大学物理简明教程(吕金钟)第四章习题答案

第四章 电磁学基础

静电学部分

4.2 解：平衡状态下受力分析 +q受到的力为：

?Fqq'?q'q

4??0r21?Fq?4q??14??0?qq'?4q?4q?q

l2rl??处于平衡状态：Fqq'?Fq?4q??0

q'q1?4q?q??0 （1） 224??0r4??0l1?同理，4q受到的力为：F?4q?q'?q'?4q? 4??0?l?r?21

?F?4q?q?q?4q? 4??0l21??F?4q?q'?F?4q?q?0

q'?4q?1q?4q???0 224??0?l?r?4??0l1 （2）

通过（1）和（2）联立，可得： 4.3 解：根据点电荷的电场公式：

?E?q?e 2r4??0r14lr?，q'??q

93?E??E?P?E?点电荷到场点的距离为：r2?l2

E??q 224??0r?l1?r两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称： ?q

E//?2E?cos? cos??rr?l22E??0

+ O?qll+

所以：

E?2E?cos??2q4??0r2?l21rr?l22?12??0r2?l2?qr?32

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当r??l E?q12q ?222??0r4??0r1与点电荷电场分布相似，在很远处，两

个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。

4.4 解：取一线元dq??Rd?，在圆心处

dq1?Rd?产生场强：dE? ?4??0R24??0R21?EO??分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向 的分量叠加：

?Exx?dE??x?01?Rd?? sin??4??0R22??0R?Rd?方向：沿x正方向

4.5 解：（1）两电荷同号，电场强度为零的点在内侧； （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7 解：线密度为λ，分析半圆部分：

dq??dl??rd?

点电荷电场公式：

?E?q?er

4??0r214??01dly?rO??Ex?Ex在本题中： E??rd?r2

14??0?Ey电场分布关于x轴对称：Ex?Esin??进行积分处理，上限为

E??Esin?????rd?r2sin?，Ey?0

??，下限为?：

2214??0?rd?r20sin????? sin?d??4??0r?02??0r??sin?d??(cos?1?cos?2) 4??0x4??0x方向沿x轴向右，正方向 分析两个半无限长：

Ex??dEx???2?2?1Ey??dEy???1??cos?d??(sin?2?sin?1) 4??0x4??0x深圳大学 深圳大学 2

?1?????，?2??， Ex?，Ey? 24??0x4??0x两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量：

E?2Ex?2?? ?4??0r2??0r在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。

那么大O点的电场强度为：

E??????0 2??0r2??0rR O S1 S2 4.8 解：E的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。所以

通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半

?径圆面的电通量，即：?1??2??R2E

?Q?4.9 解：均匀带电球面的场强分布：E??4 π?0r2??0?E图4-94 习题4.8用图

?r?R?

?r?R??q球面R1、R2的场强分布为：

?q?E1??4 π?0r2??0?r?R1?

?r?R1???q?E2??4 π?0r2??0?r?R2?

?r?R2?qR1R2根据叠加原理，整个空间分为三部分：

??E1?E2?0?q?E??E1?E2?24??r0?q?q?E?E???0222?14??0r4??0r??r?R1??R1?r?R2? ?r?R2?根据高斯定理，取高斯面求场强：

???0???q???E?dS?4?r2E??S??0?q??q???0?r?R1??R1?r?R2? ?r?R2?

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?0??q场强分布：E??2?4??0r??0?r?R1??R1?r?R2?

?r?R2?方向：沿径向向外

4.10 解：（1）、这是个球对称的问题

???e??E?dS?E?dS?E4?r2

SS?ER当r?R时，高斯面对包围电荷为Q

E4?r2?Qrr?0 E?Q 4?r2?0QQr3 E4?r??0R32当r?R，高斯面内包围电荷为q

4?r3QQr3q??3

34?R3R3 E?Qr

4??0R3方向沿径向

（2）、证明：设电荷体密度为??

43?R3这是一个电荷非足够对称分布的带电体， 不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带 电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀 带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的 均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时 补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场 叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为：

??? E?E1?E2

???在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为： E1?r

3????r' 在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： E2?3Q??a?r?r'??所以

深圳大学 ??????Q???r?r'???aE?E1?E2??a 3?03?04??0R3深圳大学 4

4.11 解：利用高斯定理，把空间分成三部分

??0????14???E?dS?4?r2E???r3?R13?S??03?1433?R?R?21??3?0?r?R1??R1?r?R2? ?r?R2??r?R1?R1???R2????0???r3?R13场强分布： E??2?3?0r??33R?R1?3?r22?0????R1?r?R2? ?r?R2??方向：沿径向向外

4.12 解：取闭合圆柱面为高斯面，高斯定理

?l?r2?????????E?dS?2?rlE??02S?l?R????0?r?R??r?R?

2Rr??r???2?场强分布：E??20?R???2r?0方向沿径矢方向

?r?R??r?R?

4.14 解：无限大带电平面的电场分布为：E?（1）电荷面密度均为σ

?，场强叠加 2?0?E???在一区：E?2??

2?0?0在二区：E??2?0??E?2?0?E?2?0E?三????0 2?02?0??? 2?0?0?2?0一二在三区：E?2?（2）电荷面密度分别为σ和-σ ?E??????0 在一区：E?2?02?0深圳大学 ?2?0????E?2?0??E??2?0E??0大学 5 深2圳二一三

(A) H仅与传导电流有关；

???(B) 不论抗磁质或顺磁质，B总与H同向；

?(C) 通过以闭合曲线L为边线的任意曲面的B通量均相等；

(D) 通过以闭合曲线L为边线的任意曲面的H通量均相等。 4.55 什么是玻印亭矢量？它与电场和磁场有什么关系？

??1??答：电磁波的能流密度矢量叫玻印亭矢量，它和电场与磁场的关系是S?E?B。

?04.56 给平行板电容器充电时，玻印亭矢量指向电容器内部，为什么？如果给电容器放电，

情况又如何？

????答：电磁场的能流密度矢量――玻印亭矢量S?E?H，S的方向代表能量的传播方

向，大小等于单位时间内流过与能量传播方向垂直的单位横截面的能量。所以给平行板电容器充电时，玻印亭矢量指向电容器内部，放电时指向电容器外边。 4.57 电磁波的能量中电能和磁能各占多少？

答：

4.58 麦克斯韦方程组中各方程的物理意义是什么？

答：

??S??D?ds???dV是电场的高斯定理。说明总的电场和电荷的关系。

V??B??dS?0是磁场的高斯定理。磁场是无源场，说明目前自然界中没有单一的“磁?s荷”存在。

????B??lE?dl???s?t?ds是法拉第电磁感应定律。说明总的电场和磁场的关系，包含变?化的磁场激发电场的规律。

????D?H?dl?(j??l?s?t)?ds是一般形式下的安培环路定理。说明磁场和电流以及变化?电场的联系，包含变化的电场激发磁场的规律。

4.59 真空中静电场的高斯定理和电磁场的高斯定理具有完全相同的形式，试问在理解上两

者有何区别？ 答：静电场的高斯定理

??S??D?ds???dV，说明了静电场是有源场，指出了电荷与电

V深圳大学 深圳大学 26

场的关系。一般电磁场中包括静电场与感生电场，感生电场是无源场，所以对于电磁场的高斯定理就和静电场的高斯定理具有相同的形式。

??S??D?ds?0，

??4.60 对于真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都满足??B?dS?0，在理解上有何不同？

??答：对于真空中稳恒电流的磁场的高斯定理为??B?dS?0。说明稳恒电流的磁场是无

源场。一般电磁场包括稳恒电流的磁场和变化电场空间中的磁场。变化电场的磁场也

??是无源场。所以一般电磁场也满足??B?dS?0。

习 题

4.1 两个相距1m的静止点电荷，带电量均为1库仑，求它们之间相互作用力的大小。 解：由库伦定律可得，两电荷之间相互作用力的大小为 F?q1q21?1??9.0?109N 2?1224??0r4?3.14?8.85?10?14.2 两个固定的点电荷，相距为l，带电量分别为q和4q。试问在何处放一个何种电荷可

以使这三个电荷达到平衡？

解：三个电荷平衡时，每个电荷都受到两个大小相等方向相反的力。由已知条件得，应该在

两固定点电荷连线之间放一个带负电的电荷，设其电量为-q′，与q的距离为r（0

- q′受力平衡，由库伦定律有

1qq?4qq?0?r?lr?l。 结合可得?2234??0r4??0(l?r)q受力平衡，由库伦定律有

4qq?4q2?q?q。 可得?2294??0r4??0l故要使这三个电荷达到平衡应该在两固定电荷连线之间距带电量为q的电荷l处放一带电量为?134q的电荷。 94.3 两个相距为2l的点电荷带电量均为q，试求在它们连线

的中垂面上离连线的中点距离为r处的电场强度。如果y E2 P E1 θ x r??l，结果如何？ 解：P点到两个带电量均为q的点电荷的距离都是r2?l2，深圳大学 深圳大学 r 27 q θ l θ l q

所以两个点电荷在P点产生的场强大小相等，即

E1?E2?q

4??0r2?l21?????但方向不同。场点P的场强E?E1?E2，其两个分量Ex和Ey分别等于E1和E2在x，y

方向投影的代数和，根据对称性可以看出：Ex?0,Ey?2E1sin?。故P点场强大小为

E?|Ey|?2E1sin??q4??0r2?l22rr2?l2?qr

2??0(r2?l2)3/2方向沿y轴正方向。

如果r??l，可忽略l的高次项，有

E?qrq ?223/222??0(r?l)2??0r4.4 半径为R的半圆环均匀带电，线电荷密度为?，求其环心处的电场强度？ 解：建立如图所示的坐标系，在半圆环上取一小

段圆弧，其长度为Rdθ，则其带电量为

y dq dq??Rd?

此段圆弧在环心O点产生的电场强度为

dE?dq?d? ?4??0R24??0RdEx dE θ O dEy x ?由半圆环的对称性可知O点的电场强度E沿y

轴负方向，所以有

dEy?dEsin???sin?d?

4??0R故环心处的电场强度大小

E?Ey??dEy???0?? sin?d??4??0R2??0R4.5 两个点电荷相距为d，带电量分别为q1和q2。求在下列两种情况下两点电荷连线上电

场强度为零的一点的位置：1)两电荷同号；2）两电荷异号。

解：（1）两电荷同号时，在其连线外侧电场强度方向相同，内侧电场强度方向相反。故电场强度为零的点在两电荷连线内侧，设该点与q1距离为r1(r1?0)，由场强叠加原理有

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q14??r201?q2?0 可得r1?24??0(d?r1)q1dq1?q2

（2）两电荷异号时，在其连线内侧电场强度方向相同，外侧电场强度方向相反。故电场强度为零的点在两电荷连线外侧，如果该点在q1外侧，设与q1距离为r2(r2?0)，由场强叠加原理有

q14??r202?q2?0 可得r2?24??0(d?r2)q1dq2?q1

如果该点在q2外侧，同上可得电场强度为零的点与q2的距离r2??q2dq1?q2

讨论：若q1?q2，则r2和r2?的分母均为零，不存在电场强度为零的点；

??0，故电场强度为零的点在q2外侧若q1?q2，则r1?0，r2q2dq1?q2q1dq2?q1处；

??0，故电场强度为零的点在q1外侧若q1?q2，则r1?0，r2处。

4.6 电荷Q均匀地分布在长为2l的一段直线上。试求在直线的延长线上距线的中点

r?r?l?处的电场强度。

解：建立如图所示的坐标系。在带电直线

Qdx，上取电荷元dq??dx?它在O点2l产生的电场强度大小为

2l x dx r-l O dE?dq?dx ?4??0x24??0x2因为任一电荷元在O点产生的电场强度的方向相同，所以整个带电直线在O点产生的电强度大小为

E??dE??故

?dxQ? 22r?l4??x24??(r?l)00r?l? E???Qi 224??0(r?l)4.7 一无穷长均匀带电线弯成如图4-93所示的形状。求圆心O处的电场强度。 解：参考习题4.4可得，半圆环在圆心O处的电场强度大小dE O 深圳大学 ?O 29 4.7学用图深习题圳大 dEx R 图4-93 θ O′

x dx

为

?（R为半圆环的半径），方向水平向右。下面我们来计算剩下部分在O点产生的

2??0R场强，建立如图所示的坐标系，在带电直线上取电荷元dq??dx，它在O点产生的电场轻度大小为

dE?dq?dx ?2224??0r4??0(x?R)?由带电线的对称性可知O点的电场强度E沿x轴负方向，所以有

dEx?dEcos???dx4??0(x?R)222xx?R2??xdx4??0(x?R)223/2

所以剩下部分在O点产生的场强大小

E?Ex??dEx????xdx4??0(x2?R2)3/20??

2??0R方向水平向左。与半圆环在圆心O处的电场强度大小相等方向相反，故整个带电线在圆心O处的电场强度为0。

4.8 在场强为E的均匀静电场中，取一半径为R的半球面，E的方向和半球面的轴平行，

如图4-94所示，试求通过该半球面S1的电通量。若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S2，则通过S2面的电通量又是多少？

R 解：由S1和以R为半径的大圆面S0组成一个封闭曲面S，由高斯定理知：

O S1 S2 ???E???E?dS?S?q?0i?0

图4-94 习题4.8用图

而

???????E?dS??E?dS??E?dS?0

SS0S1所以通过S1的电通量

?S1??S1????E?dS???E?dS?ES??R2E

S0同理，由S2和以R为半径的大圆面S0组成一个封闭曲面S?，则可得通过S2的电通量

?S2??S2????E?dS???E?dS?ES??R2E

S04.9 两个同心均匀带电球面，半径分别为R1和R2?R1?R2?，带电量分别为?q和?q。试

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dU?dq4??0R

由电势叠加原理，球冠面在球心出的电势为

U??dU??dq4??0R?14??0R?dq?Q4??0R

4.18 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，求其电势分布。

解：根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的，取与球体同心、半径为r的球面为高斯面，由高斯定理有 （1）r?R区域

??1?e??E?dS?E?4?r2?S43Qr3?r? 34?0?R33?0R3QE?（2）r?R区域

Qr

4??0R3??Q?e??E?dS?E?4?r2?

S?0E?Q4??0r2

设无穷远处为电势零点，球体外任一点P的电势为

U???P????E?dl??Edr??rrQ4??0r2dr?Q4??0r

球体内任一点P的电势为

???R?RU??E?dl??Edr??Edr??PrRr?QrQdr?dr 32?R4??0R4??0rQr2QQr2????(3?2) 38??0R8??0R4??0R8??0RRQ4.19 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1和R2?R1?R2?。设其带电量分别为q1和q2，

求两球面的电势及二者之间的电势差。

解：由高斯定理可求出一个半径为R的均匀带电球面内外的场强为

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?Q(r?R)?E??4??0r2

?(r?R)?0球面外场强方向沿径矢方向。设无限远处为电势零点，根据电势的定义，球面外任一点P的电势为

U??球面内任一点P的电势为

?P????E?dl??Edr??rrQ4??0r2dr?Q4??0r

U???P??R??E?dl??Edr??Edr?0??rRRQ4??0rdr?2Q4??0R

概括起来，均匀带电球面内外的电势分布可写成

?Q?4??r?0U(r)???Q??4??0Rq14??0R1q24??0R2?r?R?

?r?R?q14??0R2q24??0R2由电势叠加原理可得，两个均匀带电的同心球面上的电势分别为

U1??，U2??

两球面之间的电势差为

U12?U1?U2?q14??0R1?q14??0R2?q14??0(11?) R1R2σ1

σ2

σ3

4.20 如图4-96所示，三块互相平行的均匀带电大平面，面电荷

密度分别为?1?1.2?10?4C/m2、?2?2.0?10?5C/m2、

?3?1.1?10?4C/m2。A点与平面II相距为5.0cm，B点

与平面II相距7.0cm。求A、B两点的电势差。

解：设水平向右方向为电场正方向，则在平面I和平面II之间，平面I产生的场强为?12?0，平面II产生的场强为??22?0，

I

A B

II III

图4-96 习题4.20用图

平面III产生的场强为??32?0，所以平面I和平面II之间场强为

?1?2?35?10?6 E?????2?02?02?0?0深圳大学 深圳大学 37

在平面II和平面III之间，平面I产生的场强为?12?0，平面II产生的场强为?22?0，平面III产生的场强为??32?0，所以平面II和平面III之间场强为

?1?2?31.5?10?5 E?????2?02?02?0?0由电势差的定义可知

UAB?UA?UB??BA??IIBIIBE?dl??Edl??E?dl?E?dl?E??dlAIIAII5?10?61.5?10?5?2???5?10??7?10?2?9.0?104(V)?12?128.85?108.85?10

4.21 在距一个原来不带电的导体球的中心r处放置一电量为q的点电荷。求导体球的电

势？

解：点电荷在导体球的中心产生的电势

U1?q4??0r

导体球原来不带电，放置电量为q的点电荷后，会在导体球的表面产生感应电荷，但感应电量的代数和仍然为零。在导体球表面上任取一电荷元dq，它在导体球中心产生的电势为

dq4??0r，由电势叠加原理有，导体表面所有电荷在导体球中心产生的电势

U2??dq4??0r?4??0rq?dq?0

由于导体球是等势体，故其电势等于球心的电势

U?U1?U2?4??0r

4.22 两个半径分别为R1和R2?R1?R2?的无限长同轴圆筒，电荷线密度分别为??和??，

求两筒的电势差。

解：根据电荷的轴对称分布可知电场应是轴对称分布的，以直圆筒轴线为轴，作一半径为r，高为l的闭合圆柱面为高斯面。在R1?r?R2区域，由高斯定理有

??1?e??E?dS?E?2?r?l?l?

S?0E?? 2??0r则两筒的电势差

深圳大学 深圳大学 38

U?UR1?UR2??R2R1??R2R2E?dl??Edr??R1R1R??dr?ln2 2??0r2??0R14.23 在半径为R的导体球外离球心r处放置一电量为q的点电荷，测得此时导体球的电势

为零，求导体球上的带电量。

解：设导体球上的带电量为Q，由于导体球是等势体，所以其球心电势也为零。由电势叠加原理有

q4??0r?Q4??0R?0

可得导体球上的带电量

Q??Rq r+Q 4.24 如图4-97所示，带电量为?Q的导体球A的外面，

套有一个同心的不带电的导体球壳B，求球壳外距球心r处的P点的电场强度？如果将球壳B接地，P点的电场强度又是多少？

解：根据电荷的球对称分布可知电场应是球对称分布的，取与球体同心、通过P点半径为的球面为高斯面，由高斯定理有

（1）球壳B不接地时，B内表面感应电量为?Q，B外表面感应电量为?Q

B 图4-97 习题4.24用图

A O r P

r??Q?Q?QQ?e??E?dS?E?4?r2??

S?0?0E?Q4??0r2

P点场强沿OP方向

（2）球壳B接地时，B内表面感应电量为?Q，B外表面不带电

??Q?Q?e??E?dS?E?4?r2??0

S?0E?0

4.25 对于两无限大平行平面带电导体板，证明：相向的两面上，σ电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电A 深圳大学 1 σ2 σ3 σ4 B 深圳大学 39

荷面密度总是大小相等而符号相同。

证明：如图所示，设两导体板各面上电荷面密度分别为?1，?2，?3，?4。两导体板内部各点场强均为零，由场强叠加原理有

EA??1?2?3?4????0 2?02?02?02?0?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0EB?联立以上两式，可得

?1??4，?2???3

即相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相同，命题得证。

4.26 用两面夹有铝箔的聚乙烯膜做一电容为2.5?F的电容器。已知膜厚3.5?10mm，介

电常数为2.5?10?11Fm，那么膜的面积要多大？ 解：由C??2?Sd得

2.5?10?6F?3.5?10?5mS???3.5m2 ?11?2.5?10F/mCd即膜的面积要为3.5m

4.27 一平行板电容器两极板相距为2.0mm，电势差为400V，两极板间相对介电常数为

2?r?5.0的均匀玻璃片。略去边缘效应，试求玻璃表面上极化电荷的面密度。

解：由题意可知d?2.0mm，?U?400V，?r?5.0，对于平行板电容器有

?U?Ed?可得

E0d?r

?U400V5??2?10V/m ?3d2.0?10m?U?r400V?5.0E0???1?106V/m ?3d2.0?10mE?极化电荷产生的电场强度

E??E?E0?8?105V/m

则玻璃表面上极化电荷的面密度

深圳大学 深圳大学 40

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