《电磁学》赵凯华陈熙谋No3chapter答案

《电磁学》思考题和计算题 第三章

第三章 稳 恒 电 流

§3.1 电流的稳恒条件和导电规律

思考题：

1、 电流是电荷的流动，在电流密度j≠0的地方，电荷的体密度ρ是否可能等于0？ 答：可能。在导体中，电流密度j≠0的地方虽然有电荷流动，但只要能保证该处单位体积

内的正、负电荷数值相等（即无净余电荷），就保证了电荷的体密度ρ＝０。在稳恒电流情况下，可以做到这一点，条件是导体要均匀，即电导率为一恒量。 2、 关系式U=IR是否适用于非线性电阻？

答：对于非线性电阻，当加在它两端的电位差Ｕ改变时，它的电阻Ｒ要随着Ｕ的改变而变化，

不是一个常量，其Ｕ－Ｉ曲线不是直线，欧姆定律不适用。但是仍可以定义导体的电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｉ。由此，对非线性电阻来说，仍可得到Ｕ＝ＩＲ的关系，这里Ｒ不是常量，所以它不是欧姆定律表达式的形式的变换。对于非线性电阻，Ｕ、Ｉ、Ｒ三个量是瞬时对应关系。

3、 焦耳定律可写成P=I2R和P=U2/R两种形式，从前者看热功率P正比于R，从后式看热

功率反比于R，究竟哪种说法对？

答：两种说法都对，只是各自的条件不同。前式是在Ｉ一定的条件下成立，如串联电路中各

电阻上的热功率与阻值Ｒ成正比；后式是在电压Ｕ一定的条件下成立，如并联电路中各电阻上的热功率与Ｒ成反比。因此两式并不矛盾。

4、 两个电炉，其标称功率分别为W1、W2，已知W1>W2，哪个电炉的电阻大？ 答：设电炉的额定电压相同，在Ｕ一定时，Ｗ与Ｒ成反比。已知W1>W2，所以Ｒ1

否相同？

答：沿电流方向，铜球的截面积不同，因此铜球内电流分布是不均匀的。

各点的热功率密度p=j2/σ不相等。

6、 在电学实验室中为了避免通过某仪器的电流过大，常在电路中串接一个限流的保护电

阻。附图中保护电阻的接法是否正确？是否应把仪器和保护电阻的位置对调？ 答：可以用图示的方法联接。当调节保护电阻Ｒ时可以改变回路

的电流，保护仪器免受大电流的冲击。Ｒ的作用与其在串联电路中的位置无关，因此不必将仪器和保护电阻的位置对调。

仪器 保护电阻 90

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7、 将电压U加在一根导线的两端，设导线截面的直径为d，长度为l。试分别讨论下列情

况对自由电子漂移速度的影响：（1）U增至2倍；（2）l增至2倍；（3）d增至2倍。 答：导体中自由电子的漂移速率是 u?I neS（１） 当l、Ｓ不变，Ｕ增至２倍时，由Ｕ＝ＩＲ可知，Ｉ也增至２倍，故u增至２倍； （２） 当Ｓ、Ｕ不变，l增至２倍时，由电阻定律R??l可知Ｒ增至２倍；再由ＵS＝ＩＲ可知，Ｉ减小到原来的１／２。故u减小到原来的１／２；

（３） 当Ｕ、l不变，d增至2倍，S?12?d增至４倍时，由电阻定律可知，Ｒ减小4到原来的１／４，Ｉ将增至４倍，结果u保持不变。

8、 在真空中电子运动的轨迹并不总是逆着电力线，为什么在金属导体内电流线永远与电力

线重合？

答：在真空中，电子的运动轨迹一般说来不是逆着电力线，只在电子的初速度为零，电力线

是直线的情况下，电子才逆着电力线运动。在金属导体中，电流密度与电场强度的关系遵从欧姆定律j??E，即在金属导体中任一点，j 的方向与Ｅ的方向一致，而某点j的方向就是该点电流线的方向，Ｅ的方向就是该点电力线的方向。所以金属导体内电流与电力线永远重合。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题：

1、 一导线载有10A直流电流，在20s内有多少电子流过它的横截面？ 解：n???QIs??1.25?1021（个） ee2、 技术上为了安全，铜线内电流密度不得超过6A/mm2，某车间需用电20A，导线的直径

不得小于多少？

d2解：I?jS?j?r?j? d?424I?2.06mm j?3、 试根据电流的连续方程证明：在稳恒条件下通过一个电流管任意两个截面的电流强度相

等。

证明：以电流管侧壁及两个任意截面Ｓ１、Ｓ２构成一个闭合面。对此闭合面， 由电流连续方程

j Ｓ２

?S??j?dS???jdS??jdS?0

S1S2Ｓ１ 91

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得

?S2jdS??jdS 即Ｉ２＝Ｉ１

S1-8

4、 有一种康铜丝的横截面积为0.10mm2，电阻率为ρ=49×10Ω·m。用它绕制一个6.0

Ω的电阻，需要多长？ 解：R??RSl l??1.22m

?S5、 在某一电路中，原准备用横截面积为10mm2的铜导线作输电线，为了节约用铜，改用

相同电阻，相同长度的铝线代替，问应选用多大横截面积的铝导线？ 解：R??1l??2l?S2?15.6mm2

S1S26、 附图中两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为σ1、σ2的均匀导电介质，

其厚度分别为d1、d2，导体的截面积为S，通过导体的稳恒电流为I，求： （１） 两层导电介质中的场强Ｅ1和Ｅ2； （２） 电位差ＵＡＢ和ＵＢＣ。

Ａ Ｂ Ｃ I σ1 σ2 I UIRIdI ????dddS?SI E1? E2?I

?1S?2S解：（1）E? （2）U1?E1d1?d1 d2

Id2Id1?IR2 ?IR1 U2?E2d2??2S?1S７、一个铜圆柱体半径为a，长为l，外面套有一个与它共轴且等长的圆筒，筒的内半径。

在柱与筒之间充满电导率为σ的均匀导电物质。如附图所示。求柱与筒之间的电阻。 解：在柱与筒之间，沿半径方向，横截面积是变化的量

dS?2?rl

bdrdr1b

R???????lnadS2?rl2??laa b l ８、把大地可看成均匀的导电介质，其电阻率为ρ。用一半径为a的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可以忽略。试证明此电极的接地电阻为 R?? 2?aa 解： 取与球心相距为r，厚度为dr的半球壳 dR???dr?dr? ?R??22?a2?a2?r2?r92

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９、一铂电阻温度计在０Ｃ时的阻值为200.0Ω。当浸入正在熔解的三氯化锑中时，阻值

变为257.6Ω。求三氯化锑的熔点。已知铂电阻的温度系数α=0.00392度解：R?R0(1??t)?t?73.5C

１０、电动机未运转时，在２０Ｃ时它的铜绕组的电阻是５0Ω。运转几小时后，电阻上

升到５８Ω。问这时铜绕组的温度为多高？ 解：

０

－１

０

。

0R1?R0(1??t1)R2?R0(1??t2)?t2?60.90C

１１、求２２０Ｖ１５Ｗ和２２０Ｖ２５Ｗ灯泡的灯丝电阻和工作电流。 解：灯丝电阻和工作电流分别为

?R1?3.2k?(15W)??R2?1.94k?(25W)

I?68mA(15W)U?I??1R?I2?114mA(25W)U2R?P１２、在２２０Ｖ电路上，接有３０Ａ允许电流的保险丝，问在此电路上可接多少个４０

Ｗ的灯泡？ 解：nP=IU n=165个

１３、有一个标明１kΩ４０Ｗ的电位器，问：

（１） 允许通过这个电位器的最大电流是多少安培？ （２） 允许加在这个电位器上的最大电压是多少伏特？ （３） 在这个电位器上加１０Ｖ的电压时，电功率是多少？ 解： （１）P=UI=I2R Imax=0.2A

（２）Ｐ＝Ｕ／Ｒ Ｕmax=２００Ｖ （３）Ｕ＝１０Ｖ时， Ｐ＝Ｕ／Ｒ＝0.1W

１４、室内装有４０Ｗ电灯两盏，５０Ｗ收音机一台，平均每日用电五小时。问：

（１） 总闸处应装允许多大电流通过的保险丝？ （２） 每月（以３０日计算）共用电多少度？ 答： （１）Ｐ＝ＵＩ Ｉ＝0.6A

２

２

93

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（２）Ａ＝ＩＵt＝19.5 度

１５、某工厂与配电所相距１０００m，其间有两条输电线，每条线的电阻是0.2Ω/km。工

厂用电为５５kW。入厂时两输电线间的电压Ｕ＝２２０Ｖ，求配电所所输出的功率。 答： 线路中的电流为 Ｉ＝Ｐ／Ｕ＝２５０Ａ 线路上消耗的功率 Ｐ′＝ＩＲ＝２５KW 配电所输出的功率 Ｐ０＝Ｐ＋Ｐ′＝８０ＫＷ

１６、实验室常用的电阻箱中每一电阻的额定功率规定为0.25Ｗ。试求其中1００Ω和１０

Ω电阻的额定电流。

解：Ｐ＝ＩＲ I1＝50mA I2=158mA １７、推导焦耳定律的微分形式。 解：取一小电流管 Ｉ＝j△S R??消耗功率为 P?I2R??j?S?2?２

２

?l ?S?l?j2???S?l? ?S(?E)2P2单位体积消耗功率（功率密度）为 p??j????E2

?V?１８、一铜导线的直径为1.0cm，载有２００Ａ电流，已知铜内自由电子的数密度为

n=8.5×10／cm,求其中电子的漂移速率。 解：u?22

3

jI??1.87?10?4m/s neneS3

１９、已知铜的原子量为63.75，密度为8.9g/cm,在铜导线里，每一个铜原子都有一个自

由电子，电子电荷大小为e,阿伏伽德罗常数为Ｎ０。

（１） 技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过jM=6A/mm，求电流密度为jM时，

铜内电子的漂移速度。

（２） 按下列公式求Ｔ＝３００Ｋ时铜内电子热运动的平均速率：v?2

8kT。式中?mm是电子的质量，k是玻耳兹曼常数，Ｔ是绝对温度。平均速率是u的多少倍？

解： （１）u?j?4.5?10?2cm/s ne8kT?10.8?106cm/s ?m（２）v?94

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二者比值为 2.4×108

２０、一铜棒的横截面积为20×80mm，长为2.0m，两端电位差为５０mV。已知铜的电导率

σ＝5.7×10 西门子／米，铜内自由电子的电荷密度为1.36×10C/m。求： (１） 它的电阻Ｒ；（２）电流Ｉ；（３）电流密度的大小；（４）棒内电场强度的大小； （５） 消耗的功率Ｐ；（６）一小时所消耗的能量Ｗ；（７）棒内电子的漂移速率u。 解： （１）电阻为 R??7

10

3

2

l?2.2?10?5? S（２）电流为 Ｉ＝Ｕ／Ｒ＝２３００Ａ

（３）电流密度的大小为 j＝Ｉ／Ｓ＝1.4Ａ／mm2 （４）电场强度的大小为 Ｅ＝j/σ＝２５mV/m （５）消耗的功率为 Ｐ＝ＩＵ＝１１５Ｗ （６）一小时消耗的能量为 Ｗ＝Ｐt＝4.1×105J （７）电子的漂移速率为 u=j/ne=1.05×10-2c/s

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.2 电源及其电动势

思考题： １、

有两个相同的电源和两个相同的电阻如图a所示电路联接起

a ε,r R 图a

ε,r R a ε,r R 图b

b

ε,r R b

来，电路中是否有电流？a、b两点是否有电压？若将它们按图b所示电路联接起来，电路中是否有电流？a、b两点是否有电压？解释所有的结论。

答：在图a中，I?????0，电路中无电流；由于回路中无电流，

2?r?R?每个电阻两端的电压为零，电池负极与b点等电位，正极与a点等电位，电池两端的电位差即是a、b两点间的电压。Ｕab＝ε。 在图b中，I??????，电路中有电流。若设b点电位为

2?r?R?r?R零，则a点电位为 Ua???２、

势？

?r?R(r?R)?0，Ｕab＝０。

一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路端电压是否可以超过电动

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答：当Ｒ＝０时，电流为最大，Ｉ＝ε／r .r一定时，电池内的电流不会超过短路电流。 当电池充电时，电池的路端电压可以超过电动势。Ｕ＝ε＋Ｉr ３、

试想出一个方法来测量电池的电动势和内阻。

答：将待测电池与安培计、电阻箱、电键串联在一个闭合回路中。 取Ｒ＝Ｒ１时，测得电流Ｉ１，ε－Ｉ1（r＋Ｒ１）=０ 取Ｒ＝Ｒ２时，测得电流Ｉ２，ε－Ｉ２（r＋Ｒ１）=０

I1R1?I2R2?IR?I2R2?联立解得 ??I1?11 ?r??R1??I?II2?I121??（也可将待测电池与伏特计并联，再与电阻箱和电键串联在一个闭合回路中，测得外电阻不同时的两组路端电压，求得电源电动势和内阻） ４、

当一盏25W100Ｖ的电灯泡联接在一个电源上时，发出正常明亮的光。而一盏

500W110Ｖ的电灯泡接在同一电源上时，只发出暗淡的光。这可能吗？说明原因。 答：阻抗不匹配时可能出现以上情况。如果电源的电动势一定，电源内电阻与Ｒ比较不可忽略。当灯泡接上电源时——

25W的灯泡U2??1?r/R2正常发光，说明恰好在额定电压１００Ｖ下工作。

500W的灯泡U1??1?r/R1,实际电压小于其额定电压，所以暗淡。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、

电动势为１２Ｖ的汽车电池的内阻为0.05Ω,问：

（１） 它的短路电流多大？

（２） 若启动电流为１００Ａ，则启动马达的内阻多大？ 解： （１）短路电流为 Ｉmax＝ε／r＝２４０Ａ （２）Ｉ＝１００Ａ时，Ｒ＝（ε／Ｉ）－r＝0.07Ω ２、

如附图所示，在电动势为ε,内阻为r的电池上联接一个Ｒ1=10.0Ω的电阻时，测

出Ｒ１的端电压为8.0V。若将Ｒ1换成Ｒ２=5.0Ω的电阻时，其端电压为6.0V。求此电池的ε和r。 解：应用欧姆定律可得

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εr Ｒ

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U1???I1r1U2???I2r2——→

I1?0.8AI2?1.2A——→

??12vr?5.0?

３、 在附图中，ε＝6.0V，r=2.0Ω,R=10.0Ω,当开关闭合时ＵＡＢ、ＵＡＣ和ＵＢＣ分别是

多少？当Ｋ断开时，又各为多少？ 解： （１）Ｋ闭合时，Ｉ＝0.5A

ＵＡＢ＝ＩＲ＝５Ｖ＝ＵＡＣ ＵＢＣ＝０ （２）Ｋ断开时，Ｉ＝０

ＵＡＢ＝０ ＵＡＣ＝ＵＢＣ＝＝６ｖ ４、

在上题中，Ｋ闭合时，电源的输出功率为多少？

Ａ BＢ Ｋ

Ｃ

ε,r R 解：Ｋ闭合时，电源对外供电，输出功率为 Ｐ＝ＩＵＡＢ＝2.5W （或者Ｐ输出＝Ｉε－Ｉr） ５、

如图所示，若两电源都是化学电池，电动势ε′＝６Ｖ，ε＝４Ｖ，内阻r′＝０.1

２

Ω, r＝０.1Ω.求： （１） 充电电流；

（２） 每秒内电源ε′消耗的化学能； （３） 每秒内电源ε获得的化学能。 解： （１）充电电流为 I?ε′r′

????r?r?ε,r ?10A

（２）每秒内电源ε′消耗的化学能为 P??I???60J

（３）每秒内电源ε获得的化学能为 P?I??40J

（消耗在两电源内电阻上的能量为Ｐ＝２０Ｊ）

６、

求图示中Ａ、Ｂ、Ｃ三界面上的面电荷密度。

Ａ Ｂ Ｃ I σ1 σ2 I 解：电流均匀分布在横截面上，设Ａ、Ｂ、Ｃ三界面上的面电荷

密度分别为σＡ、σＢ和σＣ I?jS??E?S???eS ?0d1 d2

?e?j?0I?0 ??S?97

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?eA?I??11?I?0I?0?? ?eC?? ?eB?0? ??S??2?1?S?1S?2―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.3 简单电路

思考题： １、

在两层楼道之间安装一盏电灯，试设计一个线路，使得在楼上和楼下都能开关这

盏电灯。

答：可以选用两只单刀双掷开关。 电路图如图所示。 ２、

Ｋ × Ｋ 附图中Ｒ０为高电阻元件，Ｒ为可变电阻，（Ｒ<<Ｒ０），试论证，当Ｒ改变时，Ｂ

Ｃ间的电压几乎与Ｒ成正比。

答：设电源电动势为ε，内电阻可以忽略， UBC?３、

Ａ Ｂ Ｃ Ｒ０ Ｒ R?R

?R0?RR?R??R0??R0试论证在附图所示的电路中，当数量级为几百欧姆的负载电阻Ｒ变化时，通过Ｒ２

a 的电流Ｉ及负载两端的电压Ｕab几乎不变。 答：设电源电动势为ε，内电阻为r，总电流为Ｉ总， Ｒ２与Ｒ并联，IR2?(I总?I)R I?RI?R总R?R2R?R2?(R1?r?RR2)R?R210k R1

R 1Ω R2 Ｉ b Uab?IR2

R>>R2, 可见当Ｒ变化时，Ｉ及Ｕab几乎不变。当Ｒ２与Ｒ相比小到可以忽略时，

I?４、

?(R1?r?R2) Uab?IR2??R2(R1?r?R2) 与Ｒ无关

（１）在附图中由于接触电阻不稳定，使得ＡＢ间的电压不稳定。为什么对于一

定的电源电动势，在大电流的情况下这种不稳定性更为严重？（２）由于电池电阻r 不稳定，也会使得ＡＢ间的电压不稳定。如果这时我们并联一个相同的电池，是否能将情况改善？为什么？

答：（１）设由于接触电阻不稳定而产生的附加电阻为Ｒ′

Ａ Ｂ

98

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UAB?IR?IR? Ｉ越大，ＵＡＢ受到的影响越大。 （２）电池并联时，UAB???情况能够得到改善。

负载 r?R，当r变化时，对ＵＡＢ影响较小，?R?r/22R?r/2?５、 附图所示的这种变阻器接法有什么不妥之处？

答：在图示电路中，如果滑动变阻器的触点滑到Ａ点时，

易造成电源短路，损坏电源。 ６、

实验室或仪器中常用可变电阻（电位器）作为调节

Ａ Ｂ

Ｃ

变阻器 电阻串在电路中构成制流电路，用以调节电路的电流。有时用一个可变电阻调节不便，须用两个阻值不同的可变电阻，一个作粗调（改变电流大），一个作细调（改变电流小），这两个变阻器可以如图a串联起来或如图b并联起来，再串入电路。已知Ｒ１较大，Ｒ２较小，问在这两种联接中哪一个电阻是粗调，哪一个是细调？

Ｒ1Ｒ2 a

负载 Ｒ1Ｒ2 b 负载 答：（１）在串联电路中，Ｒ１较大，对电路中电流影响较大，Ｒ１是粗调，Ｒ２是细调。 （２）在并联电路中，Ｒ１较大，对电路中电流分流作用较小，Ｒ１是细调，Ｒ２是粗调。 ７、

为了测量电路两点之间的电压，必须把伏特计并联在电路上所要测量的两点，如

图所示，伏特计有内阻，问：

（１） 将伏特计并入电路后，是否会改变原来电路中的电流和电压分配？ （２） 这样读出的电压值是不是原来要测量的值？ （３） 在什么条件下测量较为准确？

解： 未并伏特计时，通过Ｒ２的电流为 I2??R1?R2?r

R1 A R 2 B

V Ａ、Ｂ两点间的电压为 UAB?I2R2??R2R1?R2?r并入伏特计后，通过Ｒ２的电流为 I2??Ａ、Ｂ两点间的电压为

?(r?R1)?R2RV/(RV?R2)

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?U?AB?I2R2??R2(r?R1)?R2RV/(RV?R2)??1?11?R2?1(r?R1)???R?R??RV2??V

可见并入伏特计后对原电路的电流和电压都有一定的影响。 读出的电压值并不等于原来要测量的值。 只有当ＲＶ>>R２时，所测值较为准确。 ８、

为了测量电路中的电流强度，必须把电路断开，将安培计接入，如图所示，安培

计有一定的内阻，问：

（１） 将安培计接入电路后，是否会改变原来电路中的电流？ （２） 这样读出的电流值是不是原来要测量的值？ （３） 在什么条件下测量较为准确？ 答：未接入安培计时，电路中的电流为 I?Ａ R1

R2

?R1?R2?r

，改变原来电路中的电流。

安培计接入电路后，电路中的电流为 I??读出的电流值不是原来要测量的值。

?R1?R2?RA?r只有当ＲA<

测量电阻的一种方法是在电阻上加上一定的电压，用伏特计测出电阻两端的电压

Ｕx,同时用安培计测出通过电阻的电流强度Ｉx，由公式Ｒ＝Ｕx／Ix算出待测电阻的阻值。这种测量方法叫做伏安法。用伏安法测量电阻时，电路的连接方法有两种，如附图a 、b所示。由于安培计、伏特计都有一定的内阻，这样测出的值是准确的吗？如果安培计的内阻ＲＡ＝5.0Ω，伏特计的内阻ＲＶ＝２.0kΩ，采用哪一种联接方法测量误差较小？若Ｒ大约为１０Ω，采用哪种联接较好？

图a UA Ux Ａ Ｒx Ｖ Ａ 图b

Ix IV Ｒx Ｖ U答： （１）在图a中，Rx?U?IARA，在图b中，Rx?。可见Ｒx并不等于

IAIA?U/RVU/IA, 因此用Ｒx＝Ｕ／IＡ来计算Ｒx并不准确。

100

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（２）当Ｒx>>RA时，用图a的联接方法测量误差较小。 U?IA?Rx?RA??IARx?Rx?U IA当Ｒx<

IA?Ix?U11UU ?U(?)??Rx?RVRxRVRxIA （３）Ｒ＝１０Ω时，采用图b方法较好。

１０、 测量一个灯泡（标称２２０Ｖ５０Ｗ）在２２０Ｖ电压下所消耗的功率。已知伏

特计的灵敏度为１０００Ω／Ｖ，安培计的内阻为0.1Ω,问安培计和伏特计应按图a还是按图b联接，可使测量的误差较小？

Ａ × Ｖ a ２

× Ｖ A b

答：灯泡电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｐ＝968Ω，ＲＡ＝0.1Ω，选用伏特计量程为０～250Ｖ，则ＲＶ

＝25000Ω。

接a电路时，电流表有分压作用， ?P?IAUA?IARA?0.005W

接b电路时，电压表有分流作用， ?P?UA/RV?0.0002W 误差较小。 １１、 把一个表头改装成安培计，其量程和内阻是加大还是减小？能不能改装出量程比

原来的表头更小的安培计？

答：把表头改装成安培计，采用分路分流的办法。用一个比表头电阻低的电阻与表头并联，

从而得到一个内阻减小，量程扩大的安培计。由于表头的设计是按通过表头的额定电流值来确定的，将电阻与表头串联或并联都不能改变其内部结构，故不改变其额定电流，因此不能改装出量程比原来更小的安培计。

１２、 要把一个表头Ｇ改装成多个量程的安培计，有两种方式：

（１） 如图a所示，表头通过波段开关和不同的分流电阻Ｒs1、

Ｒs2…并联。这种电路叫做开路转换式。

（２） 如图b所示，电阻Ｒ1、Ｒ2…与表头联成一个闭合回路，

从不同的地方引出抽头。选择联接表头的两个抽头之一为公共端，它和其他任何一个抽头配合，得到一种量程的安培计。这种电路叫做闭路抽头式。

R1 R2 R3 101

公共端 I1 I2 I3

22Ｇ Rs1 Rs2 Rs3 I1 I2 I3 Ig a Ｇ b

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试比较这两种电路的优缺点。

答：开路转换式的优点是，各量程的分流电阻是独立的，各量程之间互不影响，便于调整。

但电路的误差和阻尼时间随各量程分流电阻阻值改变而变化；同时由于各转换装置的接触电阻包括在测量电路之内，所以仪表误差不稳定。最大缺点是当转换开关K接触不良，或者造成分流电阻断路时，将会有很大的电流通过表头而将表头烧毁。使用时不够安全。

闭路抽头式电路的最大优点是使用安全。当转换开关接触不良时，表头仅有极小的电流通过。若转换开关造成分流电阻断路，表头没有电流通过；与仪表测量机构形成闭合回路的电阻值不随量程改变而变化。因此仪表的阻尼时间是不变化的。由于量程转换开关方式引起的接触电阻与分流电阻的阻值无关，只串联在电路中，所以引起的误差极小。闭路抽头式电路的缺点主要是分流电阻中某一电阻阻值的变化，不同程度的影响各量程，因此调整误差有一定的困难。一般要经过几次反复才能将各量程的阻值调整好。 １３、附图中所示是一个由表头Ｇ改装成的多量程伏特计的电路。每个抽头与公共端组成一种量程。Ｕ１、Ｕ２、Ｕ３三个量程中哪个最大？哪个最小？各档的满度电流是否相同？使用各档时，表头上的电压降是否一样？

Ｇ 答：（１）伏特计的电压扩程 U?Ig(Rm?Rg)

各量程的大小取决于扩程电阻阻值的大小。

Ｕ3>U2>U1

公共端 U1 U2 U3 Rm1 Rm2 Rm3

（２）表头内阻与各量程的扩程电阻串联，各档的满度电流Ｉg相同。 （３）使用各档时，Ｉg及Ｒg一定，Ｕg=ＩgＲg相同

D １４、（１）若在附图中所示的电桥电路中分别在a、b、c、d处断

了，当滑动头Ｃ在ＡＢ上滑动时，检流计的指针各有何表现？ （２）若当滑动头Ｃ在ＡＢ上无论如何滑动，检流计都不偏转，这时用一伏特计联在ＣＤ间，发现伏特计有偏转，能否判断是哪根导线断了？

答：（１）若a 处断开，ＵD>UC,Ｃ从Ａ→Ｂ时，电流从大→小； 若b 处断开，ＵD

102

b d a Ａ C B c ε,r Ｒ Ａ Ｃ Ｇ εx Ｂ

《电磁学》思考题和计算题 第三章

势相等，滑动头Ｃ在ＡＢ上能否找到平衡点？ 答：设Ｃ点为平衡点。按照平衡条件 ?x?RAC

?RAB?R?r 若εx＝ε

RAC?1 这是不可能的。所以此时ＡＢ上不能找到平衡点。

RAB?R?r１６、在上题中， 若ε和εx的电动势分别为2.0V和1.5V,RAB=10Ω.为了找到平衡点，对

Ｒ的数值有什么限制？

答：ＵＡＢ＝ＩＲＡＢ≥εx 即Ｉ≥εx／ＲＡＢ＝0.15A

由全电路欧姆定律得 Ｉ＝ε／（Ｒ＋ＲＡＢ） Ｒ≤3.3Ω １７、在附图中，Ｔ是平衡点，若将滑动头Ｃ分别与Ｄ或Ｓ点

接触，通过检流计的电流方向如何？ 答：Ｃ在平衡点Ｔ时检流计中无电流。ＵＡＴ＝εx

当Ｃ与Ｄ接触时，ＵＡＤ<εx，通过检流计的电流从左→右； 当Ｃ与Ｓ接触时，ＵＡＳ>εx，通过检流计的电流从右→左。 １８、若在附图中a处的导线断了，当滑动头Ｃ在ＡＢ间滑动

时，将会观察到检流指针有何表现？若在b处的导线断了，情况如何？

╳

ε,r Ｒ Ａ ＤＴＳ Ｃ Ｇ εx Ｂ

ε,r Ｒ a

答：若在a 处断开，有电流通过检流计，当Ｃ从Ａ→时， 通过检流计的电流由小→大，方向为左→右； 若在b处断开，检流计中无电流通过。

１９、用电位差计测量电路中两点之间的电压应如何进行？

Ａ Ｃ ╳ Ｂ

b Ｇ εx 答：（１）联接电路。按标记将供电电源、标准电池、检流计、待测电路接好。注意正负标

记，供电电源的电动势应大于标准电池的电动势和待测电路的电压值。 （２）校准。将转换开关拨到“标准”，把标准电池接入补偿回路，调整制流电阻，使

检流计指针没有偏转，此时工作电流即为标准值。

（３） 测量。固定制流电阻，将开关拨到“未知”，把待测电路接入补偿电路，找到平

衡位置，即可从仪器上直接读出待测电路两点间的电压。

103

《电磁学》思考题和计算题 第三章

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、

６Ｖ、２Ω的灯泡用１２Ｖ的直流电源，后者的内阻为0.5Ω,问应串联多大的电

阻？

解：设串联电阻为Ｒ。由全电路的欧姆定律 I?UU?0 Ｒ＝1.5Ω

R0?R?rR0２、 四个电阻均为6.0Ω的灯泡，工作电压为１２Ｖ，把它们并联起来接到一个电动势

为１２Ｖ，内阻为0.20Ω的电源上，问： （１） 开一盏灯时，此灯两端的电压多大？ （２） 四盏灯全开时，灯两端的电压多大？ 解：（１）开一盏灯时，I??R?r?1.93A U?IR?11.6V

?7.06A U??I?R?10.6V 电压下降

（２）开四盏灯时，I???R?r4３、

附图中伏特计的内阻为３００Ω，在开关Ｋ未合上时，其电压读数为1.49V,开关300Ω Ｖ 合上时其读数为1.46V,求电源的电动势和内阻。

解：Ｋ断开时 I1?Ｋ闭合时 I2??RV?r U1?I1RV??RV?rＫ RV

100Ω ε，r ?RVR?rRV?RRVRRVR? U2?I2 ?RV?R(RV?R)r?RVR解得 ??RVU1U2R???U1??1.5V r?V?2.07? (RV?R)U2?RU1U1４、 为使一圆柱形长导体棒的电阻不随温度变化，可将两相同截面的碳棒和铁棒串联

起来。问两棒长度之比应为若干？ 解：若使整个导体电阻不随温度变化，应有 ?0Fe?Fet??0?ct ５、

?0Fe?cl?1l40 ???R???Fe?0??0?Fe40Slc?0Fe1变阻器可用作分压器，用法如附图所示。Ｕ是输入电压，Ｒ是变阻器的全电阻，r

是负载电阻，c是Ｒ上的滑动接头。滑动c，可以在负载上得到从０到Ｕ之间的任何电压Ｕr。设Ｒ的长度ab=l，Ｒ上各处单位长度的电阻都相同，a、c之间的长度ac=x，求

104

《电磁学》思考题和计算题 第三章

加到r上的电压Ｕr与x的关系。用方格纸画出当r=0.1R和r=10R时的Ｕr—x曲线。 解：设总电流为Ｉ，流过r 的电流为i，则由欧姆定律得 RUac?(I?i)xl U?irrU?IRR(l?x)?(I?i)xll

b Ｕ R c a r

整理得 Ur?lrUx 只有当r很大时，Ｕr才近似与x成正比。 2R(l?x)x?lrUr/U0

x0.1Ul当r=0.1R时， U?

rxx(1?)?0.1llx10Ul当r=1０R时， U?

rxx(1?)?10ll0.8 0.6 0.4 0.2 ０ 0.2 0.4 0.6 0.8 x/l Ｃ 10Ω Ａ 20Ω Ｄ 5Ω 100Ω Ｂ 10Ω r=1０R r=0.1R ６、 在附图所示的电路中，求：

（１）ＲＣＤ； （２）ＲＢＣ； （３）ＲＡＢ。 解： （１）1?1?1?1 ＲＣＤ=9.09Ω

RCD1001530 （２）1RBC?1?5 ＲBＣ=4.3Ω 1100(10?20)10?100?30RAB11 ＲＡ=１０Ω B?10?520?10（３）100Ω电阻被短路，1?７、

判断一下，在附图中所示的各电路中哪些可以化为串、并联电路的组合，哪些不

能。如果可以，就利用串、并联公式写出它们总的等效电阻。

R5 R3 R1 R1

R2 R5 R4 R2 R3 R4 R3

R2 R1 R2 R3 R2 R3 R1 R4 R2 R5 R4 R1 R2 R4 R4 R3 R5 R1 R2 R5 R3 R4 R1 R3 R1 R4

105

《电磁学》思考题和计算题 第三章

a可以 R?R1?R2?R3?R4?R5?

R3?R4?R5b可以 R?c可以 R??R1?R2??R3?R4?

R1?R2?R3?R4R4?R1R2?R2R3?R1R3? R1R2?R2R3?R1R3?R2R4?R3R4R3??R2?R4R5/?R4?R5??e可以 R?R1?R3?R2?R4R5/?R4?R5?? g可以 R?R4?R1R2?R2R3?R1R3? R1R2?R2R3?R1R3?R2R4?R3R4 其余d、f、h不能化为电阻的简单串并联。 ８、

无轨电车速度的调节，是依靠在直流电动机的回路中串入不同数值的电阻，从而

改变通过电动机的电流，使电动机的转速发生变化。 例如，可以在回路中串接四个电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３和Ｒ４，再利用一些开关Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３、Ｋ４和Ｋ５，使电阻分别串联或并联，以改变总电阻的数值。如附图中所示。设Ｒ１＝Ｒ２＝Ｒ３＝Ｒ４＝1.0Ω,求下列四种情况下的等效电阻Ｒab:

（１） Ｋ１、Ｋ５合上，Ｋ２、Ｋ３、Ｋ４断开； （２） Ｋ２、Ｋ３、Ｋ５合上，Ｋ１、Ｋ４断开； （３） Ｋ１、Ｋ３、Ｋ４合上，Ｋ２、Ｋ５断开； （４） Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３、Ｋ４合上，Ｋ５断开。 解：（1）R?R1?R2?R3?3.0? （2）R?R1?(K4 K2 R1 R2 R3 R4 K3

K1 111??)?1?1.3? R2R3R4 （3）R?９、

R1R41111?0.5? （4）R?(???)?1?0.25?

R1?R4R1R2R3R4如附图所示的电路中，a、b两端电压为9.0V，试求：

（１） 通过每个电阻的电流强度； （２） 每个电阻两端的电压。

解： （１）I1?I5?1.5mA I2?I10?0.75mA （２）U1?1.5V U5?7.5V U2?15V U10?7.5V １０、 如图所示，电路中R1=10kΩ，R２=5.0kΩ, R3=２.0kΩ,

R3=1.0kΩ，U=6V，求通过Ｒ３的电流。 解：

Ｒ１ Ｒ３

Ｒ２ Ｒ４ Ｕ

R1R3，中间联线无电流通过I2?U??2.0mA

R2R4R3?R4１１、 有两个电阻，并联时总电阻为2.4Ω,串联时总电阻是１０Ω。问这两个电阻的阻

106

《电磁学》思考题和计算题 第三章

值是多少？

解：Ｒ１＝６Ω Ｒ２＝４Ω

１２、 有两个电阻R1=3.6kΩ，R２=6.0kΩ,

（１） 它们串联接入电路中时，测得R1两端的电压为Ｕ1=50V，求R２两端的电压Ｕ２； （２） 当它们并联接入电路中时，测得通过R１的电流强度Ｉ１＝6.0Ａ,求通过R２的电

流Ｉ２。

解：（１）U2?RR2U1?60V （２）I2?1I1?5.0A R1R22Ωa 2 Ω c 2 Ω 2 Ω e 2 Ω 2 Ω g 6Ω 6Ω 4Ω １３、 电阻的分布如附图所示。

（１） 求Ｒab;

b 2 Ω d 2 Ω f 2 Ω 2 Ω h 2 Ω2Ω （２） 若４Ω电阻中的电流为１Ａ，求Ｕab. 解： （１）Ｒab＝８Ω

（２）Uef?12V Ief6?2A Ice?3A Ucd?36V Icd6?6A Iac?9A Ｕab=72V

１４、 在附图所示的四个电路中，求出所标文字的数值：

（１） 求Ｉ，Ｉ１； （２）求Ｉ、Ｕ； （３）求Ｒ； （４）求Ｉ１、Ｉ２、Ｉ３

1k 1mA I 5k I1

I 10V U 5k 1k 3Ω 12V

R 4Ω 2A

I1 1.0k I2 2.0k I3 3.0k （１） （２） （３） （４） 解： （１）I1?0.2mA I?I1?1mA?1.2mA （２）U?20V I?2mA （３）Ｒ＝６Ω

（４）Ｒ＝６k/11 U=6V/11 I1?0.54mA I2?0.27mA I3?0.18mA １５、 附图所示的电路中，已知Ｕ=3.0V, R1=R2. 试求下列情况下a 、b两点的电压。

（１） Ｒ３＝Ｒ４； （２）Ｒ３＝２Ｒ４； （３）Ｒ３＝Ｒ４／２

R１解： （１）Ｕab＝０

（２）Ｕa=U/2 Ub=U/3 Uab=U/6=0.5V

+ U - 107

aR３ b Ｒ4 Ｒ２

《电磁学》思考题和计算题 第三章

（３）Ｕa=U/2 Ub=2U/3 Uab=-U/6=-0.5V

１６、 附图所示电路中，当开关Ｋ断开时，通过R1、R2的电流各为多少？当开关Ｋ接通

时，通过R1、R2的电流又各为多少？ 解：（１）Ｋ断开时，I?I1?I2?1.5A

（２）Ｋ接通时，I?2A I1?I?2A

Ｒ１ ２Ω Ｒ２ ２Ω Ｋ Ｒ３ ２Ω ６Ｖ I2?I3?I/2?1A

１７、 附图所示电路，在开关Ｋ断开和接通两种情况下，a 、b两点之间的等效电阻Ｒab

和c、d之间电压Ｕcd各为多少？

解：（１）Ｋ断开时，Rab?R1?R2?10? Ucd?U/2?5V （２）Ｋ接通时，Rab?5? Ucd?0

b a 5Ω 5Ω K 5Ω

c d １８、 在附图所示的电路中，Ｕ＝12V, R1=30kΩ，R２=6.0kΩ, R3=100kΩ, R3=10kΩ，

R5=100kΩ, R6=1.0kΩ, R7=2.0kΩ。求电压Uab、Uac和Uad 解： Uab??UR??R1U??10V

1R1?R2 Uac??UR?2R2U?2V

R1?R2 Uad??R7R2????R?RRR2R7?56?1R5?R6????U??6V ???Ｒ１ Ｒ２

Ｒ５ Ｒ６ Ｒ３ b a d c Ｒ７ Ｒ４ Ｕ １９、 有一适用于电压为１１０Ｖ的电烙铁，允许通过的电流为0.7A，今准备接入电压

为２２０Ｖ的电路中，问应串联多大的电阻？ 解：Rx?Ux?157?

U1/R1２０、 一简单串联电路中的电流为５Ａ。当把另外一个２Ω的电阻插入时，电流减小为

４Ａ。问原来电路中的电阻是多少？ 解：Ｒ＝８Ω ２１、 在附图中，ε

１

=24Ｖ，r1=2.0Ω,ε2=6.0Ｖ，r2=1.0Ω,R1=2.0Ω，R２=1.0Ω, R3=3.0Ω

（１） 求电路中的电流； （２）a、b、c和d各点的电位；

108

《电磁学》思考题和计算题 第三章

（３）两个电池的路端电压； （４）若把6.0Ｖ的电池反转相接，重复以上计算。

解： （1）I??1??2R1?R2?R3?r1?r2ε１r1 R3 ε2r2 ?2A

a b c d （2）Ua =4V Ub =-16V Uc =-10V Ud=-2V （3）U1 =20V U2=8V （4）I?R1 R２ ?1??2R1?R2?R3?r1?r2?3.3A Ua =6.6V Ub =-10.8V Uc =-0.6V Ud=-3.3V

U1 =17.4V U2=2.7V ２２、 在附图的电路中已知ε

１

=12.0Ｖ，ε2=ε3=6.0Ｖ,R1=R２= R3=3.0Ω,电源的内阻都

ε３ Ｒ３

a b ε 可忽略不计。求：（１）Uab; (２)Uac; (３)Ubc. 解：（１）IR??1??2?1.0A Ｕab＝－３０Ｖ

2R1?R2 （２）Ｕac＝－１２Ｖ （３）Ｕbc＝－９Ｖ

２３、 一电路如附图所示，求：（１）Uab; （２）Ucd. 解： I?ε２

Ｒ２ １Ｒ１ 12V,1Ω 2Ω 2Ω 10V,1Ω 3Ω 8V,1Ω 2Ω 2Ω

?1??2R1?R2?R3?R4?r1?r2?0.4A

（１）Uab?I?R2?R3???2?10V （２）Ucd?I?R2?R3???2??1?0V

２４、 一个电阻为Rg=25Ω的电流计，当其指针正好到头时，通过的电流Ig=100mA。问：

（１） 把它改装成最多能测到1.00A的安培计时，应并联多大的电阻？ （２） 把它改装成最多能测到1.00０Ｖ的伏特计时，应串联多大的电阻？ 解：（１）应并联电阻R?IgRg?0.025?

SI?Ig （２）应串联电阻R?U?Ug?975?

SIg２５、 闭路抽头式多量程安培计的电路如图所示，设各接头分别与公共端组成的安培计的

量程为Ｉ１、Ｉ２、Ｉ３。它们之中哪个量程最大？哪个最小？试证明，Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３

的数值可以用下式计算：R1?R2?R3?IgI3?， Ｇ R1 R2 R3 109

公共端 I1 I2 I3

b

《电磁学》思考题和计算题 第三章

R1?R2?IgI2?，R1?IgI1?。其中

??R1?R2?R3?Rg.Rg为表头内阻，Ig是满

度电流。各档的满度电压是否相同？ 解：各档量程比较 I1>I2>I3

IgRg?(I3?Ig)(R1?R2?R3) R1?R2?R3?IgI3

?

Ig(Rg?R3)?(I2?Ig)(R1?R2) R1?R2?Ig(R2?R3?Rg)?(I1?Ig)R1 R1?IgI1IgI2?

?满度时Ｕ=ＩgRg相同，电压Ｕ３=ＩgRg,Ｕ２=Ｉg（Rg＋Ｒ３）,Ｕ１

=Ｉg（Rg＋R2+Ｒ3）

２６、 ＭＦ—１５型万用电表的电流档为闭路抽头式。如附图所

示表头的内阻Ｒg=2333Ω,满度电流Ｉg=150μA，将其改装成量程是500μA、10mA、100mA的多量程安培计。试计算出Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３的阻值，并标出三个接头的量程。

解：利用上题结果

G Ｇ R1 R2 R3 10mA 100mA 500μA

R1?R2?R3?IgI3?，R1?R2?IgI2?，R1?IgI1?，??R1?R2?R3?Rg

Ig?R???5.00??1I1??解得 Ig?III1?I2?gg???1?R?R?(?)?I?45.0???I?I?g?2II?IIg?3g?2112??III2?I3?ggR?(?)?Ig??950??3?IIII3223?２７、 多量程安培计为闭路抽头式，表头的满度电流Ｉg＝1.00mA ,内阻Ｒg=100Ω,改装为安

培计量程为2.0mA、１０mA和１００mA .计算出其中的电阻，画出线路图，并指明各接头的量程。

解：与上题同理。电路图如图所示。

R1?R2?(Ig?IgIgI1G ??80?I1?I2 Ig??18?I2I1I1I2IgIgI?I3R3?(?)??2Ig??2?I3I2I2I3)??R1 R2 R3 10mA 100mA 2mA

２８、 多量程伏特计电路如图所示。试证明：各档的内阻与量程的关系都是：内阻=量程／

110

《电磁学》思考题和计算题 第三章

Ｉg。例如对于量程为Ｕ１、Ｕ２、Ｕ３各档的内阻分别为：

Rg?Rm1，Rg?Rm1?Rm2，Rg?Rm1?Rm2?Rm3

则Rg?Rm1?U1/Ig，

Ｇ Rm1 Rm2 Rm3 Rg?Rm1?Rm2?U2/Ig， Rg?Rm1?Rm2?Rm3?U3/Ig

公共端 U1 U2 U3

（由此可见，只要已知1/Ig，就可算出所需要的各个扩程电阻。）

解：U1?Ig(Rg?Rm1)

U2?Ig(Rg?Rm1?Rm2) ——→各档均有 内阻=量程／Ｉg。 U3?Ig(Rg?Rm1?Rm2?Rm3)

２９、 ＭＦ－１５型万用电表的电压档如附图所示，表头满度电流Ｉg=0.50mA，内阻Ｒg=700

Ω,改装为多量程伏特计的量程分别为Ｕ１=10Ｖ，Ｕ２=50Ｖ，Ｕ３=250Ｖ。求各档的降压电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３。若再增加两个量程Ｕ４=500Ｖ，Ｕ５=1000Ｖ，又该如何？

解：Rm1?U1/Ig?Rg?19.3k?

Ｇ Rm1 Rm2 Rm3 U2 U1 U U3

Rm2?U2/Ig?(Rg?Rm1)?80k? Rm3?U3/Ig?(Rg?Rm1?Rm2)?400k? Rm4?U4/Ig?(Rg?Rm1?Rm2?Rm3)?500k? Rm5?U5/Ig?(Rg?Rm1?Rm2?Rm3?Rm4)?1M?

３０、 一伏特计共有四个接头如图所示，量程Ｕ１=3.0Ｖ，Ｕ２=15Ｖ，Ｕ３=150Ｖ。电流计的

U2 U1 U3 满度电流Ｉg=3.0mA，内阻为100Ω.问：

UＧ （１） 该伏特计的灵敏度（即每伏欧姆数）多大？ R R R 1 23（２） 当用不同接头时，伏特计的降压电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３各为多大？ 解：（１）１／Ｉg＝３８３Ω／Ｖ

（２）Ｒ１＝９００Ω， Ｒ２＝４０００Ω， Ｒ３＝４５００Ω

３１、 一个量程为１５０Ｖ的伏特计，它的内阻为２０kΩ.当它与一个高电阻Ｒ串联后接到

１１０伏电路上时，它的读数为5.0V.求Ｒ。 解：Ｒ＝４２０ＫΩ，

111

《电磁学》思考题和计算题 第三章

３２、 用伏安法测电阻Ｒ，由Ｕ／Ｉ＝Ｒ′计算的阻值是近似值。证明：当已知伏特计的内

阻ＲＶ，安培计的内阻ＲＡ时，对于安培计内接，电阻的精确值为Ｒx＝Ｒ′－ＲＡ；对于安

UA Ux 培计外接，电阻的精确值为

111??。 RxR?RVＡ Ｖ Ｒ解：（１）当ＲＡ<

Ix IV Ａ Ｒx Ｖ （２）当R<

111UUU???? I?

??RxRRVRRxRV３３、 甲乙两站相距５０Ｋm，其间有两条相同的电话线，有一条因在某地触地而发生故障。甲站的检修人员用附图所示的办法找出触地到甲站的距离x，让乙站把两条电话线短路，调节r，使通过检流计Ｇ的电流为０。已知电话线的电阻为6.0Ω/Km,测得r=360Ω.求x.

乙站 x r 50km 甲站 G Ｒ Ｒ 解：通过检流计的电流为零时，Ａ、Ｂ两点等电位。

由电桥平衡条件得 (r?Rix)I??50?(50?x)?RiI x=20km

３４、 为了找出电缆在某处由于损坏而通地的地方，也可以用附图所示的装置。ＡＢ是一条

长为100cm的均匀电阻线，接触点Ｓ可在它上面滑动。已知电缆长7.8km。设当Ｓ滑到SB=41cm时，通过电流计Ｇ的电流为零。求电缆损坏处到Ｂ的距离x。

Ａ

7.8km

解：通过检流计的电流为零，电桥平衡。

x Ｂ Ｓ G Ｋ

112

《电磁学》思考题和计算题 第三章

SB(2?7.8?x)?(100?SB)x?59x x=6.4km

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.4 复杂电路

１、

考虑一个具体的电路，例如电桥电路，验算n个节点列出的基尔霍夫第一方程组

３ Ｉ１ １ Ｉ Ｉ２ ＧＩ ５ ４ Ｉ４ Ｉ３ ２

中只有n-1个是独立的。

答：四个节点，根据基尔霍夫第一方程可列出四个方程 任取其中的三个方程，可得到

I?I?I?024

另外一个方程。即只有三个方?I1?I3?I5?0程是独立的 I4?I5?I2?0２、

ＵＢ

解：（１）UAB???I?R?r? （２）UAB???I?R?r?

（３）UAB????I1?I2?R?I1?R1?r? ３、

?I?I1?I2?0已知复杂电路中一段电路的几种情况如图所示，分别写出这段电路的ＵＡＢ＝ＵＡ－

A A A Ｒ Ｉ εr Ｒ Ｉ εr B B B Ｒ1 Ｉ1 εr I2 R2

考虑一个具体的电路，例如电桥电路，验算对m个独立回路列出的基尔霍夫第二

方程是相对独立的，而沿其他回路列出的方程可以由这m个方程组合得到。 答：根据基尔霍夫第二方程可得

ＡＣＤＡ I1R1?I5R5?I2R2?0

ＣＢＤＣ I3R3?I4R4?I5R5?0 ＡＤＢＡ I2R2?I4R4?Ir???0

Ｉ１ Ａ Ｉ ε r Ｒ１ Ｃ Ｒ２ ＧＩ ５ Ｒ３ Ｒ４ Ｉ２ Ｄ Ｉ４ Ｉ３ Ｂ

三个方程彼此独立，其中任何一个方程不能由其余两个方程组合而得到。但另一闭

合回路ＡＣＢεａ不是独立回路，其回路方程可由前三式相加得到。 ４、

理想的电压源内阻是多大？理想的电流源内阻是多大？理想电压源和理想电流源

可以等效吗？

答：理想电压源是外电路所提供的电压为一定值，因此其内阻应为零。理想电流源为外电路

所提供的电流为一恒定值，因此理论上理想电流源的内阻为无穷大。实际上只要把一个电池串联一个很大的电阻，就近似组成了一个理想电流源。因为在电流源的Ｉ０等于电压源的短路电流，电压源的内阻等于电流源的内阻时两电源等效，这在理想电流源和理

113

《电磁学》思考题和计算题 第三章

想电压源的情况下是不可能的，故理想电压源和理想电流源不可能等效。 ５、

叠加定理可以理解得更广泛一些，包括电路中有电流源情形，即电路中有多个电

源时，电路中任一支路的电流等于各个电源单独存在、而其他电源为零值时所产生的电流之和。因此应用叠加定理时，对于“其他电源为零值”的确切理解是重要的。在等效电源定理中要计算除源电路的电阻。“除源”也就是使电源为零值。零值电压源的端点间电压为零，这相当于短路情况。零值电流源相当于什么情况？ 答：零值电流源即对外电路提供的电流为零。相当于电路断路。 ６、

基尔霍夫方程组对于电流是线性的。叠加定理正是由方程组的线性导出的。考虑

１

在例题１中若ε答：在例题１中，ε

增为２倍，ε

２

增为３倍，电流Ｉ３为多少？

１

增为２倍，ε

２

增为３倍时，由叠加原理可得

??0.24A I2???0.06A I?I3??I3???0.3A ??0.36A I3???0.12A I3 I1习题： １、

一电路如图所示，已知ε

１

=1.5Ｖ，ε2=1.0Ｖ,R1=50Ω，R２=80Ω, R=10Ω,电池

R1 R２ ＩＲ３ 的内阻都可忽略不计。求通过Ｒ的电流。 解：设各支路电流如图所示。根据基尔霍夫方程

ε

１ I1?I2?I3?0 R1I1?RI3??1 解得 Ｉ３＝32mA

Ｉ１ Ｉ２

ε２

R2I2?RI3??2２、

３

一电路如图所示，已知ε

１

=3.0Ｖ，ε2=1.5Ｖ, ε3=2.2Ｖ,R1=1.5Ω，R２=2.0Ω, R

=1.4Ω,电池的内阻都已分别算在R1、R２、R３内。求Ｕab.

ε1

ε Ｉ1 Ｉ2 R3 ε3 Ｉ1＋Ｉ2

解：设各支路电流如图所示。根据基尔霍夫方程

??1??I1?I2?R1?I1R2??2?0R2I2?RI3???2?I1R2??3?I2R3?0I1??0.43AI2?2A２R1 R２ 得 I1?I2?1.57A

Ｕab＝-0.6V

３、

一电路如图所示，已知ε

１

=12Ｖ，ε2=9Ｖ, ε3=8Ｖ,r1= r2= r3= r4=1Ω,R1= R３=

ε ε ε １1R4= R5=2Ω,R２=3.0Ω,求: （１） a、b断开时的Ｕab；

Ｒ１ Ｒ３

r Ｒ５ Ｒ４

２２r Ｒ２ 114

３３r

《电磁学》思考题和计算题 第三章

（２） a、b短路时通过ε解：（１）a、b断开时，

2的电流大小和方向。

I??1??3r1?r3?R1?R3?R4?R5?0.4A

Uab?I?r3?R3?R4???3??2?1V

（２）a、b短路时，

I1?R3?r3?R4???3??I1?I2??r1?R5?R1???1?0I1?R3?r3?R4???3?I2(r2?R2)?2?0 解得 I2?

2A 13及

如果题中 ε2=１０Ｖ,则（１）Ｉ＝０.4A Ｕab＝０Ｖ

此时若（２）a、b再联接上，因两点之间电压为零，故短路后无电流，所以通过εε

３

１

的电流仍保持不变。

一电路如图所示，已知ε

１

４、

=1.0Ｖ，ε2=2.0Ｖ, ε3=3.0Ｖ,r1= r2= r3= r4=1.0

ε1r1 R1 ε3r3 Ω,R1=1.0Ω, R２=3.0Ω,求: （１） 通过电源３的电流； （２） Ｒ２消耗的功率； （３） 电源３对外供给的功率。

ε2r2 R2 解：（１）

?2?I2?R1?r1??I1r2??1?0 解得 ?I1?I2?＝0.29A

?I1?I2?R2??3??2?I1r2?02（２）P2?IR2?0.24W

（３）P??I1?I2??3??I1?I2?r3?0.78W

2５、 一电路如图所示，已知ε

１

=12Ｖ，ε2=6.0Ｖ, r1= r2= R1= R２= 1.0Ω,通过Ｒ３的

ε1r1 R1 R2 ε2r2 Ｉ３ R３ 解得 Ｉ１＝３Ａ， Ｉ２＝０Ａ

电流Ｉ３＝3.0A,方向如图所示。求: （１） 通过Ｒ１和Ｒ２的电流； （２） Ｒ３的大小。 解：（１）根据基尔霍夫方程

I1?I2?I3?0I1?R1?r1??I3R3??1I2?R2?r2??I3R3???2115

《电磁学》思考题和计算题 第三章

（２）Ｒ３＝２Ω ６、

一电路如图所示，求各支路电流及Ｕab。

a 20V1Ω 6Ω 4Ω 18V1Ω b

解：设各支路电流方向如图所示。根据基尔霍夫方程

I1?I2?I3?0 I1?R1?r1??I3R3??1I1?1A 解得 I2??1A Ｕab=13V

7V1Ω 2Ω I2?R2?r2??I3R3???2７、

r r I3?2Ar r r r r r r 分别求出下列图中a、b间电阻。

r r r r r r r 解：（１）电桥平衡Ｒ＝r （２）不平衡电桥 Ｒ＝1.4r （３）电桥平衡Ｒ＝r ８、

2Ω 10ｖ 3Ω 6ｖ

2Ω 3Ωｖ

10v 5v 将附图中的电压源变换成等效的电流源。

7Ω

解： （１）I0??/r?5A r0?2? （２）I0??/r?2A r0?3? （３）I0??/r2?2.5A r0?2? （４）不可能变换成等效的电流源。 ９、

5Ａ 2Ω

5Ａ 3Ω 3Ω

6Ａ 2Ω

将附图中的电流源转换成等效的电压源。

9Ａ ２Ω 解： （１）??10V r0?2? （２）??15V r0?3? （３）??12V r0?2? （４）不可能变换成等效的电压源 １０、 用等效电源定理解习题１。

解： 电流源１ I01??1/R1?0.03A r01?50?

R1 R２ ε1 Ｒ ε２

116

《电磁学》思考题和计算题 第三章

电流源２ I02??2/R2?0.0125A r02?80?

两个电流源并联 I0?I01?I02?0.0425A r0?30.77? 变换成等效电压源

??1.31V r0?30.77? I??R?r0?32mA

ε ε ε １1１１、 用等效电源定理解习题３中的（２）。

解： I01??1/(R1?R5?r1)?2.4A r01?5?

Ｒ１ Ｒ３

r Ｒ５ Ｒ４

２２r I02??3/(R3?R4?r3)?1.6A r01?5?

两个电流源并联 I0?I01?I02?4.0A r0?2.5? 变换成等效电压源

１２、 用等效电源定理解习题４。

３３r ??1.0V r0?2.5? I??2??R?r0?r2ε1r1 ?2A 13R1 ε3r3 25解：电压源 ???2?r2?V r0?? 3R1?r1?r23 通过电源３的电流为 I??2??1ε2r2 R2 A Ｒ1 Ｒ2 ?3??R2?r0?r3?2A?0.29A 7１３、 用等效电源定理求图３－３４中电桥电路的Ｉg。 解：将电流计两端断开。

I?G B ?(R1?R3)(R2?R4)R1?R2?R3?R4???R1?R2?R3?R4?(R1?R3)(R2?R4)?I1?I2 Ｒ3 Ｒ4 等效电源的电动势为UAB?I1R1?I2R2???R1R4?R2R3? 内电阻r0?R1R3?R2R4

R1?R3R2?R4(R1?R3)(R2?R4)???R1R4?R2R3? Ig?UAB?

r0?RgR1R2R3?R2R3R4?R3R4R1?R4R1R2?Rg(R1?R3)(R2?R4)１４、 电路中某点两端开路时测得的电压为10V，而此两端短接时，通过短路线上的电

流IS=2.0A.（１）等效电压源或电流源的内阻为多少？（２）在此两端接上5.0Ω的电阻时，通过此电阻的电流应为多少？

解： （１）Ｉ０＝２Ａ r0=5Ω（２）Ｉ＝１Ａ

１５、 附图a的电路中每个支路上的电阻均为1.0Ω,所有电源的电动势未知，但其内阻

117

《电磁学》思考题和计算题 第三章

为０。已知在某一支路上的电流大小及方向如附图中所示。问：

（１） 图b。在此支路上再串联一个２.0Ω的电阻，则此支路上电流的大小及方向如

何？

（２） 图c。在此支路上再并联一个２.0Ω的电阻，则通过２.0Ω电阻上电流的大小及

方向如何？

1Ω Ｂ

图c

０，内电阻为r0.

Ａ 5Ａ 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 2Ω 2Ω

图b 图a

解： （１）ＡＢ支路断开，设其余部分为等效电压源，设其电动势为ε r0＝１Ω为电桥电路的电阻，

?0????5?r0?1 解得Ｉ＝2.5A，方向由下至上。 由闭合电路的欧姆定律可得 ??????I?0?r0?2?1??0?5??r0?1 支路的总电流Ｉ＝6A，流过2Ω电阻的电流为2A，方向由下至上。 （２）???0?I??r0?2/3?１６、 试求附图中ab支路中的电流。 解：

１７、 用叠加定理解习题１。 解：电源1单独存在时 I?16V 5Ω 15Ω 25Ω 35Ω 10Ω 20Ω 30Ω 40Ω ?1RR2R1?R?R2??1?R?R2?R1R?R1R2?RR2

R1 R２ ε1 Ｒ ε２

118

《电磁学》思考题和计算题 第三章

流经R的电流为 I10?I 电源2单独存在时 I?2R2?R2?1?R?R2? R?R2R1R?R1R2?RR2??2RR1R?R1?2?R?R1?R1R?R1R2?RR2

流经R的电流为 I20?IR1?2?R?R1? R?R2R1R?R1R2?RR2 电阻R上的总电流为两电流的叠加 I?I01?I02?32mA １８、 用叠加定理解习题４。

ε1r1 R1 ε3r3 解：，

I1?r?Rr??R1?r1??223r2?R2?r3?1 I10?r2I1

r2?R2?r3ε2r2 R2 I2?r2??R1?r1??r2?R2?R1?r1?r2?R2?2 I20?r1?R1I2

r1?r2?R1?R2两电源同时存在时，总电流为 I?I01?I02?0.29A １９、 推导电阻的Ｙ形联接和△形联接的代数公式时，可以

用两种联接中任意两对应点之间的总电阻都分别相等作为条件。试推导之。

解：等效变换的条件是，在两种接法中，对应端流入或流出的

电流一一相等，对应端间的电压也一一相等。即经过变换后，不影响电路其他部分的电压和电流。当满足上述等效条件后，在两种接法中，对应的任意两端间的等效电阻也必然相等。

设三个端纽的电位分别为U1、U2、U3，流过的电流分别为 I1、I2、I3。当某一对应端（如C端）开路时，其他两对应端（a 和b）之间的等效电阻为

I2 a I1 U 1U3 c b U2

a U1 I1 I3 I2 b U2

I3 c U3 Ra?Rb?Rab(Rbc?Rca)Rab?Rbc?Rca R?R?Rbc(Rca?Rab) 联立三式，可得到两种等效变换的公式为

bcRbc?Rca?RabRc?Ra?Rca(Rab?Rbc)Rca?Rab?Rbc Y—△ △—Y

119

《电磁学》思考题和计算题 第三章

R12?R1R2?R2R3?R3R1R3R1?R31R12R12?R23?R31R32R23 R?R1R2?R2R3?R3R1 R?

232R1R12?R23?R31RR?R2R3?R3R1R23R31R31?12R3?R2R12?R23?R31２０、 将附图中所示电阻的Ｙ形联接变换为△形联接。

解：

12Ω

２１、 将附图中所示电阻的△形联接变换为Ｙ形联接。 解：

２２、 用Ｙ—△代换求习题７中图b的等效电阻。 解：

r r r r r r r r/2 2r r r r/2 r/4 r 2r r 2 r

2Ω 2Ω 2Ω 1Ω 1/2Ω 1/3Ω 1/11Ω 3/11Ω 2/11Ω 6Ω 6Ω 3Ω 1/2Ω 1Ω

1/3Ω 1Ω

12Ω 19/3Ω 19/4Ω 2/3Ω 3/4Ω

12Ω 4Ω 4Ω 4Ω 4Ω 3Ω 1Ω 12Ω 19Ω 9/8Ω 1/2Ω 1/4Ω 1/3Ω 19Ω 6Ω

2Ω R=1.4r

２３、 求附图中所示电路中的电流Ｉ。 解：将图中的△形联接变换成Ｙ形联接

变换后的电路为平衡电桥

120

Ｉ１Ω ４Ｖ １Ω １Ω Ｉ１Ω ４Ｖ １Ω １Ω ２Ω ２Ω ２Ω

６Ω ６Ω ６Ω

《电磁学》思考题和计算题 第三章

中间支路的两个电阻不起作用 电路的等效电阻为 Ｒ＝４／３Ω 电路中的总电流为 Ｉ＝３Ａ

２４、 求附图中所示双Ｔ桥电路的等效电阻。 解：双Ｔ桥分别变换成两个△形并联，两个△形及最右

端的２Ω并联，等效电路如图所示

整个电路的等效电阻为 Ｒ＝118/93Ω

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

20/9Ω 40/21Ω

20/19Ω

１Ω １Ω ２Ω ２Ω １Ω ２Ω ２Ω ８Ω 5/2Ω ４Ω ４Ω 5Ω 5Ω

§3.5 温差电现象

思考题：

１、 如附图所示的温差电偶中，T2>T1,试根据热力学第二定律分析一下，除了导体上产生的

焦耳热外，在哪儿吸收热，在哪儿放出热？若nA>nB,试分析电偶中温差电流的方向。 答：温差电偶中，两种不同金属A和B的两个接触头的温

度不同，温差电动势作用下在闭合回路中产生温差电流。在此过程中，热端T2的温度下降，冷端T1的的温度升高。由热力学第二定律可知，热端的一部分内能转

化为电磁能（产生温差电流），另一部分则在冷端放热，因此在高温热源处吸收热，在低温热源处放热。

若nA>nB，两种不同金属A和B两个接头处有帕尔帖电动势，金属A和B中产生

两个汤姆逊电动势，整个回路的温差电动势是四个电动势的代数和。由此可知，电偶中温差电流的方向是从高温接触点T2经过金属A的内部，通过低温接触点T1，经过金属B的内部回到高温接触点，如此循环往复，温差电流的方向如图所示。

T1 ２、 试论证：如图所示，在Ａ、Ｂ两种金属之间插入任何一种金属Ｃ，只

要维持它和Ａ、Ｂ的联接点在同一温度Ｔ２，其中的温差电动势与仅由Ａ、Ｂ两种金属组成的温差电动势一样。

答：A、B两种金属之间插入第三种金属C时，组成一闭合回路。回路的

A C B 放热 T1 A B 吸热 T2 T2 T 2 121

《电磁学》思考题和计算题 第三章

总电动势是三个珀尔帖电动势与三个汤姆逊电动势的代数和。

?ABC?T1,T2???AB?T1???BC?T2???CA?T2,????A?T?dT???B?T?dT???C?T?dT

T1T1T1T2T2T2 ??BC?T2???CA?T2,??kT2lnnBnc?kT2lnnB??BA?T2,????AB?T2,?

enCnAenA

?T1T2?C?T?dT?0

T1T2??ABC?T1,T2???AB?T1???AB?T2?????A?T???B?T??dT??AC?T1,T2?

即中间导体两端温度相同时，不影响总的温差电动势。 ３、 实际的温差电偶测量电路如图所示。右边两导线Ｃ接

电位差计。电位差计中的导线和电阻可能由其他金属材料制成。试论证：只要接到电位差计的两根导线材料相同，并且电位差计中各接触点维持同一温度（例如室温），则温差电偶整个回路中的温差电动势仅由金属Ａ、Ｂ和Ｔ、Ｔ０决定。

T0 T B A C C 接

电 位 差 计

答：设电位差计中导线和电阻由金属D制成。电位差计中各接触点维持同一温度T0，整个

回路ABCD的总温差电动势为

?ABDC?T,T0,Tn???AB?T???BC?T0???CD?Tn,???Dc?Tn,???CA?T0,?

?n?A?T?dT?0?B?T?dT?n?C?T?dT?n?D?T?dT

????T0TT0TnTTTT 其中 ?CD?Tn,???Dc?Tn,??0， ??T????T??kTlnnBnC?kTlnnB???T?????T?

BC0CA0,BA0AB0enCnAenA?TnTn?D?T?dT?0

即：?ABDC?T,T0,Tn???AB?T???AB?T0???TnT0?A?T?dT???B?T?dT

TT0 ??ABT??AB?T0????????T????T??dT???T,T?

T0ABAB0Tn结果表明：只要接到电位差计的两根导线材料相同，并且电位差计中各接触点保持同一温度，则联接导线和电位差计的插入并不影响总的温差电动势。 ４、 试论证：如图所示，温差电堆的电动势是各温差电偶的电动势之和。 答：与上题同理

?ABAB?AB??AB?T2???BA?T1?????AB?T2???BA?T1?

???A?T?dT???B?T?dT????A?T?dT???B?T?dT

T1T1T1T1T2T2T2T2T1 T2 122

《电磁学》思考题和计算题 第三章

??AB?T2,T1???AB?T2,T1????AB?T2,T1?

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.6 电子发射与气体导电

习题： １、

试推导当气体中有正负两种离子参与导电时，电流密度的公式为：

???j?n?q?u??n?q?u?。其中n、q、u分别为离子的数密度、所带电量和漂移速度。 ??解：在导体中取面积元△S，在单位时间内通过△S的正离子所带的电量为n?q?u???S，

??同时通过的负离子所带电量为n?q?u???S，即通过△S的电流强度为 ????? I??n?q?u??n?q?u????S?j??S

j?n?q?u??n?q?u? ２、

若有一个真空二极管，其中阴极和阳极是一对平行导体片，面积都是2.0cm2,它们

???之间的电流I完全由电子从阴极飞向阳极形成。若电流I=50mA，电子到达阳极时的速率是1.2×107m/s，求阳极表面外每立方毫米内的电子数。 解：电子的数密度为 n?３、

jI??1.3?1014个/m3 eueuS用X射线使空气电离时，在平衡情况下，每立方厘米有108对离子，已知每个正

负离子的电量都是1.6×10-19C，正离子的漂移速率为1.27cm/s,负离子的平均定向速率为1.84cm/s,求这时空气中电流密度的大小。 解：j?ne(u??u?)?5.0?10４、

????8A/m2

空气中有一对平行放着的极板，相距为2.00cm，面积都是300cm2。在两极板上加

150V电压，这个值远小于使电流达到饱和所需的电压。今用X射线照射板间的空气，使其电离，于是两板间便有4.00μA的电流通过。设正负离子的电量都是1.6×10-19C，已知其中正离子的迁移率（即单位电场强度所产生的漂移速率）为1.37×10-4 m2/s·V,负离子的迁移率为1.91×10-4 m2/s·V,求这时板间离子的浓度（即单位体积内的离子数）。 解：因单位体积内正负离子数相等

123

《电磁学》思考题和计算题 第三章

n??n??jI??3.39?1014个/m3 ????e(u??u?)e(u??u?)S５、

在地面附近的大气里，由于土壤的放射性和宇宙线的作用，平均每1cm3的大气里

约有5对离子，已知其中正离子的迁移率为1.37×10-4 m2/s·V,负离子的迁移率为1.91×10-4 m2/s·V, 正负离子的电量都是1.6×10-19C。求地面大气的电导率。 解：由j??E?ne(u??u?)得

???????u?u???ne??E?E??16??3?10S/m) ?―――――――――――――――――――――――――――――――――――

第三章 结 束

124

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