高考理科数学三角函数复习专题复习

高考三角函数复习专题

一、核心知识点归纳 ★基本概念

?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角

?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．

??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???

终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???

3、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???

第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k?? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??6、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1?l． r?180?，1???57.3． ?180????7、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，

11则l?r?，C?2r?l，S?lr??r2．

228、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点

yxy，cos??，tan???x?0?． rrx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

10、三角函数线：sin????，cos????，tan????．

的距离是rr?x2?y2?0，则sin????yPTOMAx 1

★★常考重要公式

1、角三角函数的基本关系：

?1?sin2??cos2??1?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；

?2?sin??tan?cos?sin???sin??tan?cos?,cos????．

tan???2、函数的诱导公式：

?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

?5?sin????2??????cos?，

cos?????2?????sin?．

?6?sin????2??????cos?cos????2???????sin?． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．

3、两角和与差的三角函数【注意公式的正用（求值）与逆用（化简）】

sin(???)?sin?cos??cos?sin?、 sin?(???)s?inc?o?s?cos ?cos(???)?cos?cos??sin?sin?、 cos?(???)c?osc?o?s?sin ?tan(???)?tan??tan?1tan?tan?

4、二倍角公式： sin2??2sin?cos?、cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?tan2??2tan?1?tan2?5、重要变形公式：

1?sin2??1?2sin?cos??(sin??cos?)2，推广：

1?sin??(sin??cos?22)2

2

，

、

1?cos2??2cos2?、1?cos2??2sin2?（升幂）， cos2??1?cos2?1?cos2?sin2??22、（降幂），

推广：

1?cos??2cos2?2、

1?cos??2sin2?2，

tan(???)(1tan?tan?)?tan??tan?

basin??bcos??a2?b2sin(???),(tan??)a 6、辅助角公式：

★★★正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

函 数 性 质 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ????xx?k??,k???2?? 值域 ??1,1? 当x?2k????1,1? ?k???当x?2k??k???时， R ?2时，ymax?1； 最值 当x?2k??ymax?1； 当x?2k??? 既无最大值也无最小值 ?2 ?k???时，ymin??1． 周期性 奇偶性 ?k???时，ymin??1． 2? 偶函数 2? 奇函数 在?2k??? 奇函数 在?k??单调性 ???2,2k????2?? 在?2k???,2k???k???上是增函数；在3 ???2,k????? 2??k???上是增函数；在 ?k???上是增函数． ?3??? 2k??,2k????22???2k?,2k???? ?k???上是减函数． 对称中心 ?k???上是减函数． 对称中心?k?,0??k??? 对称中心 对称性 对称轴 x?k???2?k??? ???k??,0??k??? ?2??对称轴x?k??k??? ?k??,0??k??? ??2?无对称轴

★★★★函数y?Asin(?x??)的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如y?Asin(?x??)图像及性质） 1、函数y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)的周期都是T?2??

2、函数y?Atan(?x??)和y?Acot(?x??)的周期都是T?3、五点法作y?Asin(?x??)的简图，设t??x??，取0、求相应x的值以及对应的y值再描点作图。

? ??3?、?、、2?来224、关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记

每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

【函数的平移变换】： ①y?f(x)?y?f(x?a)(a?0) 将y?f(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）

②y?f(x)?y?f(x)?b(b?0) 将y?f(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）

【函数的伸缩变换】：

①y?f(x)?y?f(wx)(w?0) 将y?f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

1倍（w?1缩短， 0?w?1伸长） w ②y?f(x)?y?Af(x)(A?0) 将y?f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A?1伸长，0?A?1缩短）

4

【函数的对称变换】：

①y?f(x)?y?f(?x)) 将y?f(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于x轴对称）

②y?f(x)?y??f(x)将y?f(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于y轴对称）

③y?f(x)?y?f(x) 将y?f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕； y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）

④y?f(x)?y?f(x)保留y?f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）

★★★★★正、余弦定理

在?ABC中有: 1、正弦定理：

abc???2R（R为?ABC外接圆半径） sinAsinBsinCa?sinA??2R?a?2RsinA?b?? 注意变形应用 ?b?2RsinB ? ?sinB?2R?c?2RsinC??c?sinC??2R?2、面积公式：S?ABC?111abssinC?acsinB?bcsinA 222?b2?c2?a2

A??cos2222bc?a?b?c?2bccosA?

?2a2?c2?b2?223、余弦定理： ?b?a?c?2accosB ? ?cos B?

2ac??c2?a2?b2?2abcosC??a2?b2?c2

C??cos

2ab?

二、方法总结

★三角函数恒等变形的基本策略

1、注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。 2、角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝

???2－

???2等。

3、升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。

5

4、化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

5、引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝a2?b2sin(θ＋?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?＝

b确定。 a★★解答三角高考题的策略

1、发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 2、寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 3、合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三、例题集锦

考点一：三角函数辅助角运用

1．已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x. （1）若x?[?

考点二：三角函数的图象和性质

2.函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|???63,]，求f(x)的值域.

?)部分图象如图所示．（Ⅰ）求f(x)的最2?2小正周期及解析式；（Ⅱ）设g(x)?f(x)?cos2x，求函数g(x)在区间x?[0,]上的最大值和最小值．

y1??3o?1?6x 6

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换 3．已知函数f(x)?sin(2x??6)?cos2x.（1）若f(?)?1，求sin??cos?的值；（2）求

函数f(x)的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心

4.已知函数f(x)?2sin?xcos?x?2cos2?x （x?R，??0），相邻两条对称轴之间的距离等于

??．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）当

42???x??0，?时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．

?2?

5、已知函数f(x)?2sinx?sin(??x)?2sin2x?1 (x?R). 2 （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(

ππx02x?(?, )求cos2x0的值. )?044，23，

7

6、（本小题共13分）已知sin(A?πππ72，A?(,)． )?42410（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?

5sinAsinx的值域． 2考点六：解三角形

7．已知△ABC中，2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB. （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量m?(cosA, cos2A)，n?(?小值时，tan(A?

8．已知函数f(x)?12, 1)，求当m?n取最 5?4) 值.

3sin2x?sinxcosx?3?x?R?． 2（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x?(0,??24)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在?ABC中，若A?B，

f(A)?f(B)?

1BC，求的值．

AB29、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足求角A的大小；（Ⅱ）若a?25，求△ABC面积的最大值．

8

2c?bcosB?． （Ⅰ）acosA

10、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)?值

11、. 在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?且c?1.

(Ⅰ)求tanA；

(Ⅱ)求?ABC的面积.

xxx3sincos?cos2，当f(B)取最大

2223时，判断△ABC的形状． 211，tanC?，23in12在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4s（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sinA?sinB的最大值．

9

2A?Bc?os22C?7． 2

四、历年高考综合题

一、选择题：

1、（08全国一6）y?(sinx?cosx)2?1是（ ）

A、最小正周期为2π的偶函数 C、最小正周期为π的偶函数

B、最小正周期为2π的奇函数 D、最小正周期为π的奇函数

2、（08全国一9）为得到函数y?cos?x?（ ）

??π??的图象，只需将函数y?sinx的图像3?π个长度单位 65πC、向左平移个长度单位

6A、向左平移π个长度单位 65πD、向右平移个长度单位

6B、向右平移

3、(08全国二1)若sin??0且tan??0是，则?是（ ）

A、第一象限角

B、第二象限角 C、 第三象限角 D、 第四象限角

4、（08全国二10）．函数f(x)?sinx?cosx的最大值为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、2

5、（08安徽卷8）函数y?sin(2x?A、x???3)图像的对称轴方程可能是（ ）

C、x?

?6

B、x???12?6

D、x??12

6、（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移象，则g(x)的解析式为 ( )

?个单位后，得到函数y=g(x)的图2A、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx

7、（08广东卷5）已知函数f(x)?(1?cos2x)sinx,x?R，则f(x)是（ ）

2?的奇函数 2?C、最小正周期为?的偶函数 D、最小正周期为的偶函数

2A、最小正周期为?的奇函数 B、最小正周期为

8、（08海南卷11）函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分别为（ ）

A、 －3，1

B、－2，2

C、－3，

3 2 D、－2，

3 2 10

9、（08湖北卷7）将函数y?sin(x??)的图象F向右平移

?个单位长度得到图象F′，若3F′的一条对称轴是直线x? A、

?1,则?的一个可能取值是（ ）

551111? B、?? C、? D、??

12121212sinx10、（08江西卷6）函数f(x)?是（ ）

xsinx?2sin2A、以4?为周期的偶函数 B、以2?为周期的奇函数 C、以2?为周期的偶函数 D、以4?为周期的奇函数

11、若动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交于M，N两点，则

MN的最大值为 （ ）

A、1 B、2 12、（08山东卷10）已知cos???C、3 D、2

??π?47π??，则 sin???sin??3??的值是（ ）?66?5??23 5

C、?A、?23 5B、44 D、 5513、08陕西卷1）sin330?等于（ ）

A、?3 2 B、?11 C、 222 D．3 214、（08四川卷4）?tanx?cotx?cosx? ( )

Ａ、tanx Ｂ、sinx Ｃ、cosx Ｄ、cotx 15、（08天津卷6）把函数y?sinx(x?R)的图象上所有的点向左平行移动长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的示的函数是（ ） A、y?sin?2x??个单位31倍（纵坐标不变），得到的图象所表2???????，x?R 3????，x?R 3? B、y?sin??x????，x?R 26??????，x?R 3?C、y?sin?2x? D、y?sin?2x???16、（08天津卷9）设a?sinA、a?b?c

5?2?2?，b?cos，c?tan，则（ ） 777B、a?c?b C、b?c?a D、b?a?c

11

17、（08浙江卷2）函数y?(sinx?cosx)2?1的最小正周期是（ ）

?3? B、? C、 D、2? 22x3?)(x?[0，2?])的图18、（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数y?cos(?221

象和直线y?的交点个数是（ ）

2

A、

A、0 B、1 C、2 D、4 二、填空题

19、（08北京卷9）若角?的终边经过点P(1，?2)，则tan2?的值为 ． 20、（08江苏卷1）f?x??cos??x?????6??的最小正周期为

?，其中??0，则5?= ．

2sin2x?1???21、（08辽宁卷16）设x??0，?，则函数y?的最小值为 ．

sin2x2??22、（08浙江卷12）若sin(?3??)?，则cos2??_________。 25?

23、（08上海卷6）函数f(x)＝3sin x +sin(+x)的最大值是

2三、解答题

24、（08四川卷17）求函数y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx的最大值与最小值。

25、（08北京卷15）已知函数f(x)?sin2?x?3sin?xsin??x?24??π??（??0）的2?最小正周期为π；（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．

3

12

?2π???

26、（08天津卷17）已知函数f(x)?2cos2?x?2sin?xcos?x?1（x?R,??0）的最小值正周期是

?；（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得2最大值的x的集合．

27、 （08安徽卷17）已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?)， 344,]122??（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?上的值域

28、（08陕西卷17）已知函数f(x)?2sin??xxxcos?23sin2?3． 444（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)?f?x?的奇偶性，并说明理由．

??π??，判断函数g(x)3?

13

例题集锦答案：

1.如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是 单位圆上的两点，O是坐标原点，?AOP?（1）若Q(,)，求cos???★★单位圆中的三角函数定义

?6，?AOQ??,???0,??．

3455????（2）设函数f????OP?OQ，求f???的值域． ?的值；

6?34解：（Ⅰ）由已知可得cos??,sin???????2分

55 ?cos???YQPXOA??????cos?cos?sin?sin???3分 6?66??

3341???5252????4分

33?4?10?（Ⅱ）f

????OP?OQ ???cos??6,sin?????cos?,sin?????6分

6? ?31cos??sin???????7分 22?? ?sin????????????8分 3? ???[0,?) ?????4??[,)???9分 3333????sin?????1????12分 23??

?3??f???的值域是???2,1?????????????13分

??2．已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x.（Ⅰ）若点P(1,?3) 在角?的终边上，求f(?)的值； （Ⅱ）若x?[?★★三角函数一般定义

解：（Ⅰ）因为点P(1,?3)在角?的终边上，

14

??63,]，求f(x)的值域.

所以sin???13，cos??， ??????2分

22所以f(?)?3sin2??2sin2??23sin?cos??2sin2? ??????4分

?23?(?313)??2?(?)2??3. ??????5分 222（Ⅱ）f(x)?3sin2x?2sin2x?3sin2x?cos2x?1 ??????6分

?2sin(2x?)?1， ??????8分 6????5?因为x?[?,]，所以??2x??， ??????10分

636661?所以??sin(2x?)?1， ??????11分

26所以f(x)的值域是[?2,1]. ??????13分 3.函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?)部分图象如图所示．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g(x)?f(x)?cos2x，求函数g(x)在区间x?[0,]上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由图可得A?1，

y1??2?2T2??????， 2362??3o?1所以T??． ??2分 所以??2． 当x??6x??时，f(x)?1，可得 sin(2???)?1， 66??

，所以??． ??5分 26

?)． ???6分 6因为|?|?所以f(x)的解析式为f(x)?sin(2x?（Ⅱ）g(x)?f(x)?cos2x?sin(2x??6)?cos2x?sin2xcos???cos2xsin?cos2x 66??31sin2x?cos2x ?sin(2x?)． ??10分

622???5?，所以??2x??． 2666因为0?x?当2x?????，即x?时，g(x)有最大值，最大值为1；

36215

当2x???1??，即x?0时，g(x)有最小值，最小值为?．??13分 662T2?1?相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；|?|? ；???ymax?ymin? ;φ----代点法 2T24已知函数f(x)?sin(2x??6)?cos2x.（1）若f(?)?1，求sin??cos?的值；（2）求函

数f(x)的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）f(x)?sin2xcos?6?cos2xsin?6?1?cos2x ...3分（只写对一个公式给2分） 2 ?31sin2x? ....5分 223 ......7分 3 由f(?)?1，可得sin2??所以sin??cos??13sin2? ......8分 ? .......9分 26（2）当??2?2k??2x??2?2k?,k?Z，换元法 ..11

即x?[??4?k?,?4?k?],k?Z时，f(x)单调递增.

所以，函数f(x)的单调增区间是[??4?k?,?4?k?],k?Z ... 13分

5.已知函数f(x)?2sin?xcos?x?2cos2?x （x?R，??0），相邻两条对称轴之间的距离等于

??．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）当

42???x??0，?时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．

?2?解：（Ⅰ）f(x)?sin2?x?cos2?x?1?因为

?2sin(2?x?)?1． ?意义 ??4分

4T??，所以 T??，??1． ??6分 22??所以 f(x)?2sin(2x?)?1．所以 f()?0 ???7分

44?（Ⅱ）f(x)?2sin(2x?)?1

4当 x??0,所以 当2x?

????3?????2x??时， ， 无范围讨论扣分 4442???????，即x?时，f(x)max?2?1， ?10分

84216

????，即x?0时，f(x)min??2． ???13分 44?26、已知函数f(x)?2sinx?sin(?x)?2sinx?1 (x?R).

2当2x? （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(ππx02x?(?, )，求cos2x0的值. )?0，4423解: f(x)?2sinx?cosx?2sin2x?1 ??????????????1分 ?sin2x?cos2x ??????????????2分

π?2sin(2x?). 和差角公式逆用 ??????3分 4（Ⅰ）函数f(x)的最小正周期T?2π?π. ??????????????5分 2πππ令2kπ?≤2x?≤2kπ?(k?Z)， ??????????????6分

2423ππ3ππ≤x≤kπ?. ≤2x≤2kπ?. 即kπ?所以2kπ?88443ππ, kπ?] (k?Z). ?????8分 所以，函数f(x)的单调递增区间为[kπ?88（Ⅱ）解法一：由已知得f(两边平方，得1?sin2x0?因为x0?(?x02???????9分 )?sinx0?cosx0?23， 27 同角关系式 所以 sin2x0??????11分 99ππ?π, )，所以2x0?(?, ). 4422所以cos2x0?1?(?)?79242. ??????????????13分 9解法二：因为x0?(?ππππ, )，所以x0??(0, ). ??????????9分 4442又因为f(x0xππ2)?2sin(2?0?)?2sin(x0?)?22443，

π1)?. ??????????????10分 43得 sin(x0?所以cos(x0?)?1?()?π413222. ??????????????11分 3 17

所以，cos2x0?sin(2x0??πππ)?sin[2(x0?)]?2sin(x0?)cos(x0?) 2444 ?2??12242. 诱导公式的运用 ?339πππ72，A?(,)． )?424107、（本小题共13分）已知sin(A?（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?5sinAsinx的值域． 2解：（Ⅰ）因为

πππ72?A?，且sin(A?)?， 42410ππ3ππ2?A??，cos(A?)??． 244410所以角的变换因为cosA?cos[(A?)?]?cos(A?)cosπ4π4π4πππ?sin(A?)sin 444 ??3227223????． 所以cosA?． ???6分

510210254． 5 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA? 所以f(x)?cos2x?5sinAsinx此结构转化为二次函数值域问题 213?1?2sin2x?2sinx??2(sinx?)2?，x?R．

22 因为sinx?[?1,1]，所以，当sinx?13时，f(x)取最大值；

22 当sinx??1时，f(x)取最小值?3．

所以函数f(x)的值域为[?3,]．

32

8．已知△ABC中，2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB. （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量m?(cosA, cos2A)，n?(?小值时，tan(A?12, 1)，求当m?n取最 5?4) 值.

解：（Ⅰ）因为2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB， 和差角公式逆用

所以2sinAcosB?sin(B?C)?sin(??A)?sinA. ??? 3分 因为0

18

1. ??? 5分 2因为0

12cosA?cos2A， ??????? 8分 51232432所以m?n??cosA?2cosA?1?2(cosA?)?. ?10分

55253所以当cosA?时，m?n取得最小值.

5此时sinA?44（0

tanA?179．已知函数f(x)?3sin2x?sinxcosx?3?x?R?． 2（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x?(0,??24)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在?ABC中，若A?B，

f(A)?f(B)?1BC，求的值．

AB2解：（Ⅰ）f()??43sin2?4?sin?4cos?4?31?． 4分 22 （Ⅱ）f(x)?3(1?cos2x)13 ?sin2x?222 ??13sin2x?cos2x ?sin(2x?)． ?6分

322?0?x??2， ???3?2x??3?2?． 3?当2x??3??2时，即x?5?时，f(x)的最大值为1．?8分 12（Ⅲ）?f(x)?sin(2x??)， 3??5??2x??． 333若x是三角形的内角，则0?x??，∴?令f(x)?1，得 2?1???5?sin(2x?)?? 2x??或2x??，此处两解

323636解得x??7?或x?． ??10分

124 19

由已知，A,B是△ABC的内角，A?B且f(A)?f(B)?∴A?1， 2?7?，B?， 412?∴C???A?B?． ?11分

6?2sinBCsinA4?2?2． ??13分 又由正弦定理，得??1ABsinCsin?6210、（本小题共13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a?25，求△ABC面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为

2c?bcosB?． acosA2c?bcosB?， acosA 所以(2c?b)?cosA?a?cosB

由正弦定理，得(2sinC?sinB)?cosA?sinA?cosB．边化角 整理得2sinC?cosA?sinB?cosA?sinA?cosB． 所以2sinC?cosA?sin(A?B)?sinC． 在△ABC中，sinC?0． 所以cosA?1?，?A?． 23b2?c2?a21?，a?25． （Ⅱ）由余弦定理cosA?2bc2 所以b?c?20?bc?2bc?20 均值定理在三角中的应用 所以bc?20，当且仅当b?c时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积S?221bcsinA?53． 2 所以三角形面积的最大值为53． ????????13分 11、. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)?值

xxx3sincos?cos2，当f(B)取最大

2223时，判断△ABC的形状． 21．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ??3分 220

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA

可得cosA=

∵ 0

222222?1?sin(x?)?， ??9分

62∵A??2???5?) ∴?B?? ∴B?(0, （没讨论，扣1分）?10分

33666???3?，即B?时，f(B)有最大值是． ?11分

2623??又∵A?， ∴C? ∴△ABC为等边三角形． ??13分

33∴当B?12、. （本小题共13分）

在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA； 解：（I）因为tanB?(Ⅱ)求?ABC的面积.

11tanC?，，且c?1. 2311tanB?tanC，tanC?,tan(B?C)?, ???????1分

1?tanBtanC2311?23?1 . ???????3分 代入得到，tan(B?C)?111??23因为A?180?B?C , ???????4分

所以tanA?tan(180?(B?C))??tan(B?C)??1. 角关系 ???5分 （II）因为0?A?180，由（I）结论可得：A?135 . ???????7分 因为tanB?11?tanC??0，所以0?C?B?90 . ????8分 23所以sinB?510,sinC?. ????9分

105由

ac?得a?5， ???????11分 sinAsinC11acsinB?. ??????13分 22所以?ABC的面积为：13、．

in在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4s

21

2A?Bco?s22C?7． 2（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值．

解：（Ⅰ）∵ A、B、C为三角形的内角， ∴ A?B?C??．

∵

4sin2A?B7?cos2C?22， 三角形中角的大小关系 ?C7?cos2C?． ????2分 22∴ 4cos∴ 4?21?cosC71?(2cos2C?1)?．即 2cos2C?2cosC??0． ??4分

2221?∴ cosC?． 又∵ 0?C?? ， ∴ C?． ?7分

32（Ⅱ）由（Ⅰ）得 A?B?2?2??A) 角度变换 ．∴ sinA?sinB?sinA?sin(33?sinA?sin∵ 0?A?∴ 当A?2?2?33??cosA?cos?sinA?sinA?cosA?3sin(A?)．?10分 332262???5??A??，∴ ．

3666??6?2，即 A??3时，sinA?sinB取得最大值为3．????13分

22

参考答案：

一、选择题：

1—10：D 、C、C、B、B、A、D 、C、 9、A 、A；

11—20: 11、C、13、B 、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C； 二、填空题：

19、

47 20、10 21、3 22、? 23、2。 325三、解答题：

24、解：y?7?4sinxcosx?4cos2x?4cos4x

?7?2sin2x?4cos2x?1?cos2x?

?7?2sin2x?4cos2xsin2x

?7?2sin2x?sin22x ??1?sin2x??6

由于函数z??u?1??6在??11，?中的最大值为： zmax???1?1??6?10

222最小值为：zmin??1?1??6?6

故当sin2x??1时y取得最大值10，当sin2x?1时y取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25、解：（Ⅰ）f(x)?21?cos2?x3311?sin2?x?sin2?x?cos2?x?

22222π?1??sin?2?x???．

6?2?因为函数f(x)的最小正周期为π，且??0， 所以

2π?π，解得??1． 2?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin?2x???π?1??． 6?2因为0≤x≤2πππ7π1π??， 所以?≤2x?≤， 所以?≤sin?2x??≤1， 366626??23

因此0≤sin?2x?26、解：（Ⅰ）

??π?13?3?，即的取值范围为f(x)0，?． ?≤??6?22?2?f?x??2?1?cos2?x?sin2?x?12?sin2?x?cos2?x?2??? ??2?sin2?xcos?cos2?xsin??244??????2sin?2?x???24??由题设，函数f?x?的最小正周期是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f?x???2???，所以??2． ，可得

22?2???2sin?4x???2．

4???16?k????k?Z?时，sin??4x??取得最大值1，所以函数24??当4x??4??2?2k?，即x??k???f?x?的最大值是2?2，此时x的集合为?x|x??,k?Z?

162??

27、解：（1）

f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

344??? ?13cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) 2213cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 2213cos2x?sin2x?cos2x 22 ? ? ?sin(2x?（2）

?6) ∴周期T?2??? 2x?[???5?,],?2x??[?,] 122636?6)在区间[?,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，

32123??因为f(x)?sin(2x?所以当x?

?????3

时，f(x)取最大值 1；

又

f(??12)??3?1?f()?， 22224

∴当x??3,1] 2?12时，f(x)取最小值???3所以 函数 f(x)在区间[?,]上的值域为

1222；

[?28、解：（Ⅰ）

f(x)?sinxx?xπ??3cos?2sin???． 22?23??f(x)的最小正周期T?2π?4π． 12当sin??xπ??xπ? ????1时，f(x)取得最小值?2；当sin????1时，f(x)取得最大值2．

?23??23?π??xπ????．又g(x)?f?x??．

3??23??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin?x?1?π?π??xπ??g(x)?2sin??x?????2sin????2cos．

23?3??22??2?x?x?g(?x)?2cos????2cos?g(x)．

2?2??函数g(x)是偶函数．

25

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