2009年中考数学专题复习 - 压轴题

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2009年中考数学专题复习——压轴题

1.(2008年四川省宜宾市)

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.

(1) 求该抛物线的解析式;

(2) 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;

(3) △AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.

2?b4ac?b??) (注:抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,?4a??2

yDBG

1. 解:( 1)由已知得:c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y??x?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE ==

1212AO?BO??1?3?1212(BO?DF)?OF?12?2?4

12EF?DF

2?c?解得 ???1?b?c?0AOFEx(3?4)?1?=9

(3)相似

如图,BD=BG?DG?1?1?BE=BO?OE?DE=DF?EF222222222 3?3?32 2?4?25 2222?- 1 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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所以BD?BE?20, DE?20即: BD2?BE2?DE2,所以?BDE是直角三角形

AOBDBOBE22222所以?AOB??DBE?90?,且??,

所以?AOB??DBE.

2. (08浙江衢州)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所

示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,23),C(0,23),点T在线段OA上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A′),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;

(1)求∠OAB的度数,并求当点A′在线段AB上时,S关于t的函数关系式; (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t的取值范围;

(3)S存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t的值;若不存在,请说明理由. y y B B C C O O x T A x T A

2. (1) ∵A,B两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,23),

2310?8 ∴tan?OAB??3,

∴?OAB?60?

当点A′在线段AB上时,∵?OAB?60?,TA=TA′, ∴△A′TA是等边三角形,且TP?TA?, ∴TP?(10?t)sin60??32(10?t),A?P?AP?12AT?12(10?t),

∴S?S?A?TP?12A?P?TP?38(10?t),

2y A′ C E B P A x 当A′与B重合时,AT=AB=

23sin60??4,

T 所以此时6?t?10.

(2)当点A′在线段AB的延长线,且点P在线段AB(不与B重合)上时, 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1),其中E是TA′与CB的交点),

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当点P与B重合时,AT=2AB=8,点T的坐标是(2,0) 又由(1)中求得当A′与B重合时,T的坐标是(6,0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2?t?6. (3)S存在最大值

1当6?t?10时,S? ○

y E A′ P B C O F T 38(10?t),

2A x 在对称轴t=10的左边,S的值随着t的增大而减小,

∴当t=6时,S的值最大是23.

2当2?t?6时,由图○1,重叠部分的面积S?S○?S?A?EB ?A?TP∵△A′EB的高是A?Bsin60?, ∴S?3838(10?t)?212(10?t?4)?232

?(?t?4t?28)??238(t?2)?43

2当t=2时,S的值最大是43;

3当0?t?2,即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图○2,其中E是TA′与○

CB的交点,F是TP与CB的交点),

∵?EFT??FTP??ETF,四边形ETAB是等腰形,∴EF=ET=AB=4,

∴S?12EF?OC?12?4?23?43

综上所述,S的最大值是43,此时t的值是0?t?2.

3. (08浙江温州)如图,在Rt△ABC中,?A?90,AB?6,AC?8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ?BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于

R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ?x,QR?y.

?(1)求点D到BC的距离DH的长;

(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);

(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.

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A D P B H Q

R E C

123. 解:(1)??A?Rt?,AB?6,AC?8,?BC?10.

?点D为AB中点,?BD??AB?3.

??DHB??A?90,?B??B.

?△BHD∽△BAC, DHBDBD312???AC??8?,?DH?. ACBCBC105?(2)?QR∥AB,??QRC??A?90.

??C??C,?△RQC∽△ABC,

?RQAB?QCBC,?y6?10?x10,

35x?6.

即y关于x的函数关系式为:y??(3)存在,分三种情况:

①当PQ?PR时,过点P作PM?QR于M,则QM?RM.

A ??1??2?90,?C??2?90,

??D P 45R E C

??1??C.

?cos?1?cosC?810?45,?QMQP?,

B 1 M 2 H Q

1?3???x?6?182?5?4. ??,?x?12555A D B H

A D B H

E P R Q

C

P E Q

R C ②当PQ?RQ时,??x?6.

35x?6?125,

③当PR?QR时,则R为PQ中垂线上的点, 于是点R为EC的中点,

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?CR?12CE?QRCR?1AC?2. 4BACA?tanC?,

??35x?62?68,?x?185152.

152综上所述,当x为或6或时,△PQR为等腰三角形.

4.(08山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.

(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; (2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?

(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

A A N C P 图 3

B

D 图 2 M O B P C B

图 1

C N M O A N M O

4. 解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.

A ∴ △AMN ∽ △ABC.

xAN∴ AM?AN,即?.

ABAC43M O P N ∴ AN=

34x. ……………2分

B

C ∴ S=S?MNP?S?AMN?图 1 1332?x?x?x.(0<x<4) ……………3分 24812(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =在Rt△ABC中,BC =AB2?AC2=5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.

xMN∴ AM?MN,即?.

ABBCMN.

A M O B

Q

D 图 2

N 45∴ MN?∴ OD?5458x,

x. …………………5分

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过M点作MQ⊥BC 于Q,则MQ?OD?58x.

在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角, ∴ △BMQ∽△BCA. ∴ BM?QM.

BCAC5?5∴ BM?∴ x=

964983x?2524x,AB?BM?MA?2524x?x?4.

9649∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.…………………………………7分

(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点. ∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.

A ∴ △AMO ∽ △ABP.

∴ AM?AO?1. AM=MB=2.

ABAP2M O B

P 图 3

N 故以下分两种情况讨论: ① 当0<x≤2时,y?SΔPMN?∴ 当x=2时,y最大?38?2?238C x2.

32. ……………………………………8分

② 当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F. ∵ 四边形AMPN是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x. 又∵ MN∥BC,

∴ 四边形MBFN是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x.

∴ PF?x??4?x??2x?4. 又△PEF ∽ △ACB.

S?PEF?PF??∴ ?. ?ABS???ABC2A M E P

O N C B F 图 4

∴ S?PEF?32?x?2?. ……………………………………………… 9分

38x?22y?S?MNP?S?PEF=

32?x?2?2??98x?6x?6.……………………10分

229?8?当2<x<4时,y??x?6x?6???x???2.

88?3?29∴ 当x?83时,满足2<x<4,y最大?2. ……………………11分

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综上所述,当x?83时,y值最大,最大值是2. …………………………12分

kx5、(2007浙江金华)如图1,已知双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A,B两点,点A在第一象限.试解答下列问题:(1)若点A的坐标为(4,2).则点B的坐标为 ;若点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为 ; (2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y=kx(k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形;②设点A.P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出mn应满足的条件;若不可能,请说明理由. y A O B 图1 P A x B Q kmO 图2 5. 解:(1)(-4,-2);(-m,-) (2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形 ②可能是矩形,mn=k即可 不可能是正方形,因为Op不能与OA垂直. 解:(1)作BE⊥OA, ∴ΔAOB是等边三角形 ∴BE=OB·sin60=23, ∴B(23,2)

33o

∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??解析式为

y??33x?4

o

,的以直线AB的

(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60,

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∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=AO2?OP2?19 6. (2008浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点(3,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点34P,使ΔOPD的面积等于请说明理由. ,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在, 6. 解:(1)作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60=23,o

∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??33,

以直线AB的解析式为y??33x?4

o

(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60, ∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=AO?OP?2219

y如图,作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30° ∴GD=

12BD=

3232,DH=GH+GD=32+23=53272,

AHEGBPD∴GB=32BD=,OH=OE+HE=OE+BG=2?32?

O∴D(

532,

72x)

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(3)设OP=x,则由(2)可得D(23?x,2?133 x)若ΔOPD的面积为:x?(2?x)?2224213解得:x? ?23?321所以P(

?23?3,0)

7.(2008浙江义乌)如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D

不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:

(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.

(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (a?b,k?0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.

(3)在第(2)题图5中,连结DG、BE,且a=3,b=2,k=7. 解:

12,求BE2?DG2的值.

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(1)①BG?DE,BG?DE ????????????????????????2分

BG?DE,BG?DE仍然成

立 ????????????????????1分

在图(2)中证明如下

∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形

∴ BC?CD,CG?CE, ?BCD??ECG?90 ∴

?BCG??DCE?????????????????????????1分

0 ∴?BCG??DCE (SAS)?????????????????????1分

∴BG?DE ?CBG??CD E又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?90 ∴?CDE??DHO?90 ∴?DOH?90

BG?DE ????????????????????????????1分

(2)BG?DE成立,BG?DE不成立 ???????????????????2分

简要说明如下

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形,

且AB?a,BC?b,CG?kb,CE?ka(a?b,k?0)

BCDC?CGCE?ba000,?BCD??ECG?90

0∴?BCG??DCE

?BCG??DCE???????????????????????????1分

∴?CBG??CDE

又∵?BHC??DHO ?CBG??BHC?90 ∴?CDE??DHO?90 ∴?DOH?90

BG?DE ?????????????????????????????1分

(3)∵BG?DE ∴BE?DG?OB?OE?OG?OD?BD?GE 又∵a?3,b?2,k? ∴

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2222222200012

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326522222 ??????????????????1分 BD?GE?2?3?1?()?24 ∴

BE?DG?22654 ???????????????????????????1分

8. (2008浙江义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于点D,与y轴交于点E. (1)将直线l向右平移,设平移距离CD为t(t?0),直角梯形OABC被直线l扫过的面积

(图中阴影部份)为s,s关于t的函数图象如图2所示, OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4. ①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积; ②当2?t?4时,求S关于t的函数解析式;

(2)在第(1)题的条件下,当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合),在

直线上是否存在点P,使?PDE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满..AB..

足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

8. 解:

(1)①AB?2 ?????????????????????????????2分

OA?82?4,S梯形OABC=12 ?????????????????OC?4,

2分

②当2?t?4时,

直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积-直角三角开

DOE面积

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S?12?12(4?t)?2(4?t)??t?8t?4????????????????4分

2(2)

在 ????????????????????????????????1分

P1(?12,4),P2(?4,4),P3(?83存

,4),P4(4,4),P5(8,4) ?(每个点对各得1分)??

5分

对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二:

① 以点D为直角顶点,作PP1?x轴

?在Rt?ODE中,(图示OE?2OD,?设OD?b,OE?2b.Rt?ODE?Rt?P1PD,阴影)

?b?,2b?8,在上面二图中分别可得到P点的生标为P(-12,4)、P(-4,4)

E点在0点与A点之间不可能; ② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得P点的生标为P(-

以点P为直角顶点

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83,4)、P(8,4)E点在0点下方不可能.

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同理在③二图中分别可得P点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4), E点在A点下方不可能.

综上可得P点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-P(8,4)、P(4,4).

83,4)、

下面提供参考解法二:

以直角进行分类进行讨论(分三类): 第一类如上解法⑴中所示图

此时D(-b,o),E(O,2b) ?P为直角:设直线DE:y?2x?2b,的中点坐标为(-b2,b),直线DE的中垂线方程:y?b??12(x?b2),令y?4得

P(3b22?8,4).由已知可得2PE?DE即832?322(b?8)?(4?2b)?23b2b?4b化简

22得3b?32b?64?0解得 b1?8,b2?P2(?4,4);

将之代入P( -8,4)?P1?(4,4)、第二类如上解法②中所示图

此时D(-b,o),E(O,2b) ?E为直角:设直线DE:y?2x?2b,,直线PE的方程:y??(4b?8)?(4?2b)?b1?4,b2?432212x?2b,令y?4得P(4b?8,4).由已知可得PE?DE即

22b?4b化简得b?(2b?8)解之得 ,

22将之代入P(4b-8,4)?P3?(8,4)、P4(?83,4)

第三类如上解法③中所示图

此时D(-b,o),E(O,2b) ?D为直角:设直线DE:y?2x?2b,,直线PD的方程:y??8?4?222212(x?b),令y?4得P(?b?8,4).由已知可得PD?DE即

(-b-8,4)?P5?(-12,4)、b?4b解得b1?4,b2??4将之代入PP6(?4,4)(P6(?4,4)与P2重合舍去).

综上可得P点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-P(8,4)、P(4,4).

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83,4)、

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事实上,我们可以得到更一般的结论: 如果得出AB?a、OC?b、设k?OA?h、

b?ah,则P点的情形如下

直角分类情形 k?1 P1(h,h) k?1 ?P为直角 P1(?h,h) P2(?h,h) P3(?hk1?khkk?1,h) P2(??E为直角 h2,h) P4(,h) P5(?h(k?1),h) ?D为直角 P3(0,h) P4(?2h,h) P6(?h(k?1),h)

9.(2008山东烟台)如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.

(1)求证:△BDE≌△BCF;

(2)判断△BEF的形状,并说明理由;

(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.

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9.

10.(2008山东烟台)如图,抛物线L1:y??x2?2x?3交x轴于A、B两点,交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2,L2交x轴于C、D两点. (1)求抛物线L2对应的函数表达式;

(2)抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上,请说明理由.

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10.

11.2008淅江宁波)2008年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.

(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.

(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A地到宁波港的运输成本

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是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?

(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元,问这批货物有几车?

11. 解:(1)设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米, 由题意得

x?120103?x2, ········································································································ 2分

解得x?180.

?A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米. ······················································ 4分 (2)1.8?180?28?2?380(元),

?该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元. ······························ 6分 (3)设这批货物有y车,

由题意得y[800?20?(y?1)]?380y?8320, ································································· 8分 整理得y?60y?416?0,

解得y1?8,y2?52(不合题意,舍去), ······································································ 9分

?这批货物有8车. ············································································································ 10分

2

12.(2008淅江宁波)如图1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸?.已知标准纸的...

短边长为a.

(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠:

第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B?处,铺平后得折痕AE;

第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF. 则AD:AB的值是 ,AD,AB的长分别是 , .

(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值.

(3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案,它的四个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上,求DG的长.

?①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸??都是矩形. ②本题中所求边长或面积都用含a的代数式表示. (4)已知梯形MNPQ中,MN∥PQ,∠M?90,MN?MQ?2PQ,且四个顶点

M,N,P,Q都在“4开”纸的边上,请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的

面积.

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A B?

4开

a

2开

8开 16开 图1

D F

A E

H D G

B

E 图2

C

B

F 图3

C

12. 解:(1)2,1a,a. ····························································································· 3分 442(2)相等,比值为2. ·················· 5分(无“相等”不扣分有“相等”,比值错给1分) (3)设DG?x,

在矩形ABCD中,?B??C??D?90,

??HGF?90,

??DHG??CGF?90??DGH,

????△HDG∽△GCF,

DGHG1???, CFGF2··········································································································· 6分 ?CF?2DG?2x. ·同理?BEF??CFG. ?EF?FG,

?△FBE≌△GCF,

?BF?CG?14a?x. ········································································································ 7分

?CF?BF?BC,

?2x?14a?x?24a, ······································································································· 8分

解得x?2?142?142a.

即DG?316a. ··············································································································· 9分

(4)a, ······················································································································· 10分

27?1828a. 12分

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13.(2008山东威海)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.

(1)求梯形ABCD的面积;

(2)求四边形MEFN面积的最大值.

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能, 求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.

D M C N A E F B

13. 解:(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H. ……………1分

∵ AB∥CD,

∴ DG=CH,DG∥CH.

∴ 四边形DGHC为矩形,GH=CD=1.

∵ DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°, ∴ △AGD≌△BHC(HL). ∴ AG=BH=

AB?GH2?7?12D M C N =3. ………2分

∵ 在Rt△AGD中,AG=3,AD=5, ∴ DG=4. ∴ S梯形ABCD??1?7??42A E G H F B

?16. ………………………………………………3分

(2)∵ MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB, ∴ ME=NF,ME∥NF. ∴ 四边形MEFN为矩形. ∵ AB∥CD,AD=BC, ∴ ∠A=∠B.

∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, ∴ △MEA≌△NFB(AAS).

∴ AE=BF. ……………………4分 设AE=x,则EF=7-2x. ……………5分 ∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°, ∴ △MEA∽△DGA. ∴

AEAG?MEDG4x. 3D M C N A E G H F B

…………………………………………………………6分

42∴ ME=∴

S矩形MEFN8?7?49?ME?EF?x(7?2x)???x???33?4?6. ……………………8分

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当x=

74时,ME=

73<4,∴四边形MEFN面积的最大值为49.……………9分

6(3)能. ……………………………………………………………………10分 由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=若四边形MEFN为正方形,则ME=EF. 即

4x3?43x.

7-2x.解,得 x?2110?2110. ……………………………………………11分 <4.

196?14?????25?5?2∴ EF=7?2x?7?2?145∴ 四边形MEFN能为正方形,其面积为S正方形

MEFN.

14.(2008山东威海)如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数y?的图象上.

(1)求m,k的值;

(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, 以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形, 试求直线MN的函数表达式.

友情提示:本大题第(1)小题4分,第(2)小题7分.对

完成第(2)小题有困难的同学可以做下面的(3)选做

题.选做题2分,所得分数计入总分.但第(2)、(3)

小题都做的,第(3)小题的得分不重复计入总分.

(3)选做题:在平面直角坐标系中,点P的坐标

y 为(5,0),点Q的坐标为(0,3),把线段PQ向右平 移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P1Q1, Q 2 则点P1的坐标为 ,点Q1的坐标为 .

14. 解:(1)由题意可知,m?m?1???m?3??m?1?. 1 O kxy A B O x Q1 P1 1 2 3 P x y 解,得 m=3. ………………………………3分 A ∴ A(3,4),B(6,2);

∴ k=4×3=12. ……………………………4分 N1 B (2)存在两种情况,如图:

①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴

M2 O x M1 上时,设M1点坐标为(x1,0),N1点坐标为(0,y1). N2 ∵ 四边形AN1M1B为平行四边形,

∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,

再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的).

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由(1)知A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2),

∴ N1点坐标为(0,4-2),即N1(0,2); ………………………………5分 M1点坐标为(6-3,0),即M1(3,0). ………………………………6分 设直线M1N1的函数表达式为y?k1x?2,把x=3,y=0代入,解得k1??∴ 直线M1N1的函数表达式为y??23x?223.

. ……………………………………8分

②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,设M2点坐标为(x2,0),N2点坐标为(0,y2).

∵ AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2, ∴ N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2.

∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称.

∴ M2点坐标为(-3,0),N2点坐标为(0,-2). ………………………9分

设直线M2N2的函数表达式为y?k2x?2,把x=-3,y=0代入,解得k2??∴ 直线M2N2的函数表达式为y??23x?22323,

. 或y??23x?2所以,直线MN的函数表达式为y??x?2. ………………11分

(3)选做题:(9,2),(4,5). ………………………………………………2分 15.(2008湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;

(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

15. 解:(1)解法1:根据题意可得:A(-1,0),B(3,0);

则设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)(a≠0)

y C A O M B x D 图12 - 21 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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又点D(0,-3)在抛物线上,∴a(0+1)(0-3)=-3,解之得:a=1

∴y=x-2x-3 ············································································································ 3分 自变量范围:-1≤x≤3 ··························································································· 4分

解法2:设抛物线的解析式为y?ax22

?bx?c(a≠0)

根据题意可知,A(-1,0),B(3,0),D(0,-3)三点都在抛物线上

?a?b?c?0?∴?9a?3b?c?0?c??3??a?1?,解之得:?b??2?c??3?

∴y=x-2x-3 ····················································································· 3分 自变量范围:-1≤x≤3··································································· 4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM, 在Rt△MOC中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°,OC= 在Rt△MCE中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为(0,

3332

3

),(-3,0) ······················································ 6分

∴切线CE的解析式为y?x?3································································ 8分

y

C

A B x M O E

D

解图12

(3)设过点D(0,-3),“蛋圆”切线的解析式为:y=kx-3(k≠0) ···························· 9分

??y?kx?3由题意可知方程组?2??y?x?2x?3只有一组解

即kx?3?x2?2x?3有两个相等实根,∴k=-2 ················································· 11分

∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 ························································· 12分

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0),A(6,0),16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中,O(0,C(0,3).动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动,运动

23秒时,

动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动.当其中一点到达终点时,另一点也

停止运动.设点P的运动时间为t(秒). (1)用含t的代数式表示OP,OQ;

(2)当t?1时,如图1,将△OPQ沿PQ翻折,点O恰好落在CB边上的点D处,求点D的坐标;

(4) 连结AC,将△OPQ沿PQ翻折,得到△EPQ,如图2.问:PQ与AC能否平行?PE与AC

能否垂直?若能,求出相应的t值;若不能,说明理由.

y C Q O P 图1

16.

解:(1)OP?6?t,OQ?t?y C Q O D1 23y D B C E Q A x O 图2 P A x B

. y y B C Q Q E P 图3 F A x

B D B C P 图1

A x O 图2 P A x O (2)当t?1时,过D点作DD1?OA,交OA于D1,如图1, 则DQ?QO?53,QC?43,

3). ?CD?1,?D(1,(3)①PQ能与AC平行.

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若PQ∥AC,如图2,则

6?tt??t?OPOQ?OAOC,

73即

23149?63,?t?149,而0≤t≤,

②PE不能与AC垂直.

若PE?AC,延长QE交OA于F,如图3,

23.

QFAC?OQQF??OC35t?3?QF?2?5?t?3???. ??EF?QF?QE?QF?OQ

?2?5?t?3?2????t????

3????(5?1)t?23(5?1).

PEEF?OCOA又?Rt△EPF∽Rt△OCA,?6?t2??(5?1)?t??3??36,

??,

?t?3.45,而0≤t≤?t不存在.

73,

17.(2008年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中,直线y??3x?2333与x轴交于

点A,与y轴交于点C,抛物线y?ax?2x?c(a?0)经过A,B,C三点.

(1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;

(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形,若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由; (3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小,若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

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y A C O F B x 图16

3与x轴交于点A,与y轴交于点C.

17. 解:(1)?直线y??3x??A(?1,0),C(0,?3) ······································································································· 1分

?点A,C都在抛物线上,

??233a?0?a??c???? ??33

???c??3??3?c?抛物线的解析式为y?33x?2233x?3 ···································································· 3分

?43?顶点F?1,??3?? ·············································································································· 4分 ???(2)存在 ································································································································ 5分 P1(0,?P2(2,?···························································································································· 7分 3) ·

····························································································································· 9分 3)

(3)存在 ······························································································································ 10分 理由: 解法一:

延长BC到点B?,使B?C?BC,连接B?F交直线AC于点M,则点M就是所求的点. ··································································································· 11分 过点B?作B?H?AB于点H.

y ?B点在抛物线y?33x?2233x?0) 3上,?B(3,在Rt△BOC中,tan?OBC?33H ,

B A C O B x

??OBC?30,BC?23,

?M F 图9 - 25 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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在Rt△BB?H中,B?H?BH?12BB??23,

························································· 12分 ?23) ·3B?H?6,?OH?3,?B?(?3,设直线B?F的解析式为y?kx?b

?3??23??3k?b?k???6??43 解得?

33?k?b???b??3???236332?y?x? ··············································································································· 13分

3??y??3x?3x???3710???? 解得 ?M,???333?77103x??y???y??,62??7??3 ????3103??在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,此时M?,. ·········· 14分 ???7?7??解法二:

过点F作AC的垂线交y轴于点H,则点H为点F关于直线AC的对称点.连接BH交········································· 11分 AC于点M,则点M即为所求.

过点F作FG?y轴于点G,则OB∥FG,BC∥FH.

??BOC??FGH?90,?BCO??FHG

?y ??HFG??CBO

0). 同方法一可求得B(3,A O C M G F H 图10 ?B x

在Rt△BOC中,tan?OBC?33,??OBC?30,可求得GH?GC?33,

?GF为线段CH的垂直平分线,可证得△CFH为等边三角形, ?AC垂直平分FH.

?53?即点H为点F关于AC的对称点.?H?0,?3?? ······················································· 12分 ???设直线BH的解析式为y?kx?b,由题意得

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5?k?3?0?3k?b???9 解得? 5?3?b???b??533??3??y?593?53··············································································································· 13分 3 3?55x???3x?3?3710??y?93 解得? ?M?,????77??y??103?y??3x?3??7??3 ????3103??在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,此时M?,. 1 ???7?7??18.(2008年沈阳市)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB?1,OB??3,矩形ABOC绕点O按顺时针方向

旋转60后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线y?ax?bx?c过点A,E,D. (1)判断点E是否在y轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式;

(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍,且点P在抛物线上,若存在,请求出点P,点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

y E A B 18. 解:(1)点E在y轴上理由如下:

连接AO,如图所示,在Rt△ABO中,?AB?1,BO?3,?AO?2

2F C D O

x ··················································· 1分

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?sin?AOB?12,??AOB?30

??由题意可知:?AOE?60

??BOE??AOB??AOE?30?60?90

?点B在x轴上,?点E在y轴上. ··················································································· 3分

???(2)过点D作DM?x轴于点M ?OD?1,?DOM?30

12??在Rt△DOM中,DM??点D在第一象限,

,OM?32

?31?点D的坐标为?,?22?? ····································································································· 5分 ???由(1)知EO?AO?2,点E在y轴的正半轴上

?点E的坐标为(0,2)

?点A的坐标为(?3,1) ······································································································· 6分 ?抛物线y?ax?bx?c经过点E,

2?c?2

1),D?由题意,将A(?3,?31,?22??2代入y?ax?bx?2中得 ???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ?3?31b?2??a??b??53?422?9?892?所求抛物线表达式为:y??x?539x?2 ································································ 9分

(3)存在符合条件的点P,点Q. ··················································································· 10分 理由如下:?矩形ABOC的面积?AB?BO?3

?以O,B,P,Q为顶点的平行四边形面积为23.

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由题意可知OB为此平行四边形一边, 又?OB?3

·············································································································· 11分 ?OB边上的高为2·

2) 依题意设点P的坐标为(m,?点P在抛物线y??89x?2539x?2上

??89m?2539m?2?2

解得,m1?0,m2??538

?53?,2? ?P1(0,2),P2????8???以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,

?PQ∥OB,PQ?OB??当点P1的坐标为(0,2)时,

3,

y E A B F C D x O M 点Q的坐标分别为Q1(?3,2),Q2(3,2); 当点P2的坐标为?????53?,2?时, ?8????1338?,2?,Q4??点Q的坐标分别为Q3???33?,2?. ······················································· 14分 ??8???(以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分)

19.(2008年四川省巴中市) 已知:如图14,抛物线y??与直线y??34x?b相交于点B,点C,直线y??3434x?3与x轴交于点A,点B,

2x?b与y轴交于点E.

(1)写出直线BC的解析式.

(2)求△ABC的面积.

(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A,B重合),同时,点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为t秒,请写出△MNB的面积S与t的函数关系式,并求出点M运动多少时间时,△MNB的面积最大,最大面积是多少?

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19. 解:(1)在y????34x?3?0

234x?3中,令y?0

2?x1?2,x2??2

?A(?2,0),B(2,0) ·························································· 1分 y C E N 又?点B在y???0??b?3232?b

34x?b上

A M D O P B x

34x?32?BC的解析式为y?? ··························································································· 2分

32?y??x?3?x1??1??x2?2??4(2)由?,得? ································································ 4分 9 ?y?033y??2?1?y??x??4??429??0) ?C??1,?,B(2,4???AB?4,CD?9494 ·············································································································· 5分

?92?S△ABC?12?4? ······································································································· 6分

(3)过点N作NP?MB于点P

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?EO?MB ?NP∥EO

············································································································· 7分 ?△BNP∽△BEO ·

BNNP ·························································································································· 8分 ??BEEO由直线y??34x?32可得:E?0,?

?2??3??在△BEO中,BO?2,EO?32,则BE?52

?2t52?NP3,?NP?65t ····································································································· 9分

216?S??t?(4?t)

253212S??t?t(0?t?4) ·································································································· 10分

553122S??(t?2)? ············································································································ 11分

5512?此抛物线开口向下,?当t?2时,S最大?

512?当点M运动2秒时,△MNB的面积达到最大,最大为.

5

20.(2008年成都市)如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且AB=35,sin∠OAB=

55.

(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式; (2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若将点O、点A分别变换为点Q( -2k ,0)、点R(5k,0)(k>1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为S?QMN,△QNR的面积S?QNR,求S?QMN∶S?QNR的值.

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20. 解:(1)如图,过点B作BD⊥OA于点D. 在Rt△ABD中, ∵∣AB∣=35,sin∠OAB=

55,

∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB =35×

又由勾股定理,得 AD? ?AB255=3.

?BD222

(35)?3?6

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵点B在第一象限,∴点B的坐标为(4,3). ??3分 设经过O(0,0)、C(4,-3)、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为

2

y=ax+bx(a≠0).

1?a?,??16a?4b??3?8由? ??100a?10b?05??b??.??4∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为y?18x?254x. ??2分

(2)假设在(1)中的抛物线上存在点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 ①∵点C(4,-3)不是抛物线y?18x?254x的顶点,

∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 .

则直线CP1的函数表达式为y=-3. 对于y?18x?254x,令y=-3?x=4或x=6.

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∴??x1?4,?x2?6, ??y1??3;?y2??3.而点C(4,-3),∴P1(6,-3).

在四边形P1AOC中,CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.

∴点P1(6,-3)是符合要求的点. ??1分 ②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为y?k1x. 将点C(4,-3)代入,得4k31??3.?k1??4.

∴直线CO的函数表达式为y??34x.

于是可设直线APy??32的函数表达式为4x?b1. 将点A(10,0)代入,得?3154x?2. ∴直线AP的函数表达式为y??34x?1522.

?y??3x?15由???42.?x2?4x?60?0,即(x-10)(???y?18x2?54x∴?x1?10,?x2??6??y1?0;??y 2?12;而点A(10,0),∴P2(-6,12).

过点P2作P2E⊥x轴于点E,则∣P2E∣=12. 在Rt△AP2E中,由勾股定理,得 AP22?P2E?AE2?122?162?20.

而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四边形P2OCA中,AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.

∴点P2(-6,12)是符合要求的点. ③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点A(10,0)、C(4,-3)代入,得

?10kb?1?2?2?0??k2?,??4k2?b2??32 ??b2??5.∴直线CA的函数表达式为y?12x?5. ∴直线OP13的函数表达式为y?2x

- 33 - x+6)=0. ??1分 www.xkbw.com/ 新课标教学网

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1?y?x??22由??x?14x?0,即x(x-14)=0. ?y?1x2?5x?84??x1?0,?x2?14,∴? ?y?0;y?7.?1?2而点O(0,0),∴P3(14,7).

过点P3作P3E⊥x轴于点E,则∣P3E∣=7. 在Rt△OP3E中,由勾股定理,得 OP3?P3F2?OF2?7?14?75.

22而∣CA∣=∣AB∣=35.

∴在四边形P3OCA中,OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.

∴点P3(14,7)是符合要求的点. ??1分 综上可知,在(1)中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),

使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形. ??1分 (3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下.

①当抛物线开口向上时,则此抛物线与y轴的副半轴交与点N. 可设抛物线的函数表达式为y?a(x?2k)(x?5k)(a>0).

即y?ax?3akx?10ak

?a(x?32k)?222494ak.

2如图,过点M作MG⊥x轴于点G. ∵Q(-2k,0)、R(5k,0)、G(??3?2492?ak?, 4??3?k,0?、N(0,?2?-10ak)、M?2

k,?∴QO?2k,QR?7k,OG??S?QNR?12?QR?ON?1232k,QG?272k,ON?10ak,MG?32494ak.

2?7k?10ak?35ak.

??1212?QO?ON?212(ON?GM)?OG?12?(10ak?212?QG?GM32k?12?72k?494ak

2?2k?10ak?494ak)?2- 34 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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?12(29?15?3?2143498?7?3498)ak.

3∴S?QNM:S?QNR?(ak):(35ak)?3:20. ??2分

②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y轴的正半轴交于点N,

同理,可得S?QNM:S?QNR?3:20. ??1分 综上所知,S?QNM:S?QNR的值为3:20. ??1分 21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程

x?(m?2)x?n?1?0的两根:

2(1) 求m,n的值

(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D,试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N,则

是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由

`1CM?1CN的值

C M A D O B N L`

21.解:

(1)m=-5,n=-3 (2)y=

43

x+2

(3)是定值.

因为点D为∠ACB的平分线,所以可设点D到边AC,BC的距离均为h,

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方案三:作点M关于射线OF的对称点M?,连接GM,则GM??GM. 作M?N?OE于点N,交OF于点G,交AM于点H, ?M?N为点M?到OE的最短距离,即M?N?GM?GN.

?在Rt△M?HM中,?MM?N?30,MM??6,

?MH?3.?NE?MH?3.

?DE?3,?N,D两点重合,即M?N过D点.

在Rt△M?DM中,DM?23,?M?D?43.················································· (10分) 在线段AB上任取一点G?,过G?作G?N??OE于点N?,连接G?M?,G?M. 显然G?M?G?N??G?M??G?N??M?D.

?把供水站建在甲村的G处,管道沿GM,GD线路铺设的长度之和最小.

即最小值为GM?GD?M?D?43. ····································································· (11分) 综上,?3?23?43,?供水站建在M处,所需铺设的管道长度最短. ········ (12分)

27. (2008年山东省青岛市)已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:

(1)当t为何值时,PQ∥BC?

(2)设△AQP的面积为y(cm),求y与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;

(4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.

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B B P P A Q 图①

C A 图② Q C P?

27. 解:(1)由题意:BP=tcm,AQ=2tcm,则CQ=(4-2t)cm, ∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm ∴AP=(5-t)cm,

∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,

∴AP∶AB=AQ∶AC,即(5-t)∶5=2t∶4,解得:t=∴当t为

107107

秒时,PQ∥BC

………………2分

(2)过点Q作QD⊥AB于点D,则易证△AQD∽△ABC ∴AQ∶QD=AB∶BC

∴2t∶DQ=5∶3,∴DQ=t

56∴△APQ的面积:

12×AP×QD=

12(5-t)×t

535t

26∴y与t之间的函数关系式为:y=3t?………………5分

(3)由题意:

当面积被平分时有:3t?35t=

212×

12×3×4,解得:t=5?25 当周长被平分时:(5-t)+2t=t+(4-2t)+3,解得:t=1 ∴不存在这样t的值

………………8分

(4)过点P作PE⊥BC于E 易证:△PAE∽△ABC,当PE=

12QC时,△PQC为等腰三角形,此时△QCP′为菱形

4∵△PAE∽△ABC,∴PE∶PB=AC∶AB,∴PE∶t=4∶5,解得:PE=t

5∵QC=4-2t,∴2×∴当t=

10945t=4-2t,解得:t=

109

时,四边形PQP′C为菱形

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此时,PE=

89,BE=

23,∴CE=

73

………………10分

在Rt△CPE中,根据勾股定理可知:PC=PE2?CE2=()?()=9382725059

∴此菱形的边长为

5059cm ………………12分

kx1428. (2008年江苏省南通市)已知双曲线y?与直线y?kxx相交于A、B两点.第一象限

上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y?(0,-n)作NC∥x轴交双曲线y?kx上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N

于点E,交BD于点C.

(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.

(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.

(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.

28. 解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入y?14x中,得y=-2.

∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2) 从而k=8×2=16

(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上, ∴mn=k,B(-2m,-

n2),C(-2m,-n),E(-m,-n)

12S矩形DCNO=2mn=2k,S△DBO=

mn=

12k,S△OEN=

12mn=

12k.

∴S矩形OBCE=S矩形DCNO―S△DBO―S△OEN=k.∴k=4. 由直线y?14x及双曲线y?4x,得A(4,1),B(-4,-1)

∴C(-4,-2),M(2,2)

设直线CM的解析式是y?ax?b,由C、M两点在这条直线上,得

??4a?b??22,解得a=b= ?3?2a?b?2- 43 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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∴直线CM的解析式是y=

23x+

23.

yQDBC(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1,M1

设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是p?MAMP?A1M1M1O?a?mmMAM1A1xOEN ,

同理q?MBMQ?m?am

∴p-q=

a?mm-

m?am=-2

yMDBCEON

29. (2008年江苏省无锡市)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:

(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求? (2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求? 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)

Ax图1 图2 图3 图4

29. 解:(1)将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形,将这4个转发装置安装在这4

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个小正方形对角线的交点处,此时,每个小正方形的对角线长为?302?152?31,每

21个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域,故安装4个这种装置可以达到预设的要求.

······················· (3分)(图案设计不唯一)

(2)将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得BE?DG?CG.将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处,设AE?x,则ED?30?x,DH?15. 由BE?DG,得x2?302?152?(30?x)2,

22560154?x??,?BE??15?2???30?30.2?31, ?4?2即如此安装3个这种转发装置,也能达到预设要求. ················································· (6分) 或:将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得BE?31,H是CD的中点,将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处,则AE??DE?(30?2231?30?2261,DE?30?61,

61)?15≈26.8?31,即如此安装三个这个转发装置,能达到预设要

求. ································································································································· (6分) 要用两个圆覆盖一个正方形,则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图3,用一个直径为31的?O去覆盖边长为30的正方形ABCD,设?O经过A,B,?O与AD交于E,连BE,则AE?31?30?2261?15?12AD,这说明用两个直径都为31的圆不能完

全覆盖正方形ABCD.

所以,至少要安装3个这种转发装置,才能达到预设要求. ······································ (8分) 评分说明:示意图(图1、图2、图3)每个图1分.

A

E O B

图1

C

B

F 图2

D H

A D

A E D B O

F 图3

C

30解:(1)OH?1;k?33,b?233.

(2)设存在实数a,使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E,满足以D,N,E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似.

?以D,N,E为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类,一类是以DN为直角边的等腰直角三角形,另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形. ①若DN为等腰直角三角形的直角边,则ED?DN.

0),N(5,0). 由抛物线y?a(x?1)(x?5)得:M(?1,- 45 -

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?D(2,0),?ED?DN?3.?E的坐标为(2,3). 3)代入抛物线解析式,得a??把E(2,?抛物线解析式为y??13.

y 13(x?1)(x?5).

即y??13x?243x?53.

P A C H M O B ②若DN为等腰直角三角形的斜边, 则DE?EN,DE?EN.

?E的坐标为(3.5,1.5).

?2 D

N x

1.5)代入抛物线解析式,得a??把E(3.5,?抛物线解析式为y??29.

29x?229(x?1)(x?5),即y??13x?289x?109

当a??13时,在抛物线y??43x?533)满足条件,如果此抛物线上上存在一点E(2,还有满足条件的E点,不妨设为E?点,那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角

1.5),显然E?不在抛物线y??三角形,由此得E?(3.5,13x?243x?53上,因此抛物线

y??13x?29243x?53上没有符合条件的其他的E点.

29x?2当a??时,同理可得抛物线y??89x?10913上没有符合条件的其他的E点.

x?23),对应的抛物线解析式为y??当E的坐标为(2,43x?53时,

??△EDN和△ABO都是等腰直角三角形,??GNP??PBO?45.

又??NPG??BPO,?△NPG∽△BPO.

?PGPO?PNPB,?PB?PG?PO?PN?2?7?14,?总满足PB?PG?102.

29x?21.5),对应的抛物线解析式为y??当E的坐标为(3.5,89x?109时,

同理可证得:PB?PG?PO?PN?2?7?14,?总满足PB?PG?102

31. 解:(1)如图所示: ······································································································ 4分

A 80 ?A 100 ?B C B C - 46 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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(注:正确画出1个图得2分,无作图痕迹或痕迹不正确不得分) (2)若三角形为锐角三角形,则其最小覆盖圆为其外接圆; ············································ 6分 若三角形为直角或钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边(直角或钝角所对的边)为直径的圆. ·························································································································· 8分 (3)此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处(线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处). ··························································· 10分 M G 理由如下:

由?HEF??HEG??GEF?47.8?35.1?82.9,

?EHF?50.0,?EFH?47.1,

?????H 49.8 ?32.4 53.8 ??50.0 ?44.0 ?47.1 ?47.835.1 ??F

故△EFH是锐角三角形,

所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆,

设此外接圆为?O,直线EG与?O交于点E,M, 则?EMF??EHF?50.0?53.8??EGF.

故点G在?O内,从而?O也是四边形EFGH的最小覆盖圆. 所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处,能够符合题中要求. ································································································ 12分

??E

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