数学基础模块（下册）第六章 数列

【课题】 6．1 数列的概念

【教学目标】

知识目标：

（1）了解数列的有关概念；

（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式． 能力目标：

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．

【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．

【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．

【教学设计】

通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．

从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．

例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．

例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 6．1 数列的概念． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 第6章 数列（教案）

了解 0

教 学 过 程 *创设情境 兴趣导入 将正整数从小到大排成一列数为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 播放 课件 观看 课件 思考 自我 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 引导 式启 发学 生得 出结 从实例出发使学生自然的走向知识点 5 1，2，3，4，5，?． (1 ) 质疑 将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 当n从小到大依次取正整数时，cosn?的值排成一列数为 -1，1，-1，1，?． (3 ) 取无理数?的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个 数，排成一列数为 2,22,23,24,25,?． (2 ) 3，3.1，3.14，3.141，3.1416，?． (4) 引导 分析 总结 *动脑思考 探索新知 【新知识】 象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数归纳 列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自 左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或 首项），第2项，第3项，?，第n项，?，其中反映各项在 数列中位置的数字1，2，3，?，n，分别叫做对应的项的项数． 只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做 无穷数列． 【小提示】 数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如 数列（2）中，第3项为23，这一项的项数为3. 【想一想】 上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 【新知识】 仔细 由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对分析 应，所以无穷数列的一般形式可以写作 讲解 a1,a2,a3,?,an，?．(n?N?) 关键 词语 第6章 数列（教案）

教 学 过 程 简记作{an}．其中，下角码中的数为项数，a1表示第1项，a2表示第2项，?．当n由小至大依次取正整数值时，an依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项an叫做数列{an}的通项或一般项． *运用知识 强化练习 1.说出生活中的一个数列实例． 2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？ 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 果 10 15 25 提问 指导 思考 口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 引导启发学生思考 3.设数列{an}为“-5,-3,-1,1,3, 5，?” ，指出其中a3、巡视 a6各是什么数？ *创设情境 兴趣导入 【观察】 6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数． a1?1，a2?2，a3?3，?， 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用 an?n(n?N*) 表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11?11，a20?20． 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂． a1?2，a2?22，a3?23，?， 可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用 an?2n(n?N*) 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11?211，a20?220．

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 *动脑思考 探索新知 【新知识】 一个数列的第n项an，如果能够用关于项数n的一个式1教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 归纳 理解 记忆 观察 思考 主动 求解 观察 通过例题进一步领会 带领 学生 总结 35 子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 数列（1）的通项公式为an?n，可以将数列（1）记为数列{n}；数列（2）的通项公式为an?2n，可以将数列（2）记为数列{2n}. *巩固知识 典型例题 例1 设数列{an}的通项公式为 1an?n， 2 说明 强调 引领 写出数列的前5项． 分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果． 解 a1?11111111；；；；讲解 ?a??a??a??2341234481622222说明 11． a5?5? 322 例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项 公式. 1111 (1)5,10,15,20，?； (2),,,,?； 引领 2468（3）?1，1，?1，1，?． 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系． 解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下表： 项数n 项an 关系 1 2 3 4 5 10 15 20 5?5?1 10?5?215?5?320?5?4 分析 由此得到，该数列的一个通项公式为 an?5n．

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 （2）数列前4项与其项数的关系如下表： 序号 项an 1 1 211?22?1 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 强调 含义 思考 求解 领会 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 2 1 411?42?2 3 1 611?62?3 4 1 811?82?4 关系 由此得到，该数列的一个通项公式为 1． 2n（3）数列前4项与其项数的关系如下表： an?序号 项an 关系 1 ?1 (?1)1 2 1 (?1)2 3 ?1 (?1)3 4 1 (?1)4 由此得到，该数列的一个通项公式为 an?(?1)n． 【注意】 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一 的．例如，an?(?1)n与an?cosn?都是例2（3）中数列“?1， 1，?1，1，?．”的通项公式． 【知识巩固】 说明 例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指 出是第几项. 分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，并且a?3k?1. 解 数列的通项公式为an?3n?1. 将16代入数列的通项公式有 16?3n?1， 解得

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 n?5?N． *教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 50 所以，16是数列{3n?1}中的第5项． 将45代入数列的通项公式有 45?3n?1， 解得 n?44?N*， 3所以，45不是数列{3n?1}中的项． *运用知识 强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项： 启发 引导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 65 nn（1）an?3?2； （2）an?(?1)?n． 提问 2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公巡视 式： 指导 1111（1）?1，1，3，5，?； (2) ?, , ?, ，?； 91236(3) 1357,,,，?. 24683. 判断12和56是否为数列{n2?n}中的项，如果是，请指出是第几项． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 数列、项、项数分别是如何定义的？ 结论： 按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，?，第n项，?，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，?，n，分别叫做各项的项数． *归纳小结 强化思想 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 75

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 判断22是否为数列{n2?n?20}中的项，如果是,请指出是第几项． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．1 A组（必做）；6．1 B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例 【教师教学后记】

项目 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导 提问 巡视 指导 说明 回忆 反思 动手 求解 记录 检验 学生 学习 效果 分层次要求 85 90 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见；

第6章 数列（教案）

学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面．

【课题】 6．2 等差数列（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：

通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等差数列的通项公式．

【教学难点】

等差数列通项公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:an?1?an?d(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.

教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：a1,d,n,an,只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 *揭示课题 6．2 等差数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列： 5，10，15，20，?． （1） 将正奇数从小到大列出，组成数列： 1，3，5，7，9，?． （2） 观察数列中相邻两项之间的关系， 发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项与它前一项的差都是5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是2．这两个数列的一个共同特点就是从第2项开始，数列中的每一项与它前一项的差都等于相同的常数． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 播放 课件 质疑 引导 分析 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 说明 强调 引领 了解 观看 课件 思考 自我 分析 思考 理解 记忆 观察 思考 通过例题进一步领会等差数 从实例出发使学生自然的走向知识点 引导 式启 发学 生得 出结 果 带领 学生 分析 0 5 10 *动脑思考 探索新知 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示． 由定义知，若数列?an?为等差数列，d为公差，则an?1?an?d,即 an?1?an?d *巩固知识 典型例题 （6.1） 例１ 已知等差数列的首项为12，公差为?5，试写出这个数列的第2项到第5项． 解 由于a1?12,d??5，因此

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 a2?a1?d?12???5??7； 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 主动 求解 列通项公式 45 a3?a2?d?7???5??2； a4?a3?d?2???5???3； a5?a4?d??3???5???8. *运用知识 强化练习 1. 已知?an?为等差数列，a5??8，公差d?2，试写出这个数列的第8项a8． 2. 写出等差数列11,8,5,2,?的第10项. 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 *创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例1中数列的第101项吗? 显然，依照公式（6.1）写出数列的第101项,是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的第101项． 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 思考 归纳 理解 记忆 从实 际事 例使 学生 自然 的走 向知 识点 带领 学生 总结 问题 得到 等差数列通项公式 25 30 *动脑思考 探索新知 总结 设等差数列?an? 的公差为d ，则 归纳 a1?a1, 仔细 分析 a2?a1?d, a3?a2?d??a1?d??d?a1?2d,讲解 a4?a3?d??a1?2d??d?a1?3d,关键 词语 ．．．．．． 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式 35 第6章 数列（教案）

教 学 过 程 an?a1??n?1?d. (6.2) 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导启发学生思考求解 知道了等差数列?an?中的a1和d，利用公式（6.2），可以直接计算出数列的任意一项. 在例１的等差数列{an}中，a1?12，d??5，所以数列的通项公式为 an?12?(n?1)(?5)?17?5n， 数列的第101项为 a101?17?5?101??488． 【想一想】 等差数列的通项公式中,共有四个量：an、a1、n和d，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题 例2 求等差数列 ．． ?1,5,11,17,．的第50项. 解 由于a1??1,d?a2?a1?5???1??6,所以通项公 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 式为 an?a1?(n?1)d??1?(n?1)?6?6n?7, 即 an?6n?7. 故 引领 分析 a50?6?50?7?293. 例3 在等差数列?an?中,a100?48,公差d?1,求首项a1. 3强调 含义 45 第6章 数列（教案）

教 学 过 程 1解 由于公差d?,故设等差数列的通项公式为 31an?a1?(n?1)? 3教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 领会 思考 求解 反复 强调 50 由于a100?48，故 148?a1?(100?1)?， 3解得 a1?15. 【小提示】 本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：n?100，1． 3an?48,d?例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄. 分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为a?d,a,a?d,这样可以方便地求出a,从而解决问题. 解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为a?d,a,a?d,其中d为公差 则 ??a?d??a??a?d??120, ???4a?d?5?a?d?解得 a?40,d?25 从而 a?d?15,a?d?65.

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁. 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 【注意】 将构成等差数列的三个数设为a?d,a,a?d,是经常使用的方法. *运用知识 强化练习 练习6.2.2 1.求等差数列28,1, ,?的通项公式与第15项． 55 启发 引导 提问 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 2.在等差数列?an?中，a5?0，a10?10，求a1与公差d. 巡视 指导 3.在等差数列?an?中，a5??3，a9??15，判断－48是否为数列中的项，如果是,请指出是第几项. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等差数列的通项公式是什么？ 结论： 等差数列的通项公式 an?a1??n?1?d. 60 70 质疑 归纳强调 小组 讨论 回答 理解 强化 及时了解学生知识掌握情况 以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 写出等差数列 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 提问 巡视 指导 反思 动手 求解 检验 学生 学习 效果 培养学生总结反思学习过程的能力 80 90 137 ，，1，，? 555的通项公式，并求出数列的第11项． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．3（选做） (3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例 【教师教学后记】

项目 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法；

第6章 数列（教案）

是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．2 等差数列

【教学目标】

知识目标：

理解等差数列通项公式及前n项和公式． 能力目标：

通过学习前n项和公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等差数列的前n项和的公式．

【教学难点】

等差数列前n项和公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等差数列的前n项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前

n项和公式；难点是前n项和公式的推导以及知识的简单实际应用．

等差数列前n项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量a1、d、n、an、Sn中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．

例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．

【教学备品】

教学课件．

第6章 数列（教案）

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 6．2 等差数列． *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来!” 对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水． 小高斯是怎样计算出来的呢? 他观察这100个数 1, 2, 3, 4, 5, ?，96, 97, 98, 99, 100. 并将它们分成50对，依次计算各对的和： 1+100=101 2+99=101 3+98=101 4+97=101 5+96=101 ?? 50+51=101 所以，前100个正整数的和为 101?50=5050. *动脑思考 探索新知 从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 从小故事讲起引起 学生 兴趣 10 第6章 数列（教案）

教 学 过 程 项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 归纳 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 问题 得到 等差数列求和公式 引导启发学生思考求解 ?1?100??100． 2现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n项和． 将等差数列?an?前n项的和记作Sn．即 Sn?a1?a2?a3???an?2?an?1?an． （1） 也可以写作 Sn?an?an?1?an?2???a3?a2?a1． （2） 由于 a1?an?a1?an， a2?an?1??a1?d???an?d??a1?an， a3?an?2??a1?2d???an?2d??a1?an， ?? (1)式与（2）式两边分别相加，得 2Sn?n?a1?an?， 仔细 分析 讲解 关键 词语 由此得出等差数列?an?的前n项和公式为 Sn?n?a1?an?2（6.3） ． 即等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半． 知道了等差数列?an?中的a1、n和an，利用公式（6.3）可

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 以直接计算Sn． 将等差数列的通项公式an?a1??n?1?d代入公式（6.3），得 知道了等差数列?an?中的a1、n和d，利用公式（6.4）可以直接计算Sn． 【想一想】 在等差数列{an}中，知道了a1、d、n、an、Sn五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 20 Sn?na1?n?n?1?2d （6.4） 说明 观察 思考 主动 求解 观察 思考 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 例5 已知等差数列?an?中，a1??8,a20?106, 求S20． 强调 解 由已知条件得 S20?例6 等差数列 20???8?106?2引领 ?980． 讲解 说明 引领 分析 强调 ?13,?9,?5,?1,3,? 的前多少项的和等于50？ 解 设数列的前n项和是50，由于 a1??13,d?3?(?1)?4,故 n(n?1) 50??13n??4, 2

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 即 2n?15n?50?0， 解得 n1?10,n2?? 2教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 含义 说明 求解 领会 思考 求解 思考 了解 动手 求解 观察 思考 主动 反复 强调 30 40 5， (舍去）2所以，该数列的前10项的和等于50． 【想一想】 例6中为什么将负数舍去？ *运用知识 强化练习 练习 6.2.3 1. 求等差数列1,4,7,10,?的前100项的和． 2. 在等差数列{an}中,a4=6,a9?26,求S20． 启发 引导 提问 巡视 指导 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 通过例题进一步领会 注意 *巩固知识 典型例题 例7 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？ 解1 由题意知，各排座位数成等差数列，设公差d=2, 说明 强调 引领 a25?70，于是 70?a1?(25?1)?2， 解得 a1?22． 所以 S25? 25?(22?70)?1150． 2答 礼堂共有1150个座位． 解2 将最后一排看作第一排，则a1?70,d??2，n = 讲解

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 25， 因此 S25 25(25?1)?(?2)?25?70??1150. 2教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 分析 强调 含义 说明 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 50 答 礼堂共有1150个座位． 【想一想】 比较本例题的两种解法，从中受到什么启发? 例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%引领 计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）? 【说明】 年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．计算公式为月利率=年利率÷12． 解 年利率1.71%，折合月利率为0.1425%． 第1个月的存款利息为1000×0.1425%×12（元）； 第2个月的存款利息为1000×0.1425%×11（元）； 第3个月的存款利息为1000×0.1425%×10（元）； ? ? 第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）． 应得到的利息就是上面各期利息之和． ， Sn?1000?0.1425%?(1?2?3???12)?111.15（元）故年终本金与利息之和总额为 12×1000+111.15=12111.15（元）．

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 练习6.2.4 1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比他下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管． 2．张新采用零存整取方式在农行存款．从第1题图 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 60 70 元月份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多少（精确到0.01元）? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等差数列的前n项和公式是什么？ 结论：Sn?n?a1?an?2 质疑 归纳强调 回答 理解 强化 以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点 ， Sn?na1? n?n?1?2d． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共铺了多少块瓦片． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．2（选做） 引导 提问 巡视 指导 说明 回忆 反思 动手 求解 记录 培养学生总结反思学习过程的能力 分层次要求 80 第6章 数列（教案）

教 学 过 程 (3)实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题 【教师教学后记】

项目 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 90 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．3 等比数列

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等比数列的定义；

第6章 数列（教案）

（2）理解等比数列通项公式． 能力目标：

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等比数列的通项公式．

【教学难点】

等比数列通项公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．

等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:

an?1?q(常数). an例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：a1，q,

n, an, 只

有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.

从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是

a,a,aq比较好,因为这q样设了以后,这三个数的积正好等于a,很容易将a求出.

3【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程

第6章 数列（教案）

教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间

教 学 过 程 *揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 播放 课件 质疑 了解 观看 课件 思考 自我 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 引导 式启 发学 生得 出结 果 10 从实例出发使学生自然的走向知识点 0 5 以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）： 23451000,1000?1.1,1000?1.1,1000?1.1,1000?1.1,1000?1.1. 不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的引导 1.1倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于1.1． 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示． 由定义知，若?an?为等比数列，q为公比，则a1与q均不a为零，且有n?1?q，即 an 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 (6.5) an?1?an?q． *巩固知识 典型例题 说明 观察 思考 主动 通过例题进一步领会 例１ 在等比数列{an}中，a1?5，q?3，求a2、a3、a4、强调 a5． 引领 讲解 解 15

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 a2?a1?q?5?3?15, 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 求解 a3?a2?q?15?3?45,a4?a3?q?45?3?135,a5?a4?q?135?3?405.【试一试】 *运用知识 强化练习 练习6.3.1 1．在等比数列?an?中，a3??6， q?2，试写出a4、a6． 你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 2．写出等比数列3,?6,12,?24,??的第５项与第6项． *创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑 引导 分析 总结 归纳 仔细 分析 2 25 30 思考 参与 分析 思考 归纳 理解 记忆 学生 自然 的走 向知 识点 *动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列?an?的公比为q，则 带领 学生 总结 问题 得到 等差数列通项公式 a2?a1?q, a3?a2?q??a1?q??q?a1?q,a4?a3?q??a1?q??q?a1?q,23讲解 关键 词语 35

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 ?? 【说明】 a1?a1?1?a1?q0 依此类推，得到等比数列的通项公式： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导启发学生思考求解 an?a1?qn?1. （6.6） 知道了等比数列?an?中的a1和q，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量：an、a1、n和q，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题 例2求等比数列 说明 强调 引领 讲解 说明 引领 分析 第6章 数列（教案）

观察 思考 主动 求解 观察 通过例题进一步领会 注意 观察 111 ?1,,?,,? 248的第10项． 1解 由于 a1??1，q??， 2故，数列的通项公式为 an?a1?qn?1?1???1?????2?n?1??1?(?1)n?1?1?????2?n?1?(?1)n?1， 2n?1所以 a10?(?1)101210?1?1． 5121例3 在等比数列?an?中，a5??1，a８??，求a13． 81解 由a5??1,a8??有 8 45

教 学 过 程 ?1?a1?q， （1） 4教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 强调 含义 说明 引领 分析 强调 思考 求解 领会 思考 求解 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 1??a1?q7， （2） 8（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得 1?q3, 8由此得 q?将q?1． 21代人（1），得 2a1??24, 所以，数列的通项公式为 1an??24?()n?1． 2故 1?1?a13?a1?q12??24?????2?8??． 2256??【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究12等比数列问题的常用方法． 【想一想】 在等比数列?an?中，a7?11， q?．求a3时，你有没有39比较简单的方法？ 【知识巩固】 例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 含义 思考 求解 领会 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 50 a积,可以将这三个数设为,a,aq,这样可以方便地求出a,从 q 而解决问题. a解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为,a,aq．则 q a? ?q?a?aq?14,? ? ?a?a?aq?64.? ?q 解得 a?4,?a?4,??1 ?或?q?.q?2,?? 2? 当q?2时 a4 ??2,aq?4?2?8, q2 此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8. 1 当q?时 2 a41 ??8,aq?4??2, q12 2 此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条 鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼． 【注意】 将构成等比数列的三个数设为法． a,a,aq，是经常使用的方说明 q

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 *运用知识 强化练习 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 60 70 21.求等比数列,2,6,?.的通项公式与第7项． 312.在等比数列?an?中，a2??,a5??5, 判断?125是否25为数列中的项，如果是，请指出是第几项. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么 结论： 质疑 归纳强调 引导 提问 巡视 指导 回答 理解 强化 回忆 反思 动手 求解 及时了解学生知识掌握情况 an?a1?qn?1. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 已知等比数列{an}中,a4??1,a7??,求a11． 解答1 由已知条件得 ?a1q3??1??61 ?a1q??8?18 检验 学生 学习 效果 培养学生总结反思学习过程的能1解方程组得 a1??8q?， 2因此 11． a11??8?()10??2128

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 11解答2 由???1q3得q?．所以 82111． a11?(?)?()4??82128教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 力 80 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做） (3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题 【教师教学后记】

项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生实践的情况 学生是否愿意开展实践； 说明 记录 分层次要求 90

第6章 数列（教案）

能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．3 等比数列

【教学目标】

知识目标：

理解等比数列前n项和公式． 能力目标：

通过学习等比数列前n项和公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等比数列的前n项和的公式．

【教学难点】

等比数列前n项和公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的前n项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前

n项和公式；难点是前n项和公式的推导、求等比数列的项数n的问题及知识的简单实际

应用．

等比数列前n项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量：a1、q、n、an、Sn，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.

教材中例6是已知a1、an、Sn求q、n的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n的方法是研究等比数列问题的常用方法.

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

3课时．(135分钟)

【教学过程】

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 *揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏． 国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”． 国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒． 计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺． 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？ 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 从趣味小故事出发使得 学生 自然 的走 向知 识点 10 各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和． *动脑思考 探索新知 下面来研究求等比数列前n项和的方法． 等比数列?an?的前n项和为 总结 归纳 仔细 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 Sn?a1?a2?a3???an. (1) 由于an?q?an?1,故将(1)式的两边同时乘以q，得 qSn?a2?a3?a4???an?an?1． (2)

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 讲解 关键 词语 n理解 记忆 参与 分析 得到 等比数列通项公式 引导启发学生思考求解 ?1?q?Sn?a1?an?1?a1?a1?qn?a1?1?q?． (3) na(1?q) (q?1)． Sn?1 (6.7) 1?q 知道了等比数列?an?中的a1、n和q(q?1),，利用公式 （6.7）可以直接计算Sn． 由于 a1qn?an?1?anq, 因此公式（6.7）还可以写成 a1?anqS?(q?1)． n (6.8) 1?q 当q?1时，等比数列的各项都相等，此时它的前n项和为 Sn?na1． (6.9) 【想一想】 在等比数列{an}中，知道了a1、q、n、an、Sn五个量中引导 的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 【注意】 在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为１． 说明 强调 分析 当q?1时，由(3)式得等到数列?an?的前n项和公式 35 *巩固知识 典型例题 例5 写出等比数列 1,?3,9,?27,? 观察

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 的前n项和公式并求出数列的前8项的和． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引领 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 45 ?3解 因为a1?1,q???3，所以等比数列的前n项和 1讲解 公式为 1?[1?(?3)n]1?(?3)n Sn?， ?1?(?3)4说明 1?(?3)8故 S8???1640． 4*例6 一个等比数列的首项为为94，末项为，各项的和引领 49分析 211，求数列的公比并判断数列是由几项组成． 36解 设该数列由n项组成，其公比为q，则a1?94，an?，49强调 211． Sn?36含义 于是 94??q21149, ?361?q即?94?211(1?q)?36??q?， ?49?解得 q?2． 3n?19?2?所以数列的通项公式为 an????4?3?49?2?于是 ???94?3?n?1, ， 4?2?即 ???3?n?1?2????, ?3?解得 n?5．

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 故数列的公比为【注意】 例6中求项数n时，将等号两边化成同底数幂的形式，利2，该数列共有5项． 3教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 思考 反复 强调 50 用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法． 现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为 S641(1?264)??264?1?1.84?1019， 1?2 据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！ *运用知识 强化练习 练习6.3.3 1．求等比数列 启发 引导 思考 了解 动手 求解 观察 思考 主动 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 通过例题进一步领会 60 1248，，，，?的前10项的和． 9999 提问 巡视 指导 说明 强调 引领 讲解 2．已知等比数列｛an｝的公比为2，S4＝１，求S8． *巩固知识 典型例题 【趣味问题】 设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？ 【小知识】 复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”． 例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%， 如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元） 解 货款第一年后的本利和为 20?20?5.76%?20(1?0.0576)?1.0576?20, 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 引领 分析 强调 含义 说明 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 45 50 第二年后的本利和为 1.0576?20?1.0576?20?5.76%?1.05762?20, 依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列 1.0576?20,1.05762?20,1.05763?20,? 其通项公式为 an?1.0576?20?1.0576n?1?1.0576n?20 故 a5?1.05765?20?26.462886． 答 小王应偿还银行26.462886万元． *运用知识 强化练习 张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 质疑 质疑 求解 回答 强化 及时 60

第6章 数列（教案）

教 学 过 程 等比数列的前n项和公式是什么？ 结论：Sn?教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 归纳强调 引导 提问 巡视 指导 理解 强化 回忆 反思 动手 求解 检验 学生 学习 效果 培养学生总结反思学习过程的能力 80 90 了解学生知识掌握情况 70 a1(1?q)(q?1). 1?qna?anqSn?1(q?1). 1?q*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 1．已知等比数列｛an｝中，a1?2，S3?26，求q与a3．2．等比数列｛an｝的首项是6，第6项是的前多少项之和是 ?3，这个数列16255？ 64*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做） (3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题． 【教师教学后记】

项目 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；

第6章 数列（教案）

在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面； ?

第6章 数列（教案）

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