高斯消元法_实验报告

高斯消元法_实验报告

华

科 技 大数值分析实验报告

学号 姓名 类别硕士

2013年5月6日

中 学

高斯消元法_实验报告

实验6.1

实验要求：

根据教材实验6.1做出相应改编：分别使用Gauss消元、列选主元。全选主元的方法求解线性方程组，分别比较三种消元方法的结果和算法的区别，并说明主元的选取在Gauss消元的中的作用。 问题提出：

Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。一般来说书本上采用的列选主元的办法对其线性方程组进行求解的，那么我们是否可以选择一种行列都选取主元消去的办法来减小相应的误差呢？全主元消元法和列主元消元

法一样都是由高斯消元法演变而来。只不过选取主元的范围有所加大。全选主元相对于列选主元的更加复杂化了，因为在运算的过程中导致了元的位置发生了变化，这样我们就不得不追踪每个元的位置。本次实验就几个问题进行了matlab实验分析，比较几种计算方法的优劣性。

实验内容：

考虑线性方程组

Ax b,A Rn n,b Rn

编制一个程序：分别能进行Gauss消去、列选主元Gauss消去、全选主元Gauss消去法进行解线性方程组。对三种算法所得到的结果进行比较，分析三种计算方法的准确性。

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具体内容：

61 7 861 15

（1）取矩阵A ,b ，则方程有解x* (1,1, ,1)T。

861 15

86 14

取n=10、n=20计算矩阵的条件数。分别编写利用matlab编写运算程序，实现Gauss消去、列选主元消去以及全选主元消去的方法。比较三种计算方法的运算结果。在列选主元的过程中分别采用每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元或每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。

1 采用普通Gauss消元法进行计算

Gauss消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除某个数以及两个方程相

加减这两种运算手续，逐步减少方程组中变元的数目，最终使某个方程只含有一个变元，从而得出所求的解。对于 = ，Gauss消去法的求解思路为： （1） 若 11≠0，先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的 1,

使之变成一个关于变元 2, 3…… 的n-1阶方程组。 （2） 按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。 （3） 经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。 （4） 利用求解公式回代得到线性方程组的解。 根据这个思路编写matlab程序如下：

function x=gauss(n)

disp('请输入构造的矩阵的阶数（10/20）') n=input('');

disp('构造矩阵为A=')

A = diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) disp('由A构造出矩阵b=') b = A*ones(n,1) [m,n]=size(A); disp('增广矩阵为:') Ab=[A b] for i=1:n-1 yuan=Ab(i,i);

(1)

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for k=i+1:n

Ab(k,i:(n+1))=Ab(k,i:(n+1))-(Ab(k,i)/yuan)*Ab(i,i:(n+1)); end disp(Ab); pause end

x=zeros(n,1);

x(n)=Ab(n,(n+1))/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1

x(i)=(Ab(i,(n+1))-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i); end

取n=10运行的结果为：Ab =

6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 15 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 15 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 15 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 15 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 15 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 15 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 14

消去结束后的矩阵为：

解得线性方程组的解为： ans =

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

取n=20运行的结果为：Ab =

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消去结束后的矩阵为：

解得线性方程组的解为： ans =

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 2 采用列选主元消去法进行计算

在采用Gauss消去法的时候，主元绝对值的大小将影响到计算结果，主元的

绝对值越大，算法的稳定性越好。列选主元消去法matlab程序的计算思路为：

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（1）先构造需要计算的矩阵，得到增广矩阵Ab。

（2）将系数矩阵A的每一列的绝对值最大的元素换至对角线上，矩阵b中的元素也随之改变，先判断主元是否为0。然后利用此主元逐行消去此主元所在的列中的元素，矩阵b中的元素也随之改变。

（3）经过n-1步运算过后，矩阵A就变换成为一个三角矩阵。。 （4）逐次回代，就能计算出方程组的解。

分别每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元和每步消去过程总选取按模最小的元素作为主元选取列选主元消去法的matlab程序为： function x=gauss(n)

disp('请输入构造的矩阵的阶数（10/20）') n=input('');

disp('构造矩阵为A=')

A = diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) disp('由A构造出矩阵b=') b = A*ones(n,1) [m,n]=size(A); disp('增广矩阵为:') Ab=[A b] for i=1:n-1 if way==1 i=i

disp('输入每一列的主元所在的行') hang=input('');

Ab([i hang],:)=Ab([hang i],:); disp(Ab); pause end

zhuyuan=Ab(i,i); for k=i+1:n

Ab(k,i:(n+1))=Ab(k,i:(n+1))-(Ab(k,i)/zhuyuan)*Ab(i,i:(n+1)); end disp(Ab); pause end

x=zeros(n,1);

x(n)=Ab(n,(n+1))/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1

x(i)=(Ab(i,(n+1))-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i); end

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（i）：每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元: 取n=10手动执行该程序： 消去结束后的矩阵为：

解得线性方程组的解为： ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 取n=20运行的结果为：Ab =

解得线性方程组的解为：

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ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 （ii）每步消去过程总选取按模最小的元素作为主元: 取n=10手动执行该程序： 消去结束后的矩阵为：

解得线性方程组的解为： ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 取n=20运行的结果为： 消去结束后的矩阵为：

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解得线性方程组的解为： ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

由上述两种选取主元的方法比较可知，采用每一步消去过程总选取按模最大或按模尽可能大的元素作为主元的选取方法最终得到的方程组的解更加精确，这是因为在计算过程中人为的避免了大数除小数而造成的误差的扩大，而每一步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元的选取方法最终得到的解会有误差，而误差的产生就是由于上诉原因而造成了。所以在实际计算过程中，必须考察计算模型的可行性。

3 采用全选主元消去进行计算

全选主元和列选主元消去法的区别在于全选主元不仅要用到列选主元，而且需要行选绝对值最大的元，这样的麻烦之处就在于不仅需要进行线性方程顺序的变换，而且在解方程的过程中未知数的顺序也发生了相应的改变，这就给程序的编写和运算的时间的上带来了很大的麻烦。全选主元消去法的基本思路为：

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（1）先构造需要计算的矩阵，得到增广矩阵Ab

（2）将每次更新后系数矩阵的每一列的绝对值最大的元素换至对角线上（绝对值最大的元素必须在对角线的下方），矩阵b中的元素也随之改变。

（3）然后将更新后系数矩阵的每行中的绝对值最大元素换至对角线上（该绝对值最大元素必须要在主元的右侧）。先判断主元是否为0，然后利用此主元逐行消去此主元所在的列中的元素，矩阵b中的元素也随之改变。 （4）经过n-1步运算过后，矩阵A就变换成为一个三角矩阵。。 （5）逐次回代，就能计算出方程组的解。 采用全选主元Gauss消去法编写的matlab程序为： function x=gauss(n)

disp('请输入构造的矩阵的阶数（10/20）') n=input('');

disp('构造矩阵为A=')

A = diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) disp('由A构造出矩阵b=') b = A*ones(n,1) [m,n]=size(A); disp('增广矩阵为:') Ab=[A b] for i=1:n-1

zhuyuan = max(max(abs(A(i:n,i:n)))); for r = i:n for t = i:n

ifzhuyuan == abs(A(r,t)) zhuhang = r; zhulie = t; end end end

ph = A(i,:);

A(i,:) = A(zhuhang,:); A(zhuhang,:) = ph; b = b'; bb = b(i);

b(i) = b(zhuhang); b(zhuhang) = bb; b = b'; pl = A(:,i);

A(:,i) = A(:,zhulie); A(:,zhulie) = pl;

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Ab = [A,b]; zhuyuan = Ab(i,i); for k=i+1:n

Ab(k,i:(n+1))=Ab(k,i:(n+1))-(Ab(k,i)/zhuyuan)*Ab(i,i:(n+1)); end

A = Ab(:,[1:n]); b = Ab(:,[(n+1)]); disp(Ab); pause end

x=zeros(n,1);

x(n)=Ab(n,(n+1))/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1

x(i)=(Ab(i,(n+1))-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i); end

取n=10手动执行该程序： 消去结束后的矩阵为：

解得线性方程组的解为： ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

取n=20运行的结果为：

Ab =

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解得线性方程组的解为： ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

根据消去后的矩阵的可以看出：全选主元消去得到的矩阵十分稳定。因此全选主元的的稳定性和精确程度都比列选主元的方法得到的要高。 4 实验总结

通过本次实验可以看出，matlab程序的编写复杂程度来看：普通Gauss

消去法的编写最简单，只需要通过简单的运算就可以得到需要的计算的结果，采用列选主元的办法进行gauss消去的程序略微比普通Gauss消去法难度大，由于增加了需要选取主元的过程，而全选主元由于涉及到换行换列，程序的编写比价麻烦，三种算法的在执行速度来看，也是十分明显地可以看出：普通Gauss消去＜列选主元消去＜全选主元消去。而从计算的结果来看，普通Gauss消去法明显比列选主元消去的稳定性差，

而全选主元的稳定性只是略微的相对于列选主元好

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一些。在实际的应用中，在精度要求和稳定性要求不是特别高的情况下，采用列选主元消去法已经能够满足在实际工程中的需要，由于全选主元在运算上不太占优势，所以很少使用来进行计算。在很多各个元之间的差距很小的情况下，采用普通的Gauss消去法也可以达到比较理想的结果。

通过这次数值分析实验，使我加深了对Gauss消去求解线性方程组的理解，掌握了利用各种方法进行Gauss消元解线性方程组，熟悉了matlab的有关函数。我相信，在我以后的科研生涯和工作中，Gauss消去法求解线性方程组会作为一种强有力的工具帮助我解决各种实际问题。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s401.html