2010届高三数学专题复习教案--三角函数

2010届高三数学专题复习教案--三角函数

2010届高三数学专题复习教案――三角函数

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·360+α的形式，特例，

000

终边在x轴上的角集合{α|α=k·180，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·180+90，k∈

Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·90，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 180，1

180

弧度，1弧度 (

180

) 57 18'

⑵弧长公式：l R；扇形面积公式：S

121

R Rl。 22

2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的

关系式、诱导公式：

（1）三角函数定义：角 中边上任意一点P为(x,y)，设|OP| r则：

sin

yxy,cos ,tan rrx

（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；

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22

（3）同角三角函数的基本关系：sinx cosx 1;

tanx cosx

（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）: ．．．．．．．．．．．

sin( )＝sinα,cos( )＝－cosα,tan( )＝－tanα sin( )＝－sinα,cos( )＝－cosα,tan( )＝tanα sin( )＝－sinα,cos( )＝cosα,tan( )＝－tanα

sin(2 )＝－sinα,cos(2 )＝cosα,tan(2 )＝－tanα

sin(2k )＝sinα,cos(2k )＝cosα,tan(2k )＝tanα，(k Z) sin(sin(

2

)＝cosα,cos(

2

)＝sinα

2

)＝cosα,cos(

2

)＝-sinα

3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式

①sin( ) sin cos cos sin ;

) ②cos(

) cos cos sin sin ;③tan(

（2）二倍角公式

二倍角公式：①sin2 2sin cos ；

tan tan

1 tan tan

2222

②cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ；③tan2

2tan

2

1 tan

（3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式：sin

2

1 cos2 1 cos2 12

、cos 、sin cos sin2 ； 222

②辅助角公式：asin bcos )（ 由a,b具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan( )(1 tan tan ).

4、三角函数的图象与性质

（一）列表综合三个三角函数y sinx，y cosx，y tanx的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求y Asin( x )的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况； ．．．．．．．．．．．．．

⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

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y sinx的对称轴是x k

2

(k Z)，对称中心是(k ,0)(k Z)；

y cosx的对称轴是x k (k Z)，对称中心是(k

2

,0)(k Z)

y tanx的对称中心是(

k

,0)(k Z) 2

注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意 0.

（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y Asin( x )的简图，并能由图象写出解析式．

⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式y Asin( x )时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式x1 （三）正弦型函数y Asin( x )的图象变换方法如下： 先平移后伸缩

向左( >0)或向右( 0) y sinx的图象平移个单位长度

.

得y sin(x )的图象 1

到原来的(纵坐标不变)

横坐标伸长(0< <1)或缩短( >1)

得y sin( x )的图象 为原来的A倍(横坐标不变)

纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A<1)

得y Asin( x )的图象平移k个单位长度

得y Asin(x ) k的图象． 先伸缩后平移

纵坐标伸长(A 1)或缩短(0 A 1)

向上(k 0)或向下(k 0)

y sinx的图象 为原来的A倍(横坐标不变)

横坐标伸长(0 1)或缩短( 1)

得y Asinx的图象1

(纵坐标不变)

向左( 0)或向右( 0) 得y Asin( x)的图象

平移

个单位

得y Asin( x ) k的图象． 得y Asinx( x )的图象平移k个单位长度

5、解三角形

Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理

向上(k 0)或向下(k 0)

abc

2R（2R是 ABC外接圆直径） sinAsinBsinC

注：①a:b:c sinA:sinB:sinC；②a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC；③

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abca b c

。 sinAsinBsinCsinA sinB sinC

b2 c2 a2

⑵余弦定理：a b c 2bccosA等三个；注：cosA 等三个。

2bc

2

2

2

Ⅱ。几个公式:

⑴三角形面积公式：

S ABC

11

ah absinC 22

p(p a)(p b)(p c),(p

1

(a b c))； 2

⑵内切圆半径r=2S ABC；外接圆直径2R=

sina b c

a

bc

;

AsinBsinC

⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，A B sinA sinB Ⅲ．已知a,b,A时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A为锐角时： ①a<h时，无解；

②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；④a b时，一解（一锐角）。 ⑵A为直角或钝角时：①a b时，无解；②a>b时，一解（锐角）。

三、考点剖析

考点一：三角函数的概念

【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。

【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。

例1、若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为 . 解： tan

22tan 4

2, tan2 . 11 tan2 3

点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。

考点二：同角三角函数的关系

【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意sin cos

1，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用

2

2

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同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。

【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。

例２、

若cos 2sin 则tan =( ) （A）

11

（B）2 （C） （D） 2 22

解

：由cos 2sin

cos 2sin ， 又由sin cos 1，可得：sin

＋（2sin ）2＝1 可得sin ＝－所以，tan ＝

2

2

2

2

5

，cos 2sin ＝－， 55sin

＝2。 cos

2

2

点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：sin cos 1，与它联系成方程组，解方程组来求解。

例3、 是第四象限角，tan A．

1 5

B．

1 5

C．

5 13

5

，则sin （ ） 12

5D．

13

5 sin 5

解：由tan ，所以，有 cos ， 是第四象限角， 12

12 sin2 cos2 1

解得：sin

5 13

sin

，同样要能想到cos

点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：tan 隐含条件：sin cos 1。

2

2

考点三： 诱导公式

【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、“偶”是

+α的整数k来讲的，象限指k +α中，将α看作锐角时，k +α所在象2223

限，如将cos(+α)写成cos（3 +α），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，

22

3 3 3 又+α看作第四象限角，cos(+α)为“+”，所以有cos(+α)=sinα。

222

对诱导公式中k

【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也

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有些大题用到诱导公式。

等于（0例4、 sin33 ） A

．

B．

1 2

C．

1 2

D

1 2

解：sin330 sin(360 30 )＝ sin30

点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。 答案：

例5、若sin(

3

) ,则cos2 25 333272

解：由sin( ) 可知，cos ；而cos2 2cos 1 2 () 1 。

255525

725

点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。

考点四：三角函数的图象和性质

【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-

，）的性质，如单调性、最22

大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数y Asin( x )，x R的图象，并理解它的性质：

（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期； （２）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；

1

个周期。 4

注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。

【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。

（３）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的

5 2 2 ，b cos，c tan，则（ ） 777

A．a b c B．a c b C．b c a D．b a c

2 2 2 2 2

，所以0 cos sin 1 tan解：a sin，因为 ，选D．

7472777

例6、设a sin

点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，

］，［， ］的大小的比较，画出它们的图象，442

从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。

例7、函数y lncosx

π π

x 的图象是（ ）

2 2

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x

D．

x

A．

解： y lncosx( 应选A.

B． C．

2

x

2

)是偶函数，可排除B、D，由cosx的值域可以确定.因此本题

点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。

例8、把函数y sinx(x R)的图象上所有的点向左平行移动上所有点的横坐标缩短到原来的

个单位长度，再把所得图象3

1

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） 2

B．y sin

A．y sin 2x

，x R 3

，x R 3

x

，x R 26

，x R 3

C．y sin 2x

解： y=sinx

D．y sin 2x

向左平移个单位

3

y sin(x 3

1

横坐标缩短到原来的倍

2

y sin(2x ，故选

3

（C）。

点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。

例9、在同一平面直角坐标系中，函数y cos(

1x3

)(x [0，2 ])的图象和直线y 的

222

交点个数是( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 解：原函数可化为：

x3 x )(x [0，2 ])=sin,x [0,2 ].作出原函数图像， 222

1

截取x [0,2 ]部分，其与直线y 的交点个数是2个.

2 y cos(

点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。

考点五：三角恒等变换

【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作

用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、

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正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。

【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。

例10、已知函数f(x) 3sin2x sinxcosx

（I）求函数f(x)的最小正周期； （II）求函数f(x)在x 0,解：f(x) 3sin2x sinxcosx

的值域. 2

1 cos2x1

sin2x 22

2 133 3

sin(2x ) （I）T sin2x cos2x

222232

（II）∴0 x

2

∴

3

2x

3

4

∴ sin(2x ) 1 323

2

所以f(x)的值域为： 3,

2

点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

xx33

sin)，且x∈[0，]． 例11、已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝( cos，22222

（1）求a b

（2）设函数f(x) a b+a b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。

解：（错误！未找到引用源。）由已知条件： 0 x

2

， 得：

3xx3xx

a b (cos cos,sin sin)

2222

sx 2sinx 2 2 2co2

3xx3xx

cos sinsin 2sinx cos2x 2222

13 2

x 1 2(sinx )2 ，因为：0 x ，所以：0 sinx 1 2sinx 2sin

222

13

所以，只有当： x 时， fmax(x) ，x 0 ，或x 1时，fmin(x) 1

22

（2）f(x) 2sinx cos

点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知

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识。

例12

、已知函数f(x) sin x xsin( x （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，

2

2

)( 0)的最小正周期为π.

2

]上的取值范围. 31 cos2 x解：

（Ⅰ）f(x) 2 x

211= x cos2 x 222

1

=sin(2 x ) .

62

2

2

因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以 解得ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x) sin(2x 因为0≤x≤所以

1) . 62

2 ， 3

7 1

. ≤2x ≤

662

1

所以 ≤(2x )≤1.

62

3 13

因此0≤sin(2x ) ≤，即f(x)的取值范围为[0，]

2622

点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。

考点六：解三角形

【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦

定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。

解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。

【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。

例13、在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且tanA

13,cosB 210

（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b。 解：（1

） cosB

0, B锐角, 10

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且sinB

sinB1 , , tanB

cosB310

11

tanA tanB 1 tanC tan (A B) tan(A B)

1 tanA tanB1 23

(2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1,

tanC 1, C 135 , sinC

, 21 。

由正弦定理:

csinBbc

得b sinBsinCsinC

点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。

例14、如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC

于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。

解：（Ⅰ）因为∠BCD 90 60 150，CB AC CD，

所以∠CBE 15．

所以cos∠CBE cos(45 30) （Ⅱ）在△ABE中，AB 2，

AE2由正弦定理

sin(45 15)

． 4

．

sin(90 15)

2sin30

故AE

cos15

2

1 点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45度，30度，60度，推导15度，75度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。

例15、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距

B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+ (其中sin

，0 90 )且与点A相距

C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解: （I）如图，AB

BAC ,sin

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由于0 90,所以cos

由余弦定理得

/小时）. 3

（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D.

AB=40, x2=ACcos CAD )

30,

由题设有，x1=y1=

y2=ACsin CAD ) 20.

20

2,直线l的方程为y=2x-40. 10

7. 又点E（0，

-55）到直线l的距离d

所以过点B、C的直线l的斜率k=

所以船会进入警戒水域.

点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。

四、方法总结与2010年高考预测

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝

2

－

2

等。

（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝a2 b2sin(θ＋ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan ＝2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

b

确定。 a

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（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 5．高考考点分析

近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。

五、复习建议

1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。 2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。

3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7wr1.html