x1?2，x2??2

?A(?2，0)，B(2，0) ·························································· 1分 y C E N 又?点B在y???0??b?3232?b

34x?b上

A M D O P B x

34x?32?BC的解析式为y?? ··························································································· 2分

32?y??x?3?x1??1??x2?2??4（2）由?，得? ································································ 4分 9 ?y?033y??2?1?y??x??4??429??0) ?C??1，?，B(2，4???AB?4，CD?9494 ·············································································································· 5分

?92?S△ABC?12?4? ······································································································· 6分

（3）过点N作NP?MB于点P

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?EO?MB ?NP∥EO

············································································································· 7分 ?△BNP∽△BEO ·

BNNP ·························································································································· 8分 ??BEEO由直线y??34x?32可得：E?0，?

?2??3??在△BEO中，BO?2，EO?32，则BE?52

?2t52?NP3，?NP?65t ····································································································· 9分

216?S??t?(4?t)

253212S??t?t(0?t?4) ·································································································· 10分

553122S??(t?2)? ············································································································ 11分

5512?此抛物线开口向下，?当t?2时，S最大?

512?当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

5

20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=

55.

（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S?QMN，△QNR的面积S?QNR，求S?QMN∶S?QNR的值.

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20. 解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D. 在Rt△ABD中， ∵∣AB∣=35,sin∠OAB=

55,

∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB =35×

又由勾股定理，得 AD? ?AB255=3.

?BD222

(35)?3?6

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（4，3）. ??3分 设经过O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为

2

y=ax+bx(a≠0).

1?a?,??16a?4b??3?8由? ??100a?10b?05??b??.??4∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为y?18x?254x. ??2分

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 ①∵点C（4，-3）不是抛物线y?18x?254x的顶点，

∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 .

则直线CP1的函数表达式为y=-3. 对于y?18x?254x，令y=-3?x=4或x=6.

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∴??x1?4,?x2?6, ??y1??3;?y2??3.而点C（4，-3），∴P1(6,-3).

在四边形P1AOC中，CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.

∴点P1（6，-3）是符合要求的点. ??1分 ②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为y?k1x. 将点C（4，-3）代入，得4k31??3.?k1??4.

∴直线CO的函数表达式为y??34x.

于是可设直线APy??32的函数表达式为4x?b1. 将点A（10，0）代入，得?3154x?2. ∴直线AP的函数表达式为y??34x?1522.

?y??3x?15由???42.?x2?4x?60?0，即（x-10）（???y?18x2?54x∴?x1?10,?x2??6??y1?0;??y 2?12;而点A（10，0），∴P2（-6，12）.

过点P2作P2E⊥x轴于点E，则∣P2E∣=12. 在Rt△AP2E中，由勾股定理，得 AP22?P2E?AE2?122?162?20.

而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.

∴点P2（-6，12）是符合要求的点. ③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得

?10kb?1?2?2?0??k2?,??4k2?b2??32 ??b2??5.∴直线CA的函数表达式为y?12x?5. ∴直线OP13的函数表达式为y?2x

- 33 - x+6）=0. ??1分 www.xkbw.com/ 新课标教学网

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1?y?x??22由??x?14x?0,即x(x-14)=0. ?y?1x2?5x?84??x1?0,?x2?14,∴? ?y?0;y?7.?1?2而点O(0,0),∴P3（14，7）.

过点P3作P3E⊥x轴于点E，则∣P3E∣=7. 在Rt△OP3E中，由勾股定理，得 OP3?P3F2?OF2?7?14?75.

22而∣CA∣=∣AB∣=35.

∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.

∴点P3（14，7）是符合要求的点. ??1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),

使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形. ??1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下.

①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N. 可设抛物线的函数表达式为y?a(x?2k)(x?5k)（a＞0）.

即y?ax?3akx?10ak

?a(x?32k)?222494ak.

2如图，过点M作MG⊥x轴于点G. ∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G(??3?2492?ak?, 4??3?k,0?、N(0，?2?-10ak)、M?2

k,?∴QO?2k,QR?7k,OG??S?QNR?12?QR?ON?1232k,QG?272k,ON?10ak,MG?32494ak.

2?7k?10ak?35ak.

??1212?QO?ON?212(ON?GM)?OG?12?(10ak?212?QG?GM32k?12?72k?494ak

2?2k?10ak?494ak)?2- 34 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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?12(29?15?3?2143498?7?3498)ak.

3∴S?QNM:S?QNR?(ak):(35ak)?3:20. ??2分

②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，

同理，可得S?QNM:S?QNR?3:20. ??1分 综上所知，S?QNM:S?QNR的值为3：20. ??1分 21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程

x?(m?2)x?n?1?0的两根:

2(1) 求m，n的值

(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

`1CM?1CN的值

C M A D O B N L`

21.解：

(1)m=-5,n=-3 (2)y=

43

x+2

(3)是定值.

因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h，

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方案三：作点M关于射线OF的对称点M?，连接GM，则GM??GM． 作M?N?OE于点N，交OF于点G，交AM于点H， ?M?N为点M?到OE的最短距离，即M?N?GM?GN．

?在Rt△M?HM中，?MM?N?30，MM??6，

?MH?3．?NE?MH?3．

?DE?3，?N，D两点重合，即M?N过D点．

在Rt△M?DM中，DM?23，?M?D?43．················································· （10分） 在线段AB上任取一点G?，过G?作G?N??OE于点N?，连接G?M?，G?M． 显然G?M?G?N??G?M??G?N??M?D．

?把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小．

即最小值为GM?GD?M?D?43． ····································································· （11分） 综上，?3?23?43，?供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短． ········ （12分）

27. （2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

2- 41 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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B B P P A Q 图①

C A 图② Q C P?

27. 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm， ∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm ∴AP＝（5－t）cm，

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝∴当t为

107107

秒时，PQ∥BC

………………2分

（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC ∴AQ∶QD＝AB∶BC

∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝t

56∴△APQ的面积：

12×AP×QD＝

12（5－t）×t

535t

26∴y与t之间的函数关系式为：y＝3t?………………5分

（3）由题意：

当面积被平分时有：3t?35t＝

212×

12×3×4，解得：t＝5?25 当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1 ∴不存在这样t的值

………………8分

（4）过点P作PE⊥BC于E 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝

12QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形

4∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝t

5∵QC＝4－2t，∴2×∴当t＝

10945t＝4－2t,解得：t＝

109

时，四边形PQP′C为菱形

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此时，PE＝

89，BE＝

23，∴CE＝

73

………………10分

在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝PE2?CE2＝()?()＝9382725059

∴此菱形的边长为

5059cm ………………12分

kx1428. （2008年江苏省南通市）已知双曲线y?与直线y?kxx相交于A、B两点.第一象限

上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y?（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y?kx上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N

于点E，交BD于点C.

（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.

28. 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y?14x中，得y＝－2.

∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2） 从而k＝8×2＝16

（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上, ∴mn＝k，B（－2m，－

n2），C（－2m，－n），E（－m，－n）

12S矩形DCNO＝2mn＝2k，S△DBO＝

mn＝

12k，S△OEN＝

12mn＝

12k.

∴S矩形OBCE＝S矩形DCNO―S△DBO―S△OEN＝k.∴k＝4. 由直线y?14x及双曲线y?4x，得A（4，1），B（－4，－1）

∴C（－4，－2），M（2，2）

设直线CM的解析式是y?ax?b，由C、M两点在这条直线上，得

??4a?b??22，解得a＝b＝ ?3?2a?b?2- 43 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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∴直线CM的解析式是y＝

23x＋

23.

yQDBC（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是p?MAMP?A1M1M1O?a?mmMAM1A1xOEN ，

同理q?MBMQ?m?am

∴p－q＝

a?mm－

m?am＝－2

yMDBCEON

29. （2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

Ax图1 图2 图3 图4

29. 解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4

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个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为?302?152?31，每

21个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．

······················· （3分）（图案设计不唯一）

（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?DG?CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE?x，则ED?30?x，DH?15． 由BE?DG，得x2?302?152?(30?x)2，

22560154?x??，?BE??15?2???30?30.2?31， ?4?2即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ················································· （6分） 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE??DE?(30?2231?30?2261，DE?30?61，

61)?15≈26.8?31，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要

求． ································································································································· （6分） 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的?O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设?O经过A，B，?O与AD交于E，连BE，则AE?31?30?2261?15?12AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完

全覆盖正方形ABCD．

所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． ······································ （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．

A

E O B

图1

C

B

F 图2

D H

A D

A E D B O

F 图3

C

30解：（1）OH?1；k?33，b?233．

（2）设存在实数a，使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．

?以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED?DN．

0)，N(5，0)． 由抛物线y?a(x?1)(x?5)得：M(?1，- 45 -

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?D(2，0)，?ED?DN?3．?E的坐标为(2，3)． 3)代入抛物线解析式，得a??把E(2，?抛物线解析式为y??13．

y 13(x?1)(x?5)．

即y??13x?243x?53．

P A C H M O B ②若DN为等腰直角三角形的斜边， 则DE?EN，DE?EN．

?E的坐标为(3.5，1.5)．

?2 D

N x

1.5)代入抛物线解析式，得a??把E(3.5，?抛物线解析式为y??29．

29x?229(x?1)(x?5)，即y??13x?289x?109

当a??13时，在抛物线y??43x?533)满足条件，如果此抛物线上上存在一点E(2，还有满足条件的E点，不妨设为E?点，那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角

1.5)，显然E?不在抛物线y??三角形，由此得E?(3.5，13x?243x?53上，因此抛物线

y??13x?29243x?53上没有符合条件的其他的E点．

29x?2当a??时，同理可得抛物线y??89x?10913上没有符合条件的其他的E点．

x?23)，对应的抛物线解析式为y??当E的坐标为(2，43x?53时，

??△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，??GNP??PBO?45．

又??NPG??BPO，?△NPG∽△BPO．

?PGPO?PNPB，?PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102．

29x?21.5)，对应的抛物线解析式为y??当E的坐标为(3.5，89x?109时，

同理可证得：PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102

31. 解：（1）如图所示： ······································································································ 4分

A 80 ?A 100 ?B C B C - 46 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分） （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ············································ 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ·························································································································· 8分 （3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）． ··························································· 10分 M G 理由如下：

由?HEF??HEG??GEF?47.8?35.1?82.9，

?EHF?50.0，?EFH?47.1，

?????H 49.8 ?32.4 53.8 ??50.0 ?44.0 ?47.1 ?47.835.1 ??F

故△EFH是锐角三角形，

所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，

设此外接圆为?O，直线EG与?O交于点E，M， 则?EMF??EHF?50.0?53.8??EGF．

故点G在?O内，从而?O也是四边形EFGH的最小覆盖圆． 所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求． ································································································ 12分

??E

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