【数学】河北省唐山市一中2013-2014学年高二下学期期末考试(文)

第Ⅰ卷：选择题（60分）

一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1. 设集合{|2014},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（ ）

A ．M N R =

B ．{|01}M N x x =<<

C ．N M ∈

D ．M N φ=

2.已知i 是虚数单位，复数i

i 325-+-的模为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．2 3若),1,(1-∈e x ,ln x a =x b ln )21

(=，x e c ln =，则,,a b c 的大小关系为( )

A.a c b >>

B. a b c >>

C.c b a >> D ．c a b >>

4. 设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是（ ）

A ．a α⊥，//b β，αβ⊥

B ．a α⊥，b β⊥，//αβ

C ．a α?，b β⊥，//αβ

D ．a α?，//b β，αβ⊥

5.已知数列{}n a 为等差数列，,11=a 公差0≠d ，1a 、2a 、5a 成等比，则2014a 的值为（ ）

A ．4023

B ．4025

C ．4027

D ．4029

6.既是偶函数又在区间(0 )π，

上单调递减的函数是( ) A.sin y x = B.cos y x = C.sin 2y x = D.cos 2y x =

(第1页，共4页)

2 7．如图（下左）给出的是计算2011

151311+???+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A ．2011≤i

B ．2011>i

C ．1005≤i

D ．1005>i

8. 如图（上右），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3.则该组合体的表面积为( )．

A ．15π

B ．18π

C ．21π

D ．24π

9.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A.2 B. 1+2 C. 2

21+ D.1+22 10. 已知F 2、F 1是双曲线y 2a 2 - x 2

b 2=1(a >0，b >0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A ．3

B ． 3

C ．2

D ．

2

12.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3

x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）

A ．()0,+∞

B ．()

(),03,-∞+∞ C ．()(),00,-∞+∞ D ．()3,+∞

3

第Ⅱ卷：非选择题（90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13.已知变量x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为 _________ ．

14.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=-----------

15.从等腰直角ABC ?的底边BC 上任取一点

D ，则ABD ?为锐角三角形的概率

为 ； 16.已知a ∈R ,若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根,则a 的取值范围是 .

三.解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）

17. （本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ﹣y+4=0，曲线C 的参数方程为（α为参数）

（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴

正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，），判断点P 与直线l 的位置关系；

（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

18. （本小题满分12分） 已知向量)sin ,(sin x x =，))(sin ,(cos R x x x b ∈=，若函数b a x f ?=)(.

（1）求)(x f 的最小正周期；

（2）若]2,0[π

∈x ，求)(x f 的最大值及相应的x 值；

（3）若],0[π∈x ，求)(x f 的单调递减区间.

19.（本小题满分12分）

在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.

(1)求a n 和b n ；

(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项

的值

相等的概率．

20.（本小题满分12分）

4 如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，

且BF ⊥平面ACE

（１）求证：AE ⊥平面BCE ；

（２）求证：//AE 平面BFD ；

（３）求三棱锥C BGF -的体积。

21.（本小题满分12分） 已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C 相交于两点B A ,.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点M 在椭圆上且满足OB OA OM 2

321+=，求直线L 的斜率k 的值.

参考答案

5

13. 4 14. -3 15. 1

2 16. [1,0]-

17. 解：（

I ）把极坐标系下的点（4，

）化为直角坐标，得P （0，4）．

因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程x ﹣y+4=0， 所以点P 在直线l 上．…（5分）

（II ）设点Q 的坐标为（cos α，sin α）， 则点Q 到直线l 的距离为d==

cos （

）+2

由此得，当

cos （

）=﹣1时，d 取得最小值，且最小值为．…10分

18. 解：22cos 12sin 21sin cos sin )(2

x x x x x b a x f -+=

+=?==2

1

)42(sin 22+-πx

19. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得

S 10＝10＋10×9

2

d ＝55，b 4＝q 3＝8， ……………………2分

解得d ＝1，q ＝2， ……………………………4分

所以a n ＝n ，b n ＝2n －1

. ……………………………6分

(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：

(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．………8分 符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． ……………10分

故所求的概率P ＝2

9

. ………………………………12分

20. 解：（1）证明：∵AD ⊥平面ABE ，//AD BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥ …………………2分 又

BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥

AE ∴⊥平面BCE ………………4分

（2）由题意可得G 是AC 的中点，连接FG

G

Ｂ

Ａ Ｄ

Ｃ

Ｆ

6 BF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，

而BC BE =，F ∴是EC 中点 ……………6分

在AEC ?中，//FG AE ，//AE ∴平面BFD ……8分

21. (Ⅰ)因为e=2

3,b=1,所以a=2, 故椭圆方程为14

22

=+y x . .................................................... 4分 (Ⅱ)设l 的方程为y=kx+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(m,n).

联立 ?????=++=14

122

y x kx y ，解得 (1+4k 2)x 2+8kx=0, …………………………………………7分 因为直线l 与椭圆C 相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以x 1+x 2=2

418k k +-

，x 1×x 2=0， ∵13OM OA OB 2=+ ∴?????+=+=)y 3y (21n )x 3x (21m 2121 点M 在椭圆上，则m 2

+4n 2

=4,∴2212121(x )(y )44

+++=,化简得 x 1x 2+4y 1y 2= x 1x 2+4(kx 1+1)(kx 2+1)= (1+4k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+4=0, …………………10分 ∴4k·(2

418k k +-)+4=0,解得k=±12.故直线l 的斜率k=±12.…………………12分 22. 【解析】：⑴∵2()f x x x =+,当1x =时，(1)2f =

∵'()21'(1)3f x x f =+?=

∴所求切线方程为23(1)310y x x y -

=-?--=。…………4分

7 ⑵令321()()()3'()(3)(1)3

h x g x f x x x x m h x x x =-=--+?=-+

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