河北省普通高中学业水平考试2

河北省普通高中学业水平考试

数 学

注意事项：

1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．

2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案． 4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回．

一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线2x－y＋1＝0的斜率为 1A．

2

B．2

1C．－

2

D．－2

2．半径为3的球的体积等于 A．9π B．12π A．{0}?M

C．36π D．54π

3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是

B．0?M

C．{0}∈M

D．?∈M D．50

4．在等差数列{an}中，a2＝2，a5＝10，则a8＝ A．16 B．18 C．20 1

5．不等式≥2的解集是

x

A．{x|0＜x≤2} 6．函数y＝2x

－1

B．{x|x≥

1} 2

C．{x|x≤

1} 2

D．{x|0＜x≤

1} 2

的值域是

B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞)

A．(0，＋∞)

1

D．(，＋∞)

2

3?

7．已知sinx＝，且＜x＜π，则tanx＝

524

A．

5

4B．－

5

3C．

4

3D．－ 4

8．函数f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是

1

A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)

3 9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 A．1，3 C．2，1

B．2，1 D．1，2

正视图

1 侧视图

10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是 A．7

B．6

俯视图

C．22

D．5

11．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是

1A． 5

2B．

5

3C． 5

D．1

12．等边三角形ABC的边长为2，则→AB·→BC＝

A．－2

B．2

C．－23

D．23 11

D．＜

ab

13．若a＞b，则下列不等式一定成立的是

A．ac＞bc

B．a2＞b2

C．a＋c＞b＋c

?

14．函数y＝3sin(2x＋)（x∈R）图象的一条对称轴方程是

6

A．x＝0 ?

C．x＝

6

?

B．x＝－ 12?

D．x＝ 3

开始 输入n S＝n(n＋1) S＞100? 是 输出n 结束 n＝n＋1 否 15．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n，则输出n

的值是 A．9 B．10 C．11 D．110

[来源:Z+xx+k.Com]16．函数y＝sin(x－

2??A．[－，]

33

?

)（x∈R）的一个单调递增区间为 3

?5?

B．[－，]

66

?4?C．[，]

33

5?11?D．[，]

66

17．已知数列{an}，an＝2n＋1，那么数列{an}的前10项和为

A．211＋8 B．211－1 C．210＋9 D．210－2

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，则

2

A＝

A．30?

B．60? C．120? D．150?

??x≥0，

19．已知实数x，y满足?y≥0，则目标函数z＝x＋y的最小值是

??x＋4y≥4，

A．0 B．5 C．4 D．1

20．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方

法抽取一个样本，该样本中有9名女职工，则样本容量为 D1 C1

A．27 B．36 C．40 D．44 21．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的中点，则直线EF与平面ACC1A1所成的角等于 A．30? B．45? C．60? D．90? 22．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(5)＝

A．0

B．1

1

C．

2

A1 F A

B1

D E

B

C

5D． 2

二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．．．．效） ．

23．sin165?·cos15?＝_________．

24．已知向量a＝(－2，3)，b＝(x，－6)，若a⊥b，则x＝___________． 25．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域是___________．

S1＋S2＋…＋Sn26．设有穷数列{an}的前n项和为Sn，定义数列{an}的期望和为Tn＝，若

n

数列a1，a2，…，a9的期望和T9＝100，则数列2，a1，a2，…，a9的期望和T10＝________． 三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 27．（本小题满分8分）

已知函数f(x)＝(sinx－cosx)2＋m，x∈R． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）若f(x)的最大值为3，求m的值．

3

28．（本小题满分8分）

数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝an＋4（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若等差数列{bn}的公差为3，且b2a5＝－1，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值． 29．（本小题满分8分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．

[来源学_科_网Z_X_X_K]

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．

（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率； （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．

30．（本小题满分8分）

1

已知动点P与两个定点E(1，0)，F(4，0)的距离之比是．

2

3 4 7 9

PM2.5日均值(微克/m3) 3

8 1 9 3 7

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）直线l：y＝kx＋3与曲线C交于A，B两点，在曲线C上是否存在点M，使得四边形OAMB（O为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

4

[来源:Z+xx+k.Com]

答 案

一、选择题

[来源学科网ZXXK]

ADBDC

CACCB

BACDB

AD

BCABD 二、填空题

123．

4

24．－9 25．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 26．92

三、解答题

27．解：（Ⅰ）f(x)＝(sinx－cosx)2＋m＝m＋1－sin2x，

所以f(x)的最小正周期为T＝

2?

＝?． 2

………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x＝－1时，f(x)取最大值， 故有m＋2＝3，得m＝1．

………………8分

28．解：（Ⅰ）由3Sn＝an＋4，得3Sn－1＝an－1＋4，两式相减，得

an1

3(Sn－Sn－1)＝(an＋4)－(an－1＋4)＝an－an－1，整理，得＝－（n≥2）．

2an－1

1

又3a1＝a1＋4，得a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以－为公比的等比数列，

2故有an＝2×－

(

12

)n－1

．

………………4分

1

（Ⅱ）由已知，得b2＝－＝－8，又等差数列{bn}的公差d＝3，

a5

故bn＝b2＋(n－2)d＝3n－14，因此当n≤4时，bn＜0，当n≥5时，bn＞0， 所以n＝4时，{bn}的前n项和Tn最小， 4(b1＋b4)

最小值为T4＝＝－26．

2

………………8分

29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．

记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中抽取2天的所有情况为：

ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15。…2分

5

（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，

可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴P(A)＝

…5分

8．15

（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，

114故P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝．

1515

…………………8分

(x－1)2＋y21

30．解：（Ⅰ）设点P(x，y)，由＝，

(x－4)2＋y22

化简，得轨迹C的方程是：x2＋y2＝4．

…………………4分

（Ⅱ）因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点， 所以55

＜2，解得k＞或k＜－． 2221＋k

|3|

假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原|3|1

点O到直线l：y＝kx＋3的距离为d＝|OM|＝1．所以＝1，解得k2＝8，即221＋k

k＝±22，经验证满足条件．

所以存在两点M，使得四边形OAMB为菱形． …………………8分

6

（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，

可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴P(A)＝

…5分

8．15

（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，

114故P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝．

1515

…………………8分

(x－1)2＋y21

30．解：（Ⅰ）设点P(x，y)，由＝，

(x－4)2＋y22

化简，得轨迹C的方程是：x2＋y2＝4．

…………………4分

（Ⅱ）因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点， 所以55

＜2，解得k＞或k＜－． 2221＋k

|3|

假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原|3|1

点O到直线l：y＝kx＋3的距离为d＝|OM|＝1．所以＝1，解得k2＝8，即221＋k

k＝±22，经验证满足条件．

所以存在两点M，使得四边形OAMB为菱形． …………………8分

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ydh7.html