江苏省南通市如皋市2017届中考数学一模试卷(含解析)

2017年江苏省南通市如皋市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ） A．支出20元

B．收入20元

C．支出80元

D．收入80元

2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×10 B．4.4×10 C．4.4×10 D．4.4×10

3．把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）

8

9

8

10

A． B． C． D．

4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）

A．B．

C． D．

5．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（ ）

A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数

6．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ） A．11 B．12 C．13 D．14

7．如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON等于（ ）

1

A．11 B．9 C．7 D．5

8．如图?ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD且交BC于点E，则线段EC的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（ ） A．3

B．﹣3 C．13 D．﹣13

10．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣2），B（0，2），C（a，﹣a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（ ） A．﹣1 B．0

二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．函数y=

中，自变量x的取值范围是 ． C．1

D．

12．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=40°，则∠2= 度．

13．分解因式：4ax2﹣ay2= ．

14．若x+4x﹣4=0，则2x+8x+7的值等于 ．

15．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 海里．

2

2

2

16．将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面画圆的半径为 cm．

17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ．

18．如图，动点A在曲线y=（x＞0）上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点M，N，当NE：DM=1：2时，图中的阴影部分的面积等于 ．

三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算： （1）（﹣2）2﹣（2）

﹣

+（﹣3）0﹣（）﹣2 ÷

．

3

20．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．

21．（8分）某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加了其中一个社闭的活动，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果绘制了如图不完整的统计图，请根据统计图完成

下列问题．

（1）参加本次调查有 名学生；请你补全条形图； （2）在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为 度； （3）根据调查数据分析，全校共有 名学生参加了合唱社团．

22．（8分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数． （1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；

（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．

23．（8分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F．

（1）求证：△AEF≌△DEC；

（2）连接BF，若AF=DB，AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

24．（8分）一项工程，甲乙两公司合作，12天可以完成，如果甲乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，求甲乙两公司单独完成这项工程，各需多少天？

4

25．（10分）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且（1）求∠E的度数；

（2）若⊙O的直径为5，sinP=，求AE的长．

=

，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC．

26．（10分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究． 解读信息：

（1）甲，乙两地之间的距离为 km；

（2）线段AB的解析式为 ；线段OC的解析式为 ； 问题解决：

（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画

出函数图象．

27．（13分）若抛物线L：y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l具有“”一带一路关系，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”．

（1）求“带线”L：y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的“路线”l的解析式；

（2）若某“带线”L：y=x2+bx+c的顶点在二次函数y=x2+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4．

5

2

①求此“带线”L的解析式；

②设“带线”L与“路线”l的另一个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标．

28．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t（s）表示运动的时间（0≤t≤5）．

（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．

（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值． （3）直接写出PQ中点移动的路径长度．

6

2017年江苏省南通市如皋市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ） A．支出20元

B．收入20元

C．支出80元

D．收入80元

【考点】11：正数和负数．

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：根据题意，收入100元记作+100元， 则﹣80表示支出80元． 故选：C．

【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×10 B．4.4×10 C．4.4×10 D．4.4×10 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4 400 000 000=4.4×10， 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）

7

9

n

8

9

8

10

A． B． C． D．

【考点】U5：平行投影．

【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．

【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形． 故选A．

【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．

4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）

A． B． C． D．

【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．

【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D， D选项图形满足题意， 故选D．

【点评】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．

5．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（ ）

A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【考点】WA：统计量的选择．

【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明

8

这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差；

【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好． 故选：A．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

6．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】本题考查多边形的内角和定理．关键是记住内角和的公式，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．可用不等式确定范围后求解． 【解答】解：（n﹣2）?180°＜1999° n＜

+2=

+2

∵n为正整数 ∴n的最大值是13． 故答案为C．

【点评】此题比较新颖，考查了不等式的应用以及凸多边形的边数为正整数这个隐含条件．

7．如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON等于（ ）

A．11 B．9 C．7 D．5

【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．

【分析】根据垂径定理得出AN=BN=AB，利用勾股定理得出ON即可． 【解答】解：∵ON⊥AB，

9

∴AN=BN=AB， ∵AB=24， ∴AN=BN=12，

在Rt△OAN中，ON+AN=OA， ∴ON=故选D．

【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

8．如图?ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD且交BC于点E，则线段EC的长为（ ）

=

=5，

2

2

2

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】L5：平行四边形的性质．

【分析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．

【解答】解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE=∠EAD，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3，

∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2． 故选B．

【点评】本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．

9．如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣

10

5=0，那么a的值为（ ） A．3

B．﹣3 C．13 D．﹣13

【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．

【分析】利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x+4x+a=0的两个不相等实数根， ∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，

∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3； 故选：B．

【点评】本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

10．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣2），B（0，2），C（a，﹣a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（ ） A．﹣1 B．0

C．1

D．

2

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质．

【分析】作B关于直线y=﹣x的对称点B′，连接B′A交直线y=﹣x于C，则△ABC的周长最小，求得直线AB′的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论． 【解答】解：作B关于直线y=﹣x的对称点B′， 连接B′A交直线y=﹣x于C， 则△ABC的周长最小， ∵B（0，2）， ∴B′（﹣2，0），

设直线AB′的解析式为y=kx+b， ∴

，

∴，

11

∴直线AB′的解析式为y=﹣x﹣，

解得，

∴C（1，﹣1）， ∴a=1． 故选C．

【点评】本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，利用轴对称的性质分别求出A′、B′两点的坐标是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．函数y=

中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．

【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件．

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．

【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0， 解得：x≠2． 故答案为：x≠2．

【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．

12．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=40°，则∠2= 50 度．

12

【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．

【分析】先根据直线l1∥l2，即可得到∠1=∠CAD=40°，再根据CD⊥AB于点D，进而得出∠2=90°﹣40°=50°． 【解答】解：∵直线l1∥l2， ∴∠1=∠CAD=40°， 又∵CD⊥AB于点D， ∴∠2=90°﹣40°=50°， 故答案为：50．

【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．

13．分解因式：4ax﹣ay= a（2x+y）（2x﹣y） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式=a（4x﹣y） =a（2x+y）（2x﹣y），

故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．若x+4x﹣4=0，则2x+8x+7的值等于 15 ． 【考点】33：代数式求值．

【分析】首先根据已知得出x+4x=4，再将所求式子恒等变形代入可得结果． 【解答】解：∵x2+4x﹣4=0， ∴x2+4x=4，

∴2x2+8x+7=2（x2+4x）+7=2×4+7=15，

2

2

22

2

2

2

13

故答案为：15．

【点评】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入法是解答此题的关键．

15．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 2

海里．

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【分析】作PC⊥AB于点C，首先在直角三角形APC中求得PC，然后在直角三角形中求得PB的长，最后除以时间即可得到乙货轮航行的速度． 【解答】解：作PC⊥AB于点C，

∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发， ∴∠PAC=30°，AP=4×2=8， ∴PC=AP×sin30°=8×=4． ∵乙货船从B港沿西北方向出发， ∴∠PBC=45°， ∴PB=PC÷

=4

，

÷2=2

海里/小时，

∴乙货船每小时航行4故答案为2

．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．

14

16．将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面画圆的半径为 1 cm．

【考点】MP：圆锥的计算；MO：扇形面积的计算．

【分析】先利用扇形的面积公式计算出扇形的半径为4，再设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到?2πr?4=4π，然后解此方程即可． 【解答】解：设扇形的半径为R，则

=4π，

解得R=4，

设圆锥的底面半径为r， 根据题意得?2πr?4=4π， 解得r=1，

即圆锥的底面半径为1． 故答案为：1．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG+FH= 36 ．

2

2

【考点】LA：菱形的判定与性质；KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理．

【分析】连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，

15

241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432．?（5分）

（2）这个游戏不公平．

∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，

∴甲胜的概率为而乙胜的概率为∴这个游戏不公平．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

23．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F．

（1）求证：△AEF≌△DEC；

（2）连接BF，若AF=DB，AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

， ，

【考点】KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据AAS即可证明；

（2）首先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明∠ADB=90°即可； 【解答】（1）∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCB． ∵∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）四边形AFBD是矩形． 证明如下：连接BF． ∵AF∥BC，AF=BD，

21

∴四边形AFBD是平行四边形． ∵△AEF≌△DEC， ∴AF=DC． ∵AF=BD，

∴BD=DC，即D是BC的中点． ∵AB=AC，

∴AD⊥BC． ∴∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24．一项工程，甲乙两公司合作，12天可以完成，如果甲乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，求甲乙两公司单独完成这项工程，各需多少天？ 【考点】B7：分式方程的应用．

【分析】设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据甲乙两公司合作，12天可以完成，列方程求解．

【解答】解：设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天， 根据题意，得+解之得，x=20，

经检验，x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30． 答：甲、乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

=

，

22

25．（10分）（2017?如皋市一模）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且接AC．

（1）求∠E的度数；

（2）若⊙O的直径为5，sinP=，求AE的长．

=

，弦AD的延长线交切线PC于点E，连

【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根据平行线的性质得到∠E=∠OCP．根据切线的性质即可得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）连接OC． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA． ∵BC=CD， ∴∠OAC=∠CAD． ∴∠OCA=∠CAD， ∴OC∥AE． ∴∠E=∠OCP．

∵PE是的切线，C为切点， ∴∠OCP=90°． ∴∠E=90°；

（2）在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P=∴OP=

，

=，

23

在Rt△APE中，AP=∴AE=4．

+2.5=，sin∠P==，

【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

26．（10分）（2012?随州）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究． 解读信息：

（1）甲，乙两地之间的距离为 450 km；

（2）线段AB的解析式为 y1=450﹣150x（0≤x≤3） ；线段OC的解析式为 y2=75x （0≤x≤6） ； 问题解决：

（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画

出函数图象．

【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）利用A点坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离；

（2）利用A点坐标为（0，450），B点坐标为（3，0），代入y1=kx+b求出即可，利用线段OC解析式为y2=ax 求出a即可；

（3）利用（2）中所求得出，y=|y1﹣y2|进而求出函数解析式，得出图象即可．

24

【解答】解：（1）根据左图可以得出：甲、乙两地之间的距离为450km； 故答案为：450km；

（2）问题解决：线段AB的解析式为：y1=kx+b，根据A点坐标为（0，450），B点坐标为（3，0）， 得出：解得：

，

故y1=450﹣150x（0≤x≤3）； 将（6，450）代入y2=ax 求出即可： y2=75x，

故线段OC的解析式为 y2=75x （0≤x≤6）；

（3）根据（2）得出：

y=|y1﹣y2|=|450﹣150x﹣75x|=，

∵y1=450﹣150x（0≤x≤3）； y2=75x， ∴D（2，150），

利用函数解析式y=450﹣225x（0≤x≤2），当x=0，y=450，x=2，y=0，画出线段AE， 利用函数解析式y=225x﹣450（2≤x＜3），当x=2，y=0，x=3，y=225，画出线段EF， 利用函数解析式y=75x（3≤x≤6），当x=3，y=225，x=6，y=450，画出线段FC， 求出端点，画出图象，其图象为折线图AE﹣EF﹣FC．

【点评】此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求解析式，根据已知图象上的点得出

25

函数解析式以及利用分段函数分析是解题关键．

27．（13分）（2017?如皋市一模）若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l具有“”一带一路关系，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”．

（1）求“带线”L：y=x﹣2mx+m+m﹣1（m是常数）的“路线”l的解析式；

（2）若某“带线”L：y=x2+bx+c的顶点在二次函数y=x2+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4． ①求此“带线”L的解析式；

②设“带线”L与“路线”l的另一个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标． 【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）先配方得到抛物线y=x﹣2mx+m+m﹣1的顶点坐标，则根据新定义得到“带线”L的顶点为（m，m﹣1），然后利用横纵坐标之间的关系可确定“路线”l的解析式； （2）①根据新定义“带线”L：y=x+bx+c的顶点在“路线”l，则可设“带线”L：y=x+bx+c的顶点为（x，2x+4），再把（x，2x+4）代入y=x+4x+1得2x+4=x+4x+1，解方程求出x就看得到“带线”L：y=x2+bx+c的顶点坐标，然后利用顶点式可得“带线”L的解析式；

②讨论：当“带线”L解析式为y=x2﹣x+

时，通过解方程组

得Q的坐

2

2

2

2

2

2

2

2

标为（5，14），由于要使点R到线段PQ的距离最大，只要S△RPQ最大，作PH∥y轴交PQ于H，设R（x， x﹣x+x2+x﹣

2

），则H（x，2x+4），利用三角形面积公式，S△RPQ=（2x+4﹣

）?（5﹣1），然后根据二次函数的性质求解；若“带线”L解析式为y=x2+3x+

时，利用同样的方法可确定点R的坐标．

【解答】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1， ∴“带线”L的顶点为（m，m﹣1）， ∴“路线”l的解析式为y=x﹣1；

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（2）①设“带线”L：y=x+bx+c的顶点为（x，2x+4）．

把（x，2x+4）代入y=x+4x+1得2x+4=x+4x+1，解得x1=1，x2=﹣3． ∴“带线”L：y=x+bx+c的顶点为（1，6）或（﹣3，﹣2）． ∴“带线”L的解析式为y=（x﹣1）2+6或y=（x+3）2﹣2， 即y=x﹣x+

2

2

2

2

2

或y=x+3x+；

2

②若“带线”L解析式为y=x﹣x+

2

时，解方程组得或，

则带线”L与“路线”l的另一个交点Q的坐标为（5，14）， 要使点R到线段PQ的距离最大，只要S△RPQ最大， 作PH∥y轴交PQ于H，设R（x， x﹣x+∴S△RPQ=（2x+4﹣x2+x﹣

2

），则H（x，2x+4）

）?（5﹣1）=﹣x2+6x+3=﹣（x﹣3）2+13．

∴当x=3时，S△RPQ有最大值，此时点R的坐标为（3，8）；

若“带线”L解析式为y=x2+3x+时，同理可得点R的坐标为（﹣1，0）． ∴点R的坐标为（3，8）或（﹣1，0）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质；也考查了阅读理解能力．

28．（13分）（2017?如皋市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t（s）表示运动的时间（0≤t≤5）． （1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．

（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值． （3）直接写出PQ中点移动的路径长度．

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【考点】SO：相似形综合题．

【分析】（1）根据勾股定理得到BC=10，根据已知条件得到PA=2t，BP=10﹣2t，CQ=t，BQ=6﹣t．根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；

（2）如图1，作PF⊥AC，垂足为F．根据相似三角形的性质得到PF=﹣

，根据勾股定理得到CP=

=2

，AF=

．求得CF=8

，根据三角形的面积即可得到

结论；

（3）如图2，设PQ的中点为M，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，依题意，可知0≤t≤5，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；当t=5时，点M2的坐标为（0，5.5），求得直线M1M2的解析式为y=﹣

x+

．根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm， ∴BC=10cm．

由题意可知，PA=2t，BP=10﹣2t，CQ=t，BQ=6﹣t． ①若即②若即

故当t=0或t=

（2）如图1，作PF⊥AC，垂足为F． ∴△APF∽△ABC． ∴

，即

，

，则△BQP∽△BCA． ．解得t=0； ，则△BQP∽△BAC． ．解得t=

．

时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ABC相似，

28

解得PF=∴CF=8﹣∴CP=

，AF=，

=2

．

， ?8=?

，

∵S△APC=CP?AD=PF?AC=?∴AD=

．

同理BE=．

∴y=AD+BE=+==，

y=

=，当t=时，y的最大值为10cm；

（3）如图2，设PQ的中点为M，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 依题意，可知0≤t≤5，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；

当t=5时，点M2的坐标为（0，5.5），设直线M1M2的解析式为y=kx+b，

∴∴，

∴直线M1M2的解析式为y=﹣x+． ，

），

，

），

由（2）知点Q（0，t），P（8﹣

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（4﹣把x=4﹣

，代入y=﹣

x+

，得y=

，

∴点M3在M1M2直线上，

∴线段PQ中点M所经过的路径长为

=

cm．

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【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

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