数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第四章

微商与微分

第四章 微商与微分

第一节 微商的概念及其计算

1.求抛物线y x2在A(1,1)点和B( 2,4)点的切线方程和法线方程。解：函数y x2的导函数为y' 2x,则它在A(1,1),B( 2,4)的切线斜率分别为 y'(1) 2,y'( 2) 4;

于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为y 2x 1,y 4x 4.

由于法线斜率与切线斜率的乘积为 1,故可以求得在这两点的法线斜率分别为11

k1 ,k2 ；

24

1319

那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为y x ,y x .

22421

2.若S vt gt2,求

2

(1)在t 1,t 1 t之间的平均速度(设 t 1,0.1,0.01);(2)在t 1的瞬时速度。(1)可以求得解：

1

S v g(1) 2

S(1 1) 2v 2g

; 1.21

S(1 0.1) 1.1v 2g

S(1 0.01) 1.01v 1.0201g 2

于是有

S(1 1) S(1) v v 1.5g 1

1

S(1 0.1) S(1)

v2 v 1.05g;

0.1

S(1 0.01) S(1) v v 1.005g 3

0.01

dS

(2)由于S' y gt,于是S'(1) v g,在t 1的瞬时速度为v g.

dt

3.试确定曲线y lnx在哪些点的切线平行于下列直线：(1)y x 1,(2)y 2x 3

1

解：函数y lnx的导函数为y' ;

x

1

(1)令y' 1,可得x 1;y(1) ln1 0,故曲线在点(1，的切线平行于直线0)y x 1；

x111

(1)令y' 2,可得x ;y(1) ln ln2,故曲线在点(2， ln2)的切线平行于y 2x 3.

x22

微商与微分

x2 x 3

4.设f(x) ,试确定a,b的值，使f(x)在x 3处可导。

ax b x 3

f(3 x) f(3)(3 x)2 326 x x2

解：可以求得lim lim lim 6；

x 0 x x 00 x x x

令

3a a x b 9f(3 x) f(3)a(3 x) b 32

6, lim lim lim

x 0 x 0 x 0 x x x

那么必有

3a b 9 0

a 6解得：a 6,b 9.

5.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程。

x2

(1)y , P(2,1); (2)y cosx, P(0,1).

4

x2x

解：(1)函数y 的导函数为y' ,则在P点的切线斜率为k y'(2) 1;由于同一点的切线与

42

1

法线相垂直，于是法线斜率为k1 1.因此由点斜式可以求得在P点的切线与法线分别

k

为y x 1,y x 3.

(2)函数y cosx的导函数为y' sinx,则在P点的切线斜率为k y'(0) 0;因此由点斜式可以求得在P点的切线为y 1.

由于在同一点的法线与切线相垂直,于是在此点的法线为x 0.

微商与微分

6.求下列函数的导函数：(1)f(x) x

3

3 x x 0

,那么对于 x0 R 有解：f(x) x 3

x x 0

f(x0 x) f(x0)

f'(x0) lim

x 0 x

(x0 x)3 x03

lim

3

对于 x0 R 有

x 0时有

f'(0) 0.综上可得

x 0 x

x30 3x20 x 3 x2x0 x3 x3

0 lim

x 0 x

3x20 x 3 x2x0 limx3

x 0 x

3x20;

f'(xf(x0 x) f(x0)0) lim

x 0 x

(x0 x)3 ( x30)

lim

x 0 x

x30 3x20 x 3 x2x0 x3 x3

lim

0x 0 x

3x23

0 x 3 x2x0 x limx 0 x

3x20;

f'(0 0) f(0 x) f(x) x3 lim 0

x 0 x limx 0 x

0,

f'(0 0) f(0 x) f(x) x3 0

limx 0 x limx 0 x

0,

f'(x) 3x2 x 0

3x2

x 0

.当因此

微商与微分

x 1 x 0

(2)f(x)

1 x 0

解：对于 x0 R 有

f(x0 x) f(x0) x 0 x

(x x) 1 (x0 1)

lim0

x 0 x

x

lim 1;

f'(x0) lim

对于 x0 R 有

x 0时有

f'(0)不存在.

综上可得

x 0 x

f'(xf(x0 x) f(x0)0) limx 0 x

1 1 lim

x 0 x lim0

x 0 x

0;f'(0 0) limf(0 x) f(x) x 1 1

x 0 x limx 0 x

1,

f'(0 0) limf(0 x) f(x)1 1

x 0 x

limx 0 x 0,

f'(x)

1 x 0

0 x 0

.当因此

微商与微分

1 m

xsin x 0

7.设函数f(x) ,(m为正整数).x

0 x 0

试问：(1)m等于何值时,f(x)在x 0点连续； (2)m等于何值时,f(x)在x 0点可导；

(3)m等于何值时,f'(x)在x 0点连续.

11

解：(1)由于sin有界,故当m 1时,有limf(x) limxmsin 0 f(0).于是当m 1时f(x)在

x 0x 0xx

x 0点连续。

1

xmsin 0

f(0 x) f(0)1 (2)lim lim lim xm 1sin,显然当m 1 1时有 x 0 x 0 x 0 x x x

f(0 x) f(0)1

lim lim xm 1sin 0；

x 0 x 0 x x

即当m 2时f(x)在x 0点可导。

11

(3)设m 2,当x 0时,f'(x) mxm 1sin xm 2cos.当m 2时

xx11

lim(mxm 1sin) 0,lim(xm 2cos)不存在；

x 0x 0xx11

当m 2时lim(mxm 1sin 0,lim(xm 2cos) 0，故此时有limf'(0) 0 f'(0),即当m 3时

x 0x 0x 0xx

f'(x)在x 0点连续。

8.设g(0) g'(0) 0,

1

g(x)sin x 0

f(x) ;x

0 x 0

求f'(0).

g( x) g(0)1

解：由于g'(0) 0，可知( x 0)是无穷小量，而sin( x 0)是有界函数；

x x

又因为g(0) 0，于是有

f(0 x) f(0)

lim

x 0 x 0 x

f(0 x) f(0)

即f'(0) lim 0.

x 0 x lim

g( x)sin

1

0

g( x) g(0)1sin] 0 lim[ x 0 x x x

微商与微分

9.证明：若f'(x0)存在，则

f(x0 x) f(x0 x)

f'(x0).

x 02 x

f(x0 x) f(x0)f(x0) f(x0 x)

证明：由于f'(x0)存在，那么lim lim f'(x0).

0 x 0 x x x

于是有

f(x0 x) f(x0 x)

lim

x 02 x

f(x0 x) f(x0) f(x0) f(x0 x)1

lim

2 x 0 x

f(x0 x) f(x0)f(x0) f(x0 x)1

] lim[

2 x 0 x x

f(x0 x) f(x0)f(x0) f(x0 x)1

] [lim lim

x x 002 x x1

[f'(x0) f'(x0)] f'(x0).

2

f(x0 x) f(x0 x)

因此有lim f'(x0).

x 02 x

10.设f(x)是定义在( , )上的函数，且对任意x1,x2 ( , ),有 lim

f(x1 x2) f(x1)f(x2),若f'(0) 1,证明对任意x ( , ),有f'(x) f(x).证明：若f(x) 0,那么显然有f'(x) f(x) 0成立。

若存在x0 ( , ),使得f(x0) 0,那么f(x0) f(x0 0) f(x0)f(0),于是有f(0) 1.那么对于任意x ( , ),有

f(x x) f(x)f(x)f( x) f(x)f( x) 1

f(x).

x x x

于是对于任意x ( , ),有

f(x x) f(x)f( x) 1

f'(x) lim limf(x)

x 0 x 0 x x

f( x) 1f(0 x) f(0)

f(x)lim f(x)lim

x 0 x 0 x x

f(x)f'(0) f(x).

11.设f(x)是偶函数，且f'(x)存在，证明：f'(0) 0.证明：由第9题可以知道

f(0 x) f(0 x)

;

x 02 x

由于函数f(x)是偶函数，因此有f( x) f( x),即f(0 x) f(0 x),那么

f(0 x) f(0 x)0

f'(0) lim lim 0.

x 0 x 02 x2 x

即得证。

f'(0) lim

微商与微分

12.设f(x)是奇函数，且f'(x0) 3,求f'( x0).解：由f'(x0) 3知

f(x0 x) f(x0)f(x0) f(x0 x)

lim 3.

x 0 x 0 x x

由函数f(x)是奇函数可以知道

f( x0 x) f( x0)

f'( x0) lim

x 0 x

f(x0 x) [ f(x0)]

lim

x 0 x

f(x0) f(x0 x)

lim 3

x 0 x

13.用定义证明：可导的偶函数的导数是奇函数， f'(x0) lim

可导的奇函数的导数是偶函数。证明：设f(x)是可导的偶函数，那么有

f(x x) f(x) x 0 x

f(x) f(x x)

lim

x 0 x

f( x) f( x x)

lim

x 0 x

f( x x) f( x)

lim

x 0 x

f'( x) f'(x) lim即可导的偶函数f(x)的导数是奇函数。 设g(x)是可导的奇函数，那么有 g'(x) lim

g(x x) g(x) x 0 x

g(x) g(x x)

lim

x 0 x

g( x) [ g( x x)]

lim

x 0 x

g( x x) g( x)

lim

x 0 x

g'( x)

即可导的奇函数g(x)的导数是偶函数。

14.求下列函数的导数：

(1)y x2sinx 解：y' 2xsinx x2cosx.(2)y xcosx 3x2 解：y' cosx xsinx 6x

微商与微分

(3)y xtanx 7x 6 解：y' tanx (4)y exsinx 7cosx 5x2

x

7cos2x

解：

y' (exsinx)' (7cosx)' (5x2) exsinx excosx 7sinx 10x ex(sinx cosx) 7sinx 10x.

14 113

2

6x2(5)y 2x 解：y' x2 x 2 6x2

x2x75 121

4. (6)y 3x 3 解：y' 3 x2 21x 4 3x2x1 x22x(1 x2) ( 2x)(1 x2)4x

(7).y y' 解：

1 x2(1 x2)2(1 x2)2

(8)y

12x 1 2x 1

y' 解：

1 x x2(1 x x2)2(1 x x2)2

x

(1 x)(2 x)

x1212

.解：

y ,于是y' 22

(1 x)(2 x)1 x2 x(1 x)(2 x)(9)y

(10)y

1 (1 解：

y ,于是y' x 11 x 解：y' (11)y

23

11 21 3y' ( x x (12)y

3231nx3nn 12

(13)y xlnx x 解：y' 3xlnx x 3x2lnx x2 xn 1

nxn

3

cosx1lnx4x

xsinx 4cosx1cosx sinxx4 4x3cosx1cosx 1

解：y' ln 5x ln8425

xxxxxxx(14)y

微商与微分

11

(15)y (x )lnx 解：y' (1 2x

xx

(16)y

xcosx lnxx 1

x

1

(1 1x 1 1xx2x2

1

(cosx xsinx )(x 1)

xcosx lnx解：y'

(x 1)2(x 1)2

11

x2sinx 1 cosx xsinx lnx x2sinx xsinx cosx lnx 1

(x 1)2(x 1)2

(17)y

1 1 sinx

. 解：y'

(x cosx)2x cosx

xsinx cosx

xsinx cosx

2sinx(xsinx cosx) 2cosx(sinx xcosx sinx)2cosx

解：y 1 ,于是y'

xsinx cosx(xsinx cosx)2

2x 2sinxcosx2x sin2x

(xsinx cosx)2(xsinx cosx)2(18)y

xex 1(ex xex)sinx (xex 1)cosxex(sinx xsinx xcosx) cosx

(19)y . 解：y'

sinxsin2xsin2x

(20)y xsinxlnx 解：y' sinxlnx xcosxlnx sinx

15.求下列复合函数的导数：

(1)y (x3 4)3 解：y' 3(x3 4)2(x3 4)' 3(x3 4)23x2 9x2(x3

4)2(2)y x(

a2 x2解：y' (a2 x2x(2x x(a2 x2 (a x 2x

2

2

222222222244224224

222

4224

微商与微分

(3)y

y'

222

a2 a x x

33

222222

(a x)(a

x)

(4)y 11 x3 21 x311 x3 23x2(1 x3) 3x2(1 x3)33

解：y' ((' ()

31 x31 x331 x3(1 x3)2

2

x11 x3 26

(3 332

31 x(1 x)

2x2

(1 x)(1 x)

2

33

433

(5)y ln(lnx) 解：y'

1111

(lnx)'

lnxlnxxxlnx

a1a x1a xa x1a xa x (a x)

解：y' (6)y ln(

a2

x22a x2a xa x2a x(a x)2(7)y ln(x x ' 解：y'

x1x11111

(8)y lntan 解：y' (tan .

22sinxtantancos222sincos22222

(9)y 解：y' '

(10)y cos3x cos3x 解：y' 3cos2x(cosx)' 3sin3x 3sin3x

3cos2xsinx. 3x2 3x2 3x22

(11)y 解：y' ( 3x)'

6(12)y arcsin(sinx cosx)

1

解：y arcsin(sin2x),y'

2

1

sin2x) 2

微商与微分

2x1 x212x(1 x2)22(1 x2) 2x2x(1 x2)22(1 x2)2

解：y' (.2222222222

21 x2(1 x) 4x(1 x)(1 x)(1 x)1 x1 ()21 x(13)y arctan(14)y e

x2 2x

解：y' e

x2 2x

( x 2x)' e

2

x2 2x

( 2x 2) 2e

x2 2x

(x

1).

(15)y 11111

解：y [ln(x 2) ln(x 3) ln(x 1)],y' (

22x 2x 3x 1

x2

(16)y esin3x 解：y' 2e2xsin3x 3e2xcos3x x e2x(2sin3x 3cos3x) x

2

2x

e kxsinwx

(17)y (k,w为常数

)

1 x

( ke kxsinwx e kxwcoswx) e kxsinwx

解：y'

(1 x)2

ksinwx wcoswx sinwx kx (k 1)sinwx wcoswx e kxe

(1 x)2(1 x)2

(18)y

解：y' (a2 x2) x22 3222(a x)

(a2 x2)2 x2(a2 x2) a2

(a x)

2

3

22

2x4 3a2x2 a4 a2

(a x)

2

322

(19)y sinnxcosnx

解：y' (sinnx)'cosnx sinnx(cosnx)' (nsinn 1xcosx)cosnx nsinnxsinnx nsinn 1x(cosxcosnx sinxsinnx) n sinn 1x cos[(n 1)x]

微商与微分

xlnln(1 解：y 1于是有y' '

x(20)y 11

xx

1 x

16.用对数的求导法则求下列函数的导数：(1)y 11

lnx ln(1 x) (1 x),在此式两边关于x求导可得：22

11

y'111

yx21 x21

x

111

],即 于是可得y' y[

x2(1 x)2(1 x)解：由于lny ln( y' (2)y 解：由于

112

xxxxx2lnln(1)ln(1)ln(1), lny 22

在此式两边关于x求导可得：

y'2 11111 2x

;

yx1 x21 x2

1 x x2

2111 2x

即于是可得y' y(

x1 x2(1 x)2(1 x x2)2111 2x]. y'

x1 x2(1 x)2(1 x x2)

111

x2(1 x)2(1 x)

微商与微分

(3)y (x n解：由于

lny ln(xn nln(x在上式两边关于x求导可得

y' x y于是可得y' 即

y' (x n(4)y xx,x 0;

解：由于lny lnxx xlnx,那么在此式两边求导可得 于是有y' y(lnx 1),即

y' xx(lnx 1).(5)y xlnx,x 0;

解：由于lny lnxlnx lnxlnx,那么在此式两边求导可得 2

于是有y' y(lnx),即

x

2

y' xlnx(lnx) 2xlnx 1lnx.

x

y'112 lnx lnx lnx;yxxxy'x

lnx lnx 1;yx

(6)y (1 x),x 0;

1

ln(1 x),那么在此式两边求导可得x

111y'

, 2ln(1 x)

yxx1 x

111

即于是可得y' y[ 2ln(1 x)

xx1 x

1

1ln(1 x)

y' (1 x)x[

x(1 x)x2解：由于lny ln(1 x)

1

x

1x

微商与微分

(7)y xtanx,x 0;

解：由于lny xtanx tanxlnx,那么在此式两边求导可得 于是可得y' y[

y'11 lntan,xx2ycosxx

11

xxlntan],即2

xcosx

lnxtanx

2

xcosx

y' xtanx[(7)y asinx,x 0;

解：由于lny asinx sinxlna,那么在此式两边求导可得 于是可得y' y(cosxlna),即

y' asinxcosxlna.17.设f(x)是对x可导的函数,求

dy

dx

(1)y f(x2); 解：y' f'(x2)(x2)' 2xf'(x2).(2)y f(ex)ef(x);

解：y' [f(ex)]'ef(x) f(ex)[ef(x)]'

[f'(ex)ex]ef(x) f(ex)[ef(x)f'(x)] ef(x)[f'(ex)ex f(ex)f'(x)].

(3)y f(f(f(x))). 解：y' f'(f(f(x)))(f(f(x)))' f'(f(f(x)))f'(f(x))f'(x)

y'

cosxlna,y

18.设 (x)和 (x)是对x可导的函数,求(1)y dy：

dx

1

ln[ 2(x) 2(x)],于是有2

y'1[ 2(x) 2(x)]'

y2 2(x) 2(x)

2 (x) '(x) 2 (x) '(x)

22

2[ (x) (x)] (x) '(x) (x) '(x)

因此y' y,即22

(x) (x)

y'

解：由于lny

(x)

,( (x) 0); (x)

(x)1

[]'解：y'

2 (x)1 [ (x)

(2)y arctan

2(x) '(x) (x) '(x) (x)

2

(x) 2(x) 2(x) '(x) (x) '(x) (x)

.

2(x) 2(x)

微商与微分

(3)y (x) 0, (x) 0).

1

ln (x),于是有

(4)y log (x) (x

),( (x) 0, (x) 0, (x) 1). (x)

y' '(x)1ln (x)

'(x) 2ln (x) 解：y log (x

) (x) ,于是有

(x) (x)y (x)ln (x) '(x) '(x)ln (x) '(x) '(x)

ln(x) ln (x)2

(x) (x) (x) (x) (x

)

y'

ln2 (x)因此有

'(x)ln (x) '(x)ln (x) '(x) '(x)ln (x)

. y' y[22

xxx()

()ln() (x) (x) (x)解：lny ln '(x) '(x)ln (x)

].2

(x) (x) (x)

19.求下列函数的导数：

(1)y eax(cosbx sinbx); 解：y' aeax(cosbx sinbx) beax(cosbx sinbx)1x112

x(2)y xarctanx ln(1 x2); 解：y' arctanx (1)' arctanx.22

21 x21 x

12x

(3)y arctan

;

arctan2

1 xx

112x ()'解：y' 21 xx1 ()2

21 xx

(1 x2)22(1 x2) ( 2x)2x

(1 x2)2

4x2(1 x2)22(1 x2) ( 2x)2x 222

(1 x) 4x2(1 x2)

(1 x2)2 4x22(1 x2)24 2222(1 x)1 x2(1 x)2tanx

1

2tanx2

1 tan4x(1 tan4x)cos2x

(4)y arctan(tan2x) 解：y'

(tanx)' 4

1 tanx

2

微商与微分

abx

(5)y (x(a(b,(a,b 0);

bxa

解：由于

abxabx

lny ln[(x(a(b] ln()x ln()a ln(b

bxabxaa

xln a(lnb lnx) b(lnx lna),

b

因此有

y'aab

ln ;

ybxx

aab

于是y' y(ln ),即

bxx

abxaab

y' ()x(a(b(ln bxabxx

a2x(6)y arcsin,(a 0);

2a解：y' 22

22

2122

2

a2lnx a 0);(7)y 2

a222解：y'

22222

2(8)y 解：y'

1 '

x

32

1.

a

x

2(9)y xa ax aa,(a 0);解：y' aaxa

a

a

1

axlna (xa)' aalna (ax)' aaxa

axa

1

ax 1xa 1lna aa

ax

x

ln2a

微商与微分

1(x 1)2(10)y ln26x x 11x2 x 1(x 1)2解：y' ['

6(x 1)2x2 x 1x2 x 12(x 1)(x2 x 1) (2x 1)(x 1)2 6(x 1)2(x2 x 1)22(1 x)(1 x2)13(1 x)(1 x2)

6(x 1)2(x2 x 1)23 (2x 1)22(x 1)2(x2 x 1)22(1 x x2)(1 x)(1 x2)(1 x x2)(x 1)22 x2 x4

{???}

2(x 1)2(x2 x 1)22(1 x x2)2(x 1)22 4x3 2x6

第二节 微分概念及其计算

1.求下列函数在指定点的微分：

(1)y anxn an 1xn 1 a1x a0,求dy(0),dy(1);

dy

y' nanxn 1 (n 1)an 1xn 2 2a2x a1,于是有

dx

dy [nanxn 1 (n 1)an 1xn 2 2a2x a1]dx;因此可得

dy(0) a1dx,

dy(1) [nan (n 1)an 1 2a2 a1]dx.(2)y secx tanx,求dy(0),dy(和dy( );

4

dytanx1sinx 1sinx 1

dy dx;因此可得

y' 于是有,

dxcosxcos2xcos2xcos2x

1

dy(0) dx,dy( dx 2)dx,dy( ) dx.

14

2

1x

(3)y arctan,求dy(0),dy(a);

aa

1dydx

2于是有 ,,因此有dy

dxa x2a2 x2

dxdx

dy(0) 2,dy(a) 2.

2aa

微商与微分

11

2,求dy(0.1),dy(0.01).xxdy1212

2 3,于是有dy ( 2 3dx,因此有

dxxxxx

12 dy(0.1) ( dx 2100dx,0.010.00112

dy(0.01) ( dx 2010000dx.0.00010.000001(4)y

2.求下列函数的微分：

xdy1 x2 2xx1 x21 x2

(1)y ; y' ,于是dy dx.2222222

1 x(1 x)(1 x)(1 x)dx

dy

(2)y xlnx x;

y' lnx 1 1 lnx,于是dy lnxdx.

dx(3)y lnxdy1111

y' 3,于是dy 3)dx.

dxxx2x22x2

(4)y dy y' ' 于是有dy dx222dy

(5)y esinx; y' esinx cosx2 2x,于是有dy 2x cosx2 esinxdx.

dx

x

(6)y lntan( );

24

11111dydx

y' ,于是dy .

2xcoscosdxxx2xtan( )cos( )sin(x 24242

3.设u,v是x的可导函数,求dy:

u

(1)y arctan;

v1dyu

()' y' 2

uvdx

1 2

v

v2u'v v'u

22

2

u vvvdu udv

22,

(u v)dxvdu udv

于是dy 22.

u v

udu vdv

, 22

()uvdx udu vdv

于是dy 22.

u v

(2)y lndy'解: y'

dx

微商与微分

(4)y

(3)y lnsin(u v);

11dy

y' (u2 v2)'dy13

y' (sin(u v))'dx2222

dxsin(u v)(u v)

cos(u v)11

(u' v') (2uu' 2vv')

sin(u v)2223

(u v)2

cos(u v)du dv

,udu vdv

sin(u v)dx3

222(u v)dxdu dv

于是dy .

udu vdvtan(u v)

于是有dy .3

(u2 v2)2

4.求下列函数的微分dy： (1)y sin2t,t ln(3x 1);

dy333sin[ln(3x 1)2] y' 2sintcost t' sin2t sin[2ln(3x 1)]

dx3x 13x 13x 1

3sin[ln(3x 1)2]

于是有dy dx.

3x 1(2)y ln(3t 1),t sin2x;

dy36sinxcosx3sin2x3sin2x y' t' ,于是有dy dx.22

dx3t 13t 13sinx 13sinx 1

1

(3)y e3u,u lnt,t x3 2x 5;

2dy

y' e3u3u' 3e

dx于是有dy

3e

3

ln(x3 2x 5)2

3lnt2

113t' e2t2t

3

ln(x3 2x 5)2

(3x 2)

2

3e

3

ln(x3 2x 5)2

(3x2 2)

2(x3 2x 5)

(3x2 2)

dx.3

2(x 2x 5)

(4)y arctanu,u (lnt)2,t 1 x2 cotx.dy1112lnt11

u' 2lntt' (2x ) y' dx1 u21 (lnt)4t1 ln4ttsin2x2ln(1 x2 cotx)11 (2x 1 ln4(1 x2 cotx)1 x2 cotxsin2x2ln(1 x2 cotx)dx1

于是有dy (2x 2242

1 ln(1 x cotx)1 x cotxsinx5.求下列各式的近似值：

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