概率教材（一章）

第一章 随机事件及其概率

教学目标：

（1）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法.

（2）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；

（3）理解概率的古典定义的条件，掌握计算的一般方法，理解古典概率具备的三条性质；

（4）深刻理解概率的公理化定义的意义，掌握概率的性质在概率计算中的应用.

（5）深刻理解条件概率的意义，掌握条件概率的计算；

（6）了解概率的乘法定理在实际应用中的重要性；掌握两及多个事件乘积的概率计算；

（7）理解多个事件相互独立的定义，了解多个事件相互独立和事件之间两两相互独立的关系；

（8）掌握事件独立性在概率计算中的应用； （9）理解贝努里概型的条件，理解公式；

概率论与数理统计是一门研究随机现象的数量规律的数学学科，是统计学的理论基础.它有着系统、丰富的内容和许多深刻的结论.20世纪以来，它已广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域.本章介绍的随机事件及其概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.

§1.1 随机事件

一、 随机现象

在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象.

例如：（1）向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；

（2）在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象. 另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.

例如：（1）在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；

（2）从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象.

二、随机试验与随机事件

为了研究和揭示随机现象的统计规律性，就要对随机现象进行大量重复观察.我们把观察的过程称为试验.满足下列条件的试验称为随机试验，本书以下简称试验.一个随机试验要求满足下列条件：

（1）可重复性：在相同的条件下试验可以重复进行；

（2）可观测性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能的结果；

（3）随机性：在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果. 我们用E表示一个试验，用?表示随机试验E的基本的结果，称为样本点，用?????表示随机试验E的最基本结果的集合，称为样本空间或基本空间.

例如 （1）抛一枚均匀的硬币，其可能出现的结果只有两种：正面、反面. 若令?1=正面，?2=反面，则 ?1,?2为该随机试验的两个基本事件，????1，?2?为样本空间.

（2） 投掷一颗骰子，观察出现的点数. 其可能出现的点数为：1、2、3、4、5、6，若令?i=i，i=1，2，3，4，5，6，则?i为随机试验的基本事件，样本空

3，4，5，6}. 间??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}?{1，2，（3） 观察单位时间内到达某公交车站候车的人数，令?i=单位时间内有i人

1，2，?，则基本事件为?i，样本空间到达车站候车，i?0，??{?0,?1,?2,?}?{0,1,2,?}.

（4） 从一批灯泡中任取一只，以小时为单位，测试这只灯泡的寿命，令t表示灯泡的寿命，则大于等于零的任意一个实数都是该试验的一个样本点，

???tt?0?.

每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件），简称为事件.通常用大写字母A,B,C等表示.

在随机事件中，有些可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能分解为其它事件的组合.这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件.

例如，掷一颗骰子的实验中，其出现的点数，“1点”、“2点”、?、“6点”都是基本事件.“奇数点”也是随机事件，但它不是基本事件.它是由“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的，只要这三个基本事件中的一个发生，“奇数点”这个事件就发生.

每次事件中一定发生的事件称为必然事件，用符号?表示.每次实验中一定不发生的事件称为不可能事件，用符号?表示.例如，在上面提到的掷骰子实验中，“点数小于7”是必然事件.“点数不小于7”是不可能事件.

应该指出：必然事件与不可能事件有着紧密的联系.如果每次实验中，某一个结果必然发生（如“点数小于7”），那么这个结果的反面（即“点数不小于7”）就一定不发生；不论必然事件、不可能事件，还是随机事件，都是相对于一定的实验条件而言的，如果实验的条件变了，事件的性质也会发生变化.比如，掷两颗骰子时，“点数总和小于7”是随机事件，而掷10颗筛子时，“点数总和小于7”就是不可能事件.概率论所研究的都是随机事件，为讨论问题方便，将必然事件?及不可能事件?作为随机事件的两个极端情况.

三、随机事件的关系和运算

对于试验的每一个基本事件，用只含有一个元素?的单点集合???表示；由若干个基本事件复合而成的事件，用饱含若干个相应元素的集合表示；由所有基

本事件对应的全部元素组成的集合称为样本空间.由于任何一次实验的结果必然出现全部基本事件之一，这样样本空间作为一个事件是必然事件，仍以?表示.每一个基本事件所对应的元素称为样本空间的样本点.因而，可以把随机事件定义为样本点的某个集合.称某事件发生，就是当且仅当属于该集合的某一个样本点在试验中出现.不可能事件就是空集?.必然事件就是样本空间?.于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来解释.

1、事件的包含

如果事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每一个样本点也属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A含于事件B.记作 B?A或A?B

B?A的一个等价说法是：如果B不发生，必然导致A也不会发生.显然对于

任何时间A，有??A??. 2、事件的相等

如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，称事件A与事件B相等.即A与B中的样本点完全相同，记作

A=B 3、事件的并（或和）

B中至少有一个发生，两个事件A、即“A或B”，是一个事件，称为事件A与B的并（和）.它是由属于A或B的所有样本点构成的集合.记作

A+B 或 A?B

n个事件A1,A2,?，An,?的和表示可列个事件A1,A2,?，An,?中至少有一个事件发生，记作

?Ai或?Ai

i?1i?1??4、事件的交（或积）

两个事件A与B同时发生，即“A且B”，是一个事件，称为事件A与B的交.它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合.记作 AB或A?B

5、事件的差

事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与B的差.它是由属于

A但不属于B的那些样本点构成的集合.记作

A?B

6、互不相容事件

如果事件A与B不能同时发生，即AB??，称事件A与B互不相容（或称互斥）.互不相容事件A与B没有公共的样本点.显然，基本事件间是互不相容的.

7、对立事件（或互逆事件）

事件“非A”称为A的对立事件（或逆事件）.它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合.记作 A

显然，AA??,A?A??,A???A,A?A. 8、完备事件组

若事件A1,A2,?，An为两两互不相容的事件，并且A1???An??，称

A1,A2,?，An构成一个完备事件组.

9、事件的关系与运算的文氏图

A?B；A?B；A?B；A?B；A与B互不相容；A

10、事件之间的运算律：

（1）交换律：A?B?B?A，AB?BA

（A?B）?C?A?(B?C)；(AB)C?A(BC) （2）结合律：

（A?B）C?AC?BC；(AB)?C?(A?C)(B?C) （3）分配律：

（4）德摩根定律（对偶律）：A?B?A?B,A?B?A?B（可以推广到任意

多个事件的情形）.

例1 设A、B、C是样本空间?中的三个随机事件，试用A、B、C的运算表达式表示下列随机事件.

（1）A与B发生但C不发生；

（2）事件A、B、C中至少有一个发生； （3）事件A、B、C中至少有两个发生； （4）事件A、B、C中恰好有两个发生； （5）事件A、B、C中不多于一个事件发生. 解 （1）ABC；（2）A?B?C；（3）AB?BC?AC；

（4）ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC； （5）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC.

例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射击时击中目标(i?1,2,3).试用文字叙述下列事件. (1)(4)解 (1) (3) (5)A1?A2 (2)A1A2A3 (5)A2 (3)A1?A2?A3

A3A2 (6)A2?A3

A2 第二次未击中； A1A2A3 三次都击中；

A1?A2 前两次中至少有一次击中； (2)A1?A2?A3 三次中至少有一次击中； (4)A3A2 第三次击中但第二次未击中； (6)A2?A3 后二次中至少

有一次未击中.

习题1.1 （A）

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”.试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点

数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”.试写出样本空间及事件AB,A?B,AC,BC,A?B?C?D中的样本点.

3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报.试用A,B,C表示以下事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅.

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中.试说明下列事件所表示的结果：A2, A2?A3, A1A2, A1?A2, A1A2A3,

A1A2?A2A3?A1A3.

5. 设事件A,B,C满足ABC??，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A?B?C，AB?C，B?AC.

6. 两个事件互不相容与两个事件对立有何区别？举例说明. 7. 对于事件A,B，若AB?A?B，问A,B有什么关系？ 8.化简AB?C???AC?

（B）

9.证明: ?A?B??B?A?AB?AB?A?B

(2000年考研数学三真题，3分)在电炉子上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，而T1?T2?T3?T4为4个温控器的t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（ ）.

（A）?T1?t0?； (B) ?T2?t0?； （C）?T3?t0?； （D）?T4?t0?；

§1.2 随机事件的概率

对于一个随机事件A，在一次随机试验中，它是否会发生，事先并不能确定.但我们会问，在一次实验中，事件A发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表示事件A在一次实验中发生的可能性大小.为此，本节首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次实验中发生的可能性大小的——概率.

一、 频率及其性质

定义1.2.1 若在相同条件下进行n次实验，其中事件A发生的次数为rn?A?，则称fn?A??rn?A?为事件A发生的频率. n易见，频率具有下述基本性质： （1）0?fn?A??1； （2）fn?S??1；

（3）设A1,A2,?，Am是两两互不相容的事件，则

fn?A1?A2???Am??fn?A1??fn?A2????fn?Am?

根据上述定义，频率反映了一个随机事件在大量重复实验中发生的频繁程度.例如，抛掷一枚均匀硬币时，在一次实验中虽然不能肯定是否会出现正面，但大量重复实验时，发现出现正面和反面的次数大致相等，即各占总实验次数的比例大致为0.5，并且随着实验次数的增加，这一比例更加稳定地趋于0.5.这似乎表明，频率的稳定值与事件发生的可能性大小（概率）之间有着内在的联系. 例1 圆周率?=3.1415926?是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位，这个记录保持了1000多年！以后不断有人把它算得更精确.1873年，英国学者沈克士公布了一个?的数值，该数值在小数点后一共有707位之多！但几十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了?的

608位小数，得到了表1-2-1中的结果： 表1-2-1 数字 0 1 62 2 67 3 68 4 64 5 56 6 62 7 44 8 58 9 67 出现次数 60 你能说出他产生怀疑的理由吗？

因为?是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

例2 检查某工厂一批产品的质量，从中分别抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件来检查，检查结果及次品出现的频率列入表1-2-2. 表1-2-2 抽取产品总件10 数n 次品数? 次品频率?n 0 0 1 3 5 7 0.047 11 0.055 16 0.053 20 50 100 150 200 300 0.050 0.060 0.050 由表1-2-2可以看出，在抽出的n件产品中，次品数?随着n的不同而取不同的值，但次品频率定值.

实际观察中，通过大量重复实验得到随机事件的频率稳定于某个数值的例子还有很多.它们均表明这样一个事实：当实验次数增大时，事件A发生的频率而且偏差随着实验次数的增大而越来越小.fn?A?总是稳定在一个确定数p附近，

频率的这种性质在概率论中称为频率的稳定性.频率具有稳定性的事实说明了刻画随机事件A发生的可能性大小的数——概率的客观存在性.

定义1.2.2 在相同条件下重复进行n次实验，若事件A发生的频率

fn?A??rn?A?随着实验次数n的增大而稳定地在某个常数p?0?p?1?附近摆n?仅在0.05附近有微小变化.这里0.05就是次品频率的稳n动，则称p为事件A的概率，记为P?A?.

上述定义称为随机事件概率的统计定义.根据这一定义，在实际应用时，往往可用实验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着实验次数的增加，估计的精度会越来越高.

例3 从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中.现从该池中任意捉来40条鱼，发现其中两条有记号，问池内大约有多少条鱼？ 解 设池内有n条鱼，则从池中捉到一条有记号的鱼的概率为捉到有记号的鱼的频率条鱼.

二、概率的公理化定义

任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的使用性.概率的频率解释为概率提供了经验基础，但是不能作为一个严格的数学定义，从概率论有关问题的研究算起，经过近三个世纪的漫长探索历程，人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义.1933年，苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫，在他的《概率论的基本概念》一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系，第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.

定义1.2.3 设E是随机实验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P?A?，若P?A?满足下列三个条件： （1） 非负性：对每一个事件A，有P?A??0； （2） 完备性：P?S??1；

（3） 可列可加性：设A1,A2,?是两两互不相容的事件，则有

??? P??Ai???P?Ai?，

?i?1?i?1?100，它近似于n21002?，即，解之得n?2000，故池内大约有2000

40n40则称P?A?为事件A的概率.

三、概率的性质

（2）每个箱子最多放入一个球；

（3）某指定的箱子里恰好放入k（k?n）个球.

解 将n个球随意地放入N个箱子中，共有Nn种放法，记（1）、（2）、（3）的事件分别为A，B，C.

（1）将n个球放入指定的n个箱子，每个箱子各有一球，其放法有n!种，故有

p(A)?n! Nn （2）每个箱子最多放入一个球，等价于先从N个箱子中任选出n个，然后每

n个箱子中放入一球，其放法有CNn!种，故

nCNn!p(B)?

Nn （3）先任取k个球（有Cnk种取法）放入指定的箱子中，然后将其余的n?k个球随意地放入其余N?1个箱子，共有(N?1)n?k种放法，故有

p(C)?kCn(N?1)n?kNn.

例3 一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：

（1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件.

试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”.

解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接连两次抽取

22共有A100种取法，即基本事件总数n?A100.第一次取到正品共有97种取法，第

二次取到次品共有3种取法， 则A中包含的基本事件数是r?97?3，故 P?A??r97?3?2?0.0294. nA100(2)采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数n?1002.在这种情况下，A中包含的基本事件

数r仍为97?3，故 P?A??

二、几何概型

古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型.这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型——几何模型.

(1)设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为??S?；

(2)向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域内的可能性只与区域A的面积??A?成比例，而与区域A的位置和形状无关，如图1-3-1所示. 向区域S上随机投掷一点，该点落在 区域A的事件仍记为A，则A的概

率为P?A?????A?，其中?为常数， 图1-3-1 而P?S?????S?，于是，得??r97?3??0.0291. n10021，从而事件A的概率为 ??S? P?A????A? ??S?注：若样本空间S为一线段或一空间立体，则向S“投点”的相应概率仍可用上式确定，但????应理解为长度或体积.

例4 某人午觉醒来，发觉钟表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点时报时一次，求他（她）等待时机短于10分钟的概率.

解 以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于是这个人打开收音机的时间必在（0，60）内，记“等待时间短于10分钟”为事件

A，则有

S??0,60?,A??50,60??S

于是

P?A??101? 606例5 （会面问题）甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率.

解 记7点为计算时刻的0时，以分钟为单位，x,y分别记甲、乙到达指定地点的时刻，则样本空间为

S???x,y?0?x?60,0?y?60?

以A表示事件“两人能会面”，则显然有 A???x,y??x,y??S,x?y?20? （见图1-3-2）

根据题意，这是一个几何概型问题，于是

??A?602?4025 P?A????. 2??S?609

习题1.3 （A）

1. 10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率. 2. 两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率及第一个邮筒内只有一封信的概率.

3. 一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽4张,求四张花色各异的概率.

4. 袋中有红、黄、黑色球各一个，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A??三次都是红球?， B??三次未抽到黑球?， C??颜色全不相同?， D??颜色不全相同?.

5. 从0,1,2,?，9中任意选取3个不同的数字，试求下列事件的概率.

A1??三个数字中不含0与5?，A2??三个数字中不含0或5?.

6. 10人人中有一对夫妇，他们随意坐在一张圆桌周围，求该对夫妇正好坐

在一起的概率.

7. 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任取200个.

(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率.

8.某专业研究生复试时,有3张考签,3个考生应试,一个人抽一张后立即放回,再由另一个人抽,如此3人各抽一次,求抽签结束后,至少有一张考签没有被抽到的概率.

9. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车到达，一位乘客到达汽车站的时间是随意的，求他等候时间不超过3分钟的概率.

10.两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间为1小时和2小时，则一艘轮船停靠泊位时，求需要等待空出码头的概率.

(B)

1．(2007年考研数学三真题，4分)在区间?0,1?中随机地取出两个数，则两数之差的绝对值小于

1的概率为_______. 22． (1996考研数学三真题，6分)考虑一元二次方程x2?Bx?C?0，其中

B,C分别是将一枚色字接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和

有重根的概率q.

3． (1991考研数学三真题，3分)随机地向半圆0?y?2ax?x2?a为正常数?内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率为_____. 4§1.4 条件概率与乘法法则

一、条件概率

通过两个例子说明条件概率与无条件概率的不同，从而引出条件概率的概念.

例：（1）十张彩票中有两张能中奖，甲、乙两人各抽奖一次.抽前乙关心的是自己抽到奖的概率，令A={乙抽到奖}，则有p(A)?2. 若甲先抽，乙就会关10心甲抽签的结果，因为这会影响到他抽到“奖”的可能性. 设B={甲抽到奖}，则在B发生条件下，样本空间已经发生了变化，只含有九个样本点，事件A发生的概率为. 可见考虑在事件B已经发生条件下，事件A发生的概率是有实际意义的.

（2）两个车间生产同一种产品，产品数量和质量情况如表1-2（单位：千件）

表1-2

一车间 二车间 总计 合格品数 35 50 85 不合格品数 5 10 20 合计 40 60 100 19试求：（1）从所有的产品中任取一件，取到合格品的概率；

（2）从所有的产品中任取一件，取到的是二车间生产的产品的概率； （3）在取到合格品的条件下，取到二车间产品的概率.

解 设A?{取到合格品}，B?{取到二车间产品}，则 （1） p(A)?856050 （2）p(B)? （3）p(BA)? 10010085定义1.4.1 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P?AB?.相应地，把P?A?称为无条件概率.这里，只研究作为条件的事件B具有正概率?P?B??0?的情况. 条件概率具有如下性质：

（1）非负性：对任何事件A,P?AB??0; （2）规范性：对于必然事件?，有P??B??1

（3）可列可加性：对于两两互不相容的事件A1,A2,?,An,?两两互不相容，

??则P??AiB????P?AiB? i?1??i?1?此外，前面所证概率的性质都适用于条件概率.

例1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A、A分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率. 解 依题意

P?A??70% P?A??30%

P?BA??95% P?BA??80%

进一步可得：

PBA?5% PBA?20%

????例2 全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（用事件C来表示）40人中有32名男生，8名女生.试写出P?A?，P?B?，P?BA?，

P?AB?，P?AB?，P?C?，P?CA?，PAB，P?AC?.

??解 依题意，有

P?A??80/100?0.8 P?B??20/100?0.2

P?BA??12/80?0.15 P?AB??12/20?0.6

P?AB??12/100?0.12 P?C??40/100?0.4

P?CA??32/80?0.4 PAB?12/80?0.15

??P?AC??32/100?0.32

二、乘法法则

从例2中可以看到

P?BA??P?AB?P?AB? ,P?AB??P?A?P?B?事实上，上式不仅适用于古典概型中条件概率的计算，对于一般情况下任意两个事件，只要有关的条件概率有意义，都满足上式.因而在概率论中把某一事件B在给定另一事件A,(P?A??0)下的条件概率P?BA?定义为 P?BA??于是有概率的乘法法则.

乘法法则 两个事件A,B之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率.即

P?AB??P?A?P?BA?,若P?A??0 P?AB??P?B?P?AB?,若P?B??0 相应地，关于n个事件A1,?,An的乘法公式为

P?A1A2?An??P?A1?P?A2A1?P?A3A1A2??P?AnA1?An?1?

P?AB? P?A?例3 10个考签中有4个是难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后.求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率.

解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，由公式有

P?A??4 104312?? 109906424 P?AB??P?A?P?BA?=??

1099043224 P?ABC??P?A?P?BA?P?CAB?=???

1098720 P?AB??P?A?P?BA?=例4 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次，试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率.

解 设Ai为第i次取球时取到白球，则

P(A1A2A3A4)?P(A4|A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)

P(A1)?2334，P(A2|A1)?，P(A3|A1A2)?，P(A4|A1A2A3)? 5678

三、全概率定理与贝叶斯定理

在计算随机事件的概率是，为了求出较复杂事件的概率，通常将它分解成若干个互不相容的简单事件之和，通过分别计算这些简单事件的概率，再利用概率的可加性得到所求结果.全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.

定义1.4.2 事件组A1,?,An（n可为?），称为样本空间S的一个划分，若满足：

(1)?Ai?S;i?1n

(2)AiAj??,(i?j),i,j?1,2,...,n.定理1.4.1 设A1A2?An是 S 的一个划分，且P(Ai)?0，(i?1,?,n)，则对任何事件B有

P(B)＝?P(B|Ai)P(Ai)

i?1n上式就称为全概率公式.

例5 验收100件产品的方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品.设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并已知这100件产品恰有4件次品.求此批产品能被接收的概率.

解 设 A={此批产品被接收}，Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3.则

3C96P(B0)?3,C10012C4CP(B1)?396,C100343100P(B2)?CCC,P(B)?.33C100C24196

因三次测试是相互独立的，故

P?AB0??0.993 P?AB1??0.992?1?0.95?

P?AB2??0.992?1?0.95? P?AB3??0.992?1?0.95?

23由全概率公式，得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)?0.8629.

i?03例6 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率.

解 设B：买到一件次品,A1：买到一件甲厂的产品，

A2：买到一件乙厂的产品，A3：买到一件丙厂的产品， 则

P(B)?P(BA1)?P(BA2)?P(BA3)

?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)111?0.02??0.01??0.03??0.0225

442

定理1.4.2 设A1,?,An是S的一个划分，且P(Ai)?0，(i?1,?,n)，则对任何事件B，有

P(Aj|B)?P(B|Aj)P(Aj)?P(B|A)P(A)iii?1n,(j?1,...,n)

上式就称为贝叶斯公式.

例7 根据例6所给出的条件，若在市场上买一件该品牌产品是次品，试分析这个次品来自哪个厂的概率更大些.

解 设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品. 则由全概率公式可知,

1P(B|A1)P(A1)4?2 P(A1|B)??P(B)0.022590.02?P(A2|B)?P(B|A2)P(A2)1?

P(B)9P(B|A3)P(A3)2?

P(B)3P(A3|B)?贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.

在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率. P(Ai)（i=1,2,?,n）是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识（一般从积累起来的历史资料里获得）.P(Ai|B)一般可由行业知识获得.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.

例8 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少?

解 设A：从一箱中任取4只检查，结果都是好的. B0,B1,B2分别表示每箱含0,1,2只次品. 已知：P(B0)?0.8, P(B1)?0.1, P(B2)?0.1

44C19C18412P(A|B0)?1，P(A|B1)?4?,P(A|B2)?4?.

C205C2019P(B1|A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B)P(B)iii?02?5?0.0848.

4120.8?1?0.1??0.1?5190.1?4

习题1.4 （A）

1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率.

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

1113.已知P?A??,P?BA??,P?AB??,求P?A?B?.

4324.设A,B为随机事件, P?A??0.7,P?B??0.5,P?A?B??0.3,求P?AB?;

P?B?A?;PBA.

??5.设事件A与B互斥,且0?P?B??1,试证明PAB???P?A?.

1?P?B?6.12个乒乓球中有9个新的,3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

7. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II.两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求

（1） 两种报警系统I和II都有效的概率； （2） 系统II失灵而系统I有效的概率；

（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率.

8.某仓库有同样规格的产品六箱,其中三箱是甲工厂生产的,两箱是乙工厂生产的,另一箱是丙工厂生产的,且它们的次品率依次为一件产品,试求取得的一件产品是正品的概率.

9.某人忘记了电话号码的最好一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率；若已知最好一个数字是奇数,那么次概率是多少?

（B）

1． (2012年考研数学三真题，4分)设A,B,C是随机事件，A与C互不相容，

11P?AB??,P?C??,则PABC?______.

23111,,,现从中任取101520??2．(2006年考研数学三真题，4分)设A,B为两个随机事件，且

P?B??0,P?AB??1，则必有（ ）.

（A）P?AUB??P?A?； (B) P?AUB??P?B?； （C）P?AUB??P?A?； （D）P?AUB??P?B?

3．(2005年考研数学三真题，4分)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,?,X中任取一个数，记为Y，则P?Y?2??_____.

4．(1996年考研数学三真题，3分)已知0?P?B??1且

P???A1?A2?B???P?A1B??P?A2B?，则下列选项成立的是（ ）.

?（A）P???A1?A2?B??PA1B?PA2B；

???? (B) P?A1B?A2B??P?A1B??P?A2B?； （C）P?A1?A2??P?A1B??P?A2B?； （D）P?B??P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2?

§1.5 独立试验概型

一、事件的独立性

先看一个例子：

B?{第二次掷出6点}, 将一颗均匀骰子连掷两次，设A?{第一次掷出6点}，

求 P(B|A)，P(B).

P(B|A)?1?P(B) 6这就是说：已知事件A发生，并不影响事件B发生的概率, 即

P(B|A)?P(B), 这时称事件A、B独立.

定义1.5.1 若两事件A、B满足

P?AB??P?A?P?B? 则称A、B独立,或称A，B相互独立

定义1.5.2 若n?n?2?个事件A1,?,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,?,An相互独立.

关于独立性的几个结论：

（1）事件A与B独立的充分必要条件是 P?AB??P?A?P?B?

（2）若事件A与B独立，则A与B，A与B，A与B中的每一对事件都相互独立.

（3）若事件A1,?,An相互独立，则有 P(A1?An)??P?Ai?

i?1n （4）若事件A1,?,An相互独立，则有

P(?Ai)?1??P?Ai?

i?1i?1nn证明

（1）必要性 若A与B中有一个事件概率为零，则结论显然成立.设A与B概率都不为0，由于A与B独立，有P?AB??P?A?.而P?AB??P?AB?P?B?，因此得到P?AB??P?A?P?B?.

充分性 不妨设P?B??0

?P?AB??P?AB?P?B?及P?AB??P?A?P?B? ?P?AB??P?A?

即A与B独立.

（2）只证明A与B独立，其它两对证法类似，留给读者完成.

P?AB??P?A?AB? ?P?A??P?AB?

?P?A??P?A?P?B? ?P?A?P?B? 由结论1，A与B独立.

（3） P(A1?An)?P?A1?P?A2A1??P?AnA1?An?1? 而

P?A2A1??P?A2?,?,P?AnA1?An?1??P?An?

所以

P(A1?An)??P?Ai?

i?1n?1?P?A1A2?An? （4） P?A1???An??1?P(A1?…+An）由于A1,?,An相互独立，A1,?,An也相互独立，所以P(?Ai)?1??P?Ai?.

i?1i?1nn例1 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%，求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.

解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件 A，第 I 个人的血清中含有肝炎病毒为事件Ai，i=1,2,?,100. 则 A??Ai

i?1100P(A)?1???1?P(Ai)???1?(1?0.004)?0.33

i?1100100设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为?，Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则

P(Bn)?1?(1??)n,0???1,n?1,2,?limP(Bn)?1

n??

不能忽视小概率事件，小概率事件迟早要发生.

例2 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为P，

且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.

解 设A：L至R为通路, Ai：第i个继电器通, i=1,2,?,5

P(A|A3)?P(A1A4?A2A5)?2p2?p4

P(A|A3)?P{(A1?A2)(A4?A5)}?P(A1?A2)P(A4?A5)?(2p?p2)2 由全概率公式

P(A)?P(A|A3)P(A3)?P(A|A3)P(A3)?2p2?2p3?5p4?2p5

二、独立试验序列概型

在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型.

进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验

三、计算题

1．矩形{(a,b):1?a?2,?1?b?1}中任取一点,求使方程ax?b?0的解大于

1/4的概率.

2.某地区一工商银行的贷款范围内，有甲乙两家同类企业，设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概率为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率. 3、玻璃杯成箱出售，每箱20只.已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率.

4.(敏感问题调查)在调查家庭暴力（或吸毒、婚外恋等敏感问题）所占家庭的比例p时，被调查者往往不愿回答真相，这使得调查数据失真，为得到实际的

p同时又不侵犯个人隐私，调查人员将袋中放入比例是p0的红球和比例是

q0?1?p0的白球，被调查者在袋中任取一球窥视后放回，并承诺取得红球就讲真话，取得白球就讲假话，被调查者只需在匿名调查表中选“是”（有家庭暴力）或“否”，然后将表放入投票箱，没人能知道被调查者是否讲真话和回答的是什么，如果调查表上声称有家庭暴力的家庭比例是p1，求实际比例p？ 5．设某型号高射炮，每门炮每发射一发炮弹击中敌机的概率为0.6.现若干门炮同时各发射一发，问欲以99%把握击中敌机，至少需要配置几门高射炮？ 6．辨析题：判断下列命题是否为真，若不为真，请举一反例：

1）若P(A)?0，则A为不可能事件； 2）若P(A)?1，则A为必然事件； 3）若A,B互不相容，则P(A)?1?P(B).

答案

习题1.1答案

（A）

1. ???(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）（正，反）A??(正，正)，

?

?

?；B??（正，正），（反，反）

（正，反），（反，正）C??(正，正)，?

2. ???(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?,(6,6)?；

AB??(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)?；A?B??(1,1),(1,3),(1,5),?,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?；

AC??；BC??(1,1),(2,2)?；

A?B?C?D??(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)?

3. （1）ABC；（2）ABC；（3）ABC?ABC?ABC；（4）ABC?ABC?ABC; （5）A?B?C；（6）ABC；

（7）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?AC?BC （8）ABC； （9）A?B?C

4.甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中. 5.

A?B?C?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC;AB?C?ABC?C;B?AC?ABC?ABC?ABC?BA?ABC?BC?ABC6. 区别在于是否有A?B=S 7. A与B互为对立事件

8. A?B?C?

（B）

解析 事件?T4?t0?表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度

t0;?T3?t0?表示至少有两个温控器的温度不低于t0,即E??T3?t0?,应选(C).

习题1.2答案

（A） 1. 0.2 2. （1）

33.

8113；（2）；（3）. 2684. P(A)?P(B)?P(C)?1812;P(D)?P(E)?;P(F)?；P(G)?；2727998P(H)?.

97145. P(A1)?；P(A2)?

1515（B）

1.解析 因事件A与B互不相容,即AB??,则AB??,于是 P?AUB??PAB?P????1 应选(D)

2.解析 ?A?B??A?B??AA?AB?AB?BB?B ?A?B??A?B??B

P?A?B??A?B??A?B??A?B??P?BB??P????0

??3.解析 AB?AUB,如果AUB??,则AB??,即A与B互不相容;如果

AUB??,则AB??,即A与B相容.由于A与B是任意的,故选项(A)与(B)均不

正确.又因A与B不相容,P?A?,P?B?均不为零,因此

P?AB??0,P?A?P?B??P?AB?,即(C)不正确.用排除法应选(D).事实上,

P?A?B??P?A??P?AB??P?A?.

习题1.3答案

（A） 1.

8 152. 0.25;0.375 3. 约为0.1055

1828;;;. 2727997145.P?A1??;P?A2?? .

151526.

94.

901102001199C400C1100C1100C400C11007.(1)p?, (2) p?1?200?. 200200C1500C1500C15007 939.

108.

10. 约为0.121

（B）

1.解析 这是一个几何型概率的计算题,设所取的两个数分别为x和y,则以x为横坐标以y为纵坐标的点?x,y?随机地落在边长为1的正方形内,设事件A表示”所取两数之差的绝对值小于

1”,则样本空间 2????x,y?:0?x?1,0?y?1?;事件A的 样本点集合为区域G中所有的点,而

1??G???x,y?:0?x?1,0?y?1,y?x??. 图1

2??区域?的面积S??1,区域G的面积SG?S??SG1?SG2?1?13?. 442.解析 一枚色字接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件

?B2?则A1??B?4C?=?C?用列举法求A1?\方程有实根\，A2?\方程有重根\，?，4??2有利于Ai的样本点个数?i?1,2?,具体做法见下表:

B 1 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 0 1 0 1 0 0 有利于A1的样本点数 有利于A2的样本点数 p?P?A1??1?2?4?6?6191?11?? ,q?P?A2??36363618?3.解析 设事件A?\掷的点和原点连线与x轴的夹角小于\,这是一个几何概

4型的计算问题.由几何概型计算公式 P?A??SD S半圆1而 S半圆=?a2 图2

211 SD?S?OAC?S1=a2??a2

圆2441212a??a1124故 P?A????

122??a2

习题1.4答案

（A）

21.

312.

513.

324. P?AB??0.4;P?B?A??0.1;PBA?.

3??6. 0.455

7. （1）0.862;（2）0.058;（3）约为0.8286 8. 约0.92 9.

33； 105

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