巧用“拆分变式”妙解数学问题论文

巧用“拆分变式”妙解数学问题

广西陆川县中学 徐文才

[摘要]在解数学题时，总是把一个问题归入某一种类型，使它具备一定的条件，转化为一种特定的结构，从而加以解决的，在实施这一过程中，往往少不了“拆分”，根据问题特点，配合一定的拆分变形，常常使复杂问题简单化，隐形问题显形化，从而使问题关系明朗化。因此拆分的意识强不强，拆分的方法巧不巧，直接影响着解题的速度和质量。本文通过一些典型实例说明“拆分变式”在解题中的巧妙运用，并抓住例题的结构特征进行适当推广，来体现说明数学的开放性思维和创造性思维在数学解题中的魅力，以及数学思维的灵活性，“拆分变式”法的解题技巧。

所谓“拆分变式”就是把一个数（或式子）分成若干个数（或式子）的和，差或乘积的形式。“拆分变式”在解题中有着许多重要的运用，它的变化无穷，若我们能掌握其中之奥妙，解起题来将会游刃有余，不但能提高解题速度，而且还可以激发数学学习的兴趣，以下主要谈“拆分变式”在解题中的功能。

Mbc?? 一、巧用拆分式 aaa[关键词] 数学 拆分 解题

2例1.当X为何值时，分式3x?6x?5 取得最小值，并求此最小值。

12x?x?12分析：这是一道二次分式求最小值问题，直接求解无计可施，但若对原式进行拆分变形：

6x2?12x?106(x2?2x?2)?22 ??6?222x?2x?2x?2x?2(x?1)?1易知，当X＝－1 时

6?2 2(x?1)?1取得最大值2，故

2 取得最小值4（求解过程略） 2(x?1)?1Mbc1?? 中的 a?b?M ，该拆分变式则为较常用aaa2的平均拆分，它也有着类似的功能。

MbcMc?? 中的a=b ,则 ?1? 也为较重要的1．2若拆分式 aaaaa拆分变式，它在解题中同样有出奇制胜的效果。

以上两种特殊拆分变式的运用在此不举例说明，实际上我们在解题中常遇到这一类问题，若巧用以上拆分变式，对寻求问题的合理解法或减少计算量都

1．1若拆分变式

1

很有帮助，同时可以提高我们解题的技能技巧。 二、巧用拆分式

mm11?(?)

a(a?b)baa?b11111 ???????k(k?1)(k?1)(k?2)(k?n)(k?n?1)kk?n?1例2.求证：

分析：通过观察，等式的左边各项本质一样，而且每一项的分子刚好等于该

分母中两因式之差，于是找到解题途径。 证明：

11111 ???????k(k?1)(k?1)(k?2)(k?n)(k?n?1)kk?n?111111111?(?)?(?)????(?)?(?) kk?1k?1k?2k?nk?n?1kk?n?1该题巧在用拆分式两项的差。 推广1:

111?? ，中间项可相互抵消，刚好剩下首末

a(a?1)aa?1111?????

k(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)(k?3)(k?n?1)(k?n)(k?n?1)??1?11 ???2?k(k?1)(k?1)(k?n?1)?1111????? (k?1)(k?1)(2k?1)(2k?1)(3k?1)[(n?1)k?1](nk?1)推广2:

?11(1?) kkn?1推广3:

bct?????

a(a?1)(a?b)(a?b?c)(a?b??k)(a?b???k?t)?b?c?d???k?t

a(a?b?c?d???k?t)以上推广的证明类似于例2的证明过程，在此不给予证明。由此体现了数学的开放性思维在解题中的奥妙。

n个?????三、巧用拆分式n?1?1???1

例3．设a1, a2,?? an∈R+ 且 a1, a2,??an＝1,求证:（2＋a1）（2＋a2）??（2

2

＋an）≥3 n

分析：不等式的左边共有n 个式子，且形式相同，而其右边为3 n ，只要证其中之一 2?ai≥33ai，通过分析、观察不等式的结构特征。只须将2拆成1＋1，根据已知条件a1, a2,?? an＝1，于时（2＋a1）（2＋a2）?? （2＋an）≥

33a1a?an＝3 ，故原不等式巧妙获证（证明过程略）

n

推广：若m ∈N, ai ∈R

+

( i=1,2??n )且?ai?1，则?(m?ai)≥(m+1)n

i?1i?1nnn证明：? ai ∈R

+

( i=1,2??n )且?ai?1

i?1∴m?ai?1??1???1ai?(m?1)m?1ai ??1???1＋ai≥(m?1)1????????m个nn个∴?(m?ai)i≥(m?1)nm?1a1a2?an?(m?1)n

i?1n个???????aaa四、巧用拆分式a?????

nnn例4、设x>0 y>0 ，且x+y=1997 ，求xy1996 的最大值。

解：∵x?y?x?y1996yyy1997x()≥1997 ???1996199619961996???????????1996个　y19961997x()又∵x+y=1997 ∴1997≥1997

19961996即xy1996≤1996 (当且仅当x=1,y=1996时，等号成立) 从而当x=1,y=1996

时，xy1996达到最大值且最大值为19961996

评注：求解此题的关键是注意观察所求问题的特征，找出与项数有关的数字，把

yyy已知条件中的x+y 拆成 x? 再运用重要不等式使解题快速???199619961996???????????1996个　巧妙。

例5．制造一个体积为V 的圆柱体的有盖罐头盘，怎样设计它的尺寸才最省材料？

分析：如果含变量的项之积不是定值，根据表达式的特征，常将某一项拆成相等

3

的几项，以便于其积为定值和取等号。

解：设盒子的全面积为S全，底面半径为R，高为h ，则V＝πR2h

S全=2πR2+2πRh

=2πR2+πRh+πRh≥333?3R4h2?332V2?

当且仅当2πR2＝πRh 即h=2R 时，S全取得最小值332V2? ∴当设计圆柱体的底面半径R?3VV ，高h?23 时最省材料。 2?2?五、巧用拆分式x?xx （x≥0） 例6．化简

1?x1?x?1?x?(1?x)2(1?x)(1?x)?1?x

分析：本例用常规方法直接通分十分繁琐，注意到隐含条件1＋x≥0，1－x≥0，则用 a?a?a (a≥0) 可得妙解。 解原式?1?x1?x?1?x?(1?x)2(1?x)(1?x)?(1?x)2

?1?x1?x?1?x?1?x1?x?1?x?1

将x?x?x 两边平方可得x2?x?x它也有着类似的功能。

例7．如果边长为正方形铁皮，四角各剪去一个边长为x 的正方形，可以做成一

个无盖的长方形容器，问x为多少时容器容积最大，最大为多少?

分析：为了运用重要不等式，于是要凑出和为定值，并且使等号成立，平均拆分表达式是解此题的关键。

解：设容器的容积为V，则依题意得

V?(a?2x)2?x

1a?2x?a?2x?4x1?(a?2x)(a?2x)?4x≤?443?318a32a3??? 42727 4

2a3a当且仅当a-2x=4x 即 x?时，容器的容积最大且最大值为

b27说明：上述求解过程向我们展示了处理“和定积最大”或“积定和最小”一

类最值问题的拆项处理模式：围绕均值不等式在使等号成立的条件下进行“拆分”。

六、巧用拆分式a=(a+b)-b

?3???33?5例8．设??(,),??(0,),cos(??)?, sin(??)?

44445413求：sin(α+β)

?3??3不少同学将cos(??)?展开成cosαcos+sinαsin=，将

454453?3?3?55sin(??)?展开成sin cosβ+cossinβ=再求sinα,cosα,

4131344sinβ，cosβ。最后被搞得晕头转向，且不易确定α到底是第一象限角还是第二象限角，若能注意整体思考，巧用拆分式a=(a+b)-b ，问题便会化难为易。

?3???解：?＜?＜ ∴0＜??＜

4442?3?4又∵cos(??)? ∴sin(??)?

4545?3?3?∵o<β< ∴<β+

4443?53?12又∵sin(??)? ∴cos(??)??

413413?3??∴????(??)?(??)?

442?3?∴sin(α+β)＝ － cos[(??)?(??)]

443124556 ＝??(?)??＝

51351365说明：由于三角变换公式多，三角题的求解灵活多变。在教学中，除了教会学生

灵活使用三角变换公式外，适时地渗透上述拆分变形思想，必将大大提高学生解证三角问题的能力。

七、巧用拆分式1?(a?1?a)(a?1?a) （a ≥0） 例9．解方程 (7?6)3x?7?(7?6)7x?3

分析:常规解法是用凑指数及分母有理化来获得其解,若能发现

5

1?(7?6)(7?6)

这一妙处，很快得知原方程变形为(7?6)7?3x?(7?6)7x?3，快速解得x?为原方程的解（求解过程略） 八、巧用拆分式：an= bn -bn-1

例10．求和 1＋2·2！＋3·3！＋?＋nn! 分析：只须注意到其一般项k·k! 可拆成（k+1）！－k! 就有

35?k?k!??[(k?1)!?k!]??(k?1)!??k!?(n?1)!?1

k?1k?1k?1k?1nnnn说明：在解涉及多项的求和问题时，我们的思维方向是减少项数，而减项的主要途径之一是拆项，即将通项an表成an= bn -bn-1 的形式，在实施这一过程中，“拆分变式”扮演着重要角色。

(n?m)个?????九、巧用拆分式a?a?1?1?1??1

111100例11．设a，b，c∈R＋且a+b+c=1证明 (a?)2?(b?)2?(c?)2≥

abc3证明：由柯西不等式可知

111111[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]2≤(12?12?12)[(a?)2?(b?)2?(c?)2]

abcabc111111∴[(a?b?c?)?(??)]2≤3[(a?)2?(b?)2?(c?)2]

abcabc111111∴[1?(a?b?c)(??)]2≤3[(a?)2?(b?)2?(c?)2]

abcabc111∵a+b+c=1 , (a?b?c?)?(??)≥32?9

abc121212(1?9)2100?∴(a?)?(b?)?(c?)≥

abc33推广：若a1a2?an?R? ，且a1?a2???an?1 则

(n2?1)2121212 (a1?)?(a2?)???(an?) ≥

na1a2an(其证明过程类似例11，在此不给予证明)

以上我们已介绍了九种常见的拆分变式在初等数学问题中的巧妙运用，当然，对于高等数学中的一些问题，“拆分”同样是解题常用的恒等变形手段，“拆”得巧常能使解题过程一路春风，简捷明快，妙趣横生，让我们得到意想不到的效果，因此，总结和掌握“拆分变式”在解题中的巧用，无疑能培养学生的技能和

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技巧。以下通过实例来领略“拆分变式”在解决一些高等数学问题中的奥妙之处。 一、 求极限问题。对一些数列极限或函数极限问题的求解，可通过观察、分

析、联想等思想转化策略，适当对原式进行拆分变式，便可化难为易，化繁就简。

11111???2例13．已知sn???? （n >1） 求　limsn

n??381524n?1分析并求解：由

11111??(?) 知原式中各项可拆开，2n?1(n?1)(n?1)2n?1n?1在求和时出现正负相消的现象，便于最终求解，于是有

1111111111111111sn?(1????????????????)

23243546n?4n?2n?3n?1n?2nn?1n?11311?(??) 22nn?131311)? ∴　limsn?lim(??nn?14n??n??22

x?x2???xn?nlim例14．求极限　 n 为自然数

x?1x??x?x2???xn?n分析：由于x=1是函数f(x)? 的间断点，不能直接把x=1

x?1代入函数中求解，解此题的关键是设法消去分母，或通过对原函数进行恒等变形，使x=1为其连续点。于是把n 拆成1??1??1???1，并分配到各项中去，再利用?????n个拆分式

Mbc?? ，是解此题的关键之处。 aaax?x2???xn?n解：∵

x?1(x?1)?(x2?1)???(xn?1)?

x?1?1?(x?1)?(x2?x?1)??(xn?1?xn?2???x?1)

x?x2???xn?n?lim[1?(x?1)?(x2?x?1)??(xn?1?xn?2???x?1)] ∴limx?1x??x?? ＝1＋2＋3＋?＋n

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?n(n?1) 2

二、求不定积分问题。 有一些类型的不定积分形成了有规律的解法，如有理函数的积分化为最简分式的积分，以及无理函数积分的几种有理化处理方法，三角函数的几种常用代换法，递推公式等。但是，在许多情况下，常常要配合一定的折分技巧，才可以把问题转化为一种特定的结构，从而加以解决，灵活巧妙运用拆分变式，往往比照搬程序化的做法更为凑效。

1?x?x2例15．求不定积分?dx 2x(1?x)分析：初看起来，本题既不能用代公式法求解，也难以用分部积分，换元法求解，

111?x?x2?但通过观察，分析被积函数可拆成，这样，此题的关键是求x1?x2x(1?x2)11dx，易知这两个不定积分用公式即可获解，于是 不定积分?dx??2x1?x1?x?x211dx?dx??x(1?x2)?x?1?x2dx?ln|x|?arctgx?c（求解过程略）

x2?5x?9dx 例16．求不定积分?2x?5x?6分析：观察被积函数的结构特征，首先应把被积函数进行拆分变式，因为

x2?5x?9x2?5x?6?33??1? 222x?5x?6x?5x?6x?5x?6?1?311?1?3(?)

(x?2)(x?3)x?3x?2所以

11dx??dx) x?3x?2＝x+3 ln｜x-3｜-3ln｜x-2｜+c

x?3＝x+3 ln｜｜＋c （求解过程略）

x?2

原式??dx?3(? 8

例17．求不定积分?x?22x?4x?52dx

分析：通过观察，本题既不能直接用凑微分求解，也不能直接代公式求解，但只要仔细分析被 积函数的结构特征，稍一拆项，便使问题迎刃而解。因为

?

x?22x2?4x?5dx?14x?4?12dx ?242x?4x?5?

?4x?42x?4x?52dx?3?dx[2(x?1)]?32

1d(2x2?4x?5)3???2422x?4x?5?d2(x?1)[2(x?1)]?32

?132x2?4x?5?ln｜2(x?1)?2x2?4x?5｜＋C 22说明：求形如?Mx?Nax?bx?c2dx 的无理函数不定积分的一般方法：把原被积函

数拆成两项，前项用凑微分求解，后项进行配方后用公式求解。

例18．求

2(x?2)x?4x?1dx ?解：?(x?2)x2?4x?1dx

1(2x?4?8)x2?4x?1dx ?21??(2x?4)x2?4x?1dx?4?x2?4x?1dx 21??x2?4x?1d(x2?4x?1)?4?(x?2)2?3d(x?2) 2?1?(x2?4x?1)2?2(x?2)x2?4x?1?6ln|x?2?x2?4x?1|?C 33评注：求解本题的关键是对被积函数进行拆分变式，然后用凑微分和配方后用公式使问题巧妙获解。

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例19．求?sin2x?1cos4xdx 分析：由于?1cos2xdx?d(tgx)，于是首先应考虑把被积函数拆成 (tg2x?sec2x)1cox2x　， 于是

?sin2x?1cos2x?1cos2xdx??(2tg2x?1)d(tgx)?233tgx?tgx?c （求解过程略）

三、用于无穷级数求和问题。在解无穷级数求和问题时，从定义出发，先求出级数的前n 项部分和sn，然后求limn??sn，在求部分和时，我们的思维方向是减

少项数，或通过转化使之具有一定的结构特征，而在实施这一过程 中，“拆分

变式”是主要途径之一，拆分巧妙会收到极妙的功效。

例20．证明级数 11?4?14?7?13?10??1(3n?2)(3n?1)??? 收敛并求其和。

分析：从无穷级数求和定义出发，先求出该级数的前n 项部分和sn，然后求

limsn，即可

解：级数的前n 项部分和为：

s11n?1?4?4?7?13?10??1(3n?2)(3n?1)?1?3??(1?11111?4)?(4?7)???(3n?2?3n?1)?? ?13(1?13n?1)lims11nn?lim??3(1?)?1n??3n?13 10

n??

据级数收敛的定义即知，级数?

11 收敛，其和为。

3n?1(3n?2)(3n?1)?说明：求解本题的关键是能考虑到级数的通项

1拆成

(3n?2)(3n?1)111(?)由此即可写出级数的前n 项部分和sn，这样就不难求得本题的33n?23n?1解了。

例21．证明：级数?3n?5 收敛并求其和。 n3n?13n?5成3nn分析：本题的求解方法类似于例20，在求前n 项部分和sn过程中，拆分

nn3n53n5?是关键，于是问题转化为求与，求解这两个的和远远比求原??nnnn33n?13n?13级数的部分和容易。 解：

3n12n?3(????) （1） ?n2n333 n?13n1n3n12n?1n?3(?????) （2） ?3n?13n32333n3n?1∴（1）式－（2）式得

3n91119n?(????)??n?1 ?b2n233233n?13n∵?n5111?5(????) n2n3333n?1n3nn51919n∴?n??n?(1?n)??n?1

4233n?13n?13

11

即级数的前n 项部分和sn?1919n(1?n)??n?1 42331919n19limsn?(1?n)??n?1?

42433n??193n?5 收敛，其和为。 n43n?1n据级数收敛的定义即知，级数?

从以上的介绍我们知道，“拆分变式”无论在初等代数中还是在高等数学中都有着极其巧妙的运用，而且“拆分”的变化形式颇多，只要我们善于抓住题目的结构特征及充分联想有关的拆分变式，会使我们的解题妙到好处，甚至还可以将有的问题推广到一般的形式，因此，我们在解题时仅要掌握解题方法，还要懂得举一反三，触类旁通，使所学知识融会贯通，这样才能达到锻炼数学思维的效果。

［参考文献］

[1] 吴双 巧拆项，解难题 《数学大世界》 2000年第9期

[2] 蒋根法、卢亚素 巧用“分拆”变形简化分式运算 《数学大世界》 1999年第11期

[3] 刘玉琏 数学分析讲义（上册）第三版 高等教育出版社

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[Abstract] The maths problems can be included in the same category which can be changed into a certain form. It makes it easy to work out the maths problems. How can the problems be turned into the certain form? We must divide them. Dividing can make the difficult problems easy, the invisible problems visible and the hidden problems clear. So the consciousness and the ways of dividing will affect the speed and quality of working out maths problems. The passage tells how to use dividing during working out maths problems by some examples. It can be used wide. It also expresses the charm of working out maths problems by open maths thought and creative maths thought.

keywords: maths divide work out problems

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/red7.html