第二章 习题解答

习题二答案

2.1 质量为16kg的质点在XOY平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx?6N,

fy??7N ，当t?0时，x?y?0，vx?2m?s?1，vy?0。求当t?2s时质点的位矢和

速度。

f63?解：ax?x?m1682m?s?2????????ay?fym??716m?s?2?

35vx?vx0??axdt??2??2??m?s?1084?????

2?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168于是质点在??时的速度?

57v??i?j48????

m?s?1?

r?(v0t?

11131?7137axt2)i?ayt2j?(?2?2???4)i?()?4j??i?j222821648m?

2.2 质量为0.25kg的质点受力F?ti(N)的作用，t?0时该质点以v?2j(ms)的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是

????????2（A）2ti?2j(m)（B）(2ti3)?2tj(m)

2??3（C）3ti4?2tj3(m)（D）条件不足不能确定

4答案：B

2.3 用一种钳子夹住一块质量M=50kg的混凝土砌块起吊（如图示）。已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数??0.4。如果

（1）钳子匀速上升，

（2）钳子以0.2m/s2的加速度上升，

（3）钳子在沿水平方向以4m/s的速度行驶时，上端悬挂点突然停止运动（设悬挂点到砌块重心之间的距离l?4m），为使砌块不从钳子口滑出，至少必须对砌块施加多大正压力？ 解：（1）水平方向N1?N2，竖直方向f1?f2?Mg，又f1??N1,f2??N2,

?N1?N2?Mg50?9.8??612.5N 2?2?0.4（2）水平方向N1?N2，竖直方向f1?f2?Mg?Ma，

?N1?N2?M(g?a)50?(9.8?0.2)??625N

2?2?0.4（3）物体以v?4m/s的速率，在半径为l的圆周上运动，

v2水平方向N1?N2，竖直方向f1?f2?Mg?M，

lv242M(g?)50?(9.8?)l?4?862.5N ?N1?N2?2?2?0.4

2.4 一滑轮两边分别挂着A和B两物体，它们的质量分别为mA=20kg,mB=10kg，今用力

?F将滑轮提起（如图示），当F分别等于（1）98N，（2）196N，

（3）392N，（4）784N时，求物体A和B的加速度以及两边绳中的张力（滑轮的质量与摩擦不计）。

解：F?2T?0,T?mAg?mAaA,T?mBg?mBaB,

?aA?FF?g,aB??g, 2mA2mB9898?9.8??7.35m/s2,aB??9.8??4.9m/s2, 2?202?10FaA?0,aB?0不合理，说明提不起。T??49N.T?mAg,T?mBg.aA?aB?0

2196196?9.8??4.9m/s2,aB??9.8?0, （2）F?196N,aA?2?202?10196?98N.T?mAg,T?mBg.aA?aB?0 表示仍提不起。T?2392392?9.8?0,aB??9.8?9.8m/s2，表（3）aA?2?202?10（1）F?98N,aA?示

A

不动，B

以9.8m/s2的加速度上升，

T?392?19N6.T?mAg,T?mBg. 2（4）

784784?9.8?9.8m/s2,aB??9.8?29.4m/s2， 2?202?10784T??392N.T?mAg,T?mBg.

2aA?（取竖直向上为正方向）

2.5质量为m质点在流体中作直线运动，，受与速度成正比的阻力F??kv（k为常数）作用，t?0时质点的速度为v0，证明： （1）t时刻的速度为v?v0e?ktm；

（2）由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e?ktm]； （3）停止运动前经过的距离为mv0k； （4）证明当t?mk时速度减至v0的1e。 证明：???∵a?即

?kvdvdv?kdt??分离变量，得?mdtvm?vv0t?kdtdvv?kt??????ln?lnem?0vmv0k?mt∴???????v?v0e???x?vdt??

k?mtkmv0mv0?mtdt?(1?e)???或令?→∞?x??

kk??ve00t???质点停止运动时速度为零，即?→∞，故有x????0v0ek?mtdt?mv0?kkmvm1?m??1????当??时，其速度为v?v0ek?v0e?0，即速度减至??的??

kee

2.6 质量为m的物体沿斜面向下滑动。当斜面的倾角为?时,物体正好匀速下滑。问：当斜面的倾角增大到?时，物体从高为h处由静止滑到底部需要多少时间？ 解：当斜面倾角为α时，物体正好匀速下滑， x方向：mgsin??f1?0 y方向：N1?mgcos??0 又f1??N1

由以上几式，解得??tg? 当斜面倾角增大至β时， x方向：mgsin??f2?ma

y方向：N2?mgcos??0 又f2??N2

???gcos??gsin??gt?gcos? 由以上几式，解得 a?gsin斜面长L?h12h2h1?at2 ?t??? sin?2sin?asin?g(si?n?tg?cos?)?

2hcos??gsin?(sin?cos??cos?sin?)2hcos?

gsin?sin(???)2.7 把一段单位长度质量为?的绳子AB放在平放着的光滑圆

木上，A端固定在圆木的最高点，绳子等于该圆木的14周长，如图所示，圆木的半径为R

（1）画出?与????之间这一小段绳子的受力图，求出绳中张力

T的表达式。并证明上端的张力TA??Rg；

（2）写出圆木作用在?与????之间小段绳子上的法向力N的表达式。对这个水平分量求积分（对整段绳子），其结果等于TA，试说明这个结果的物理意义。 答案：（略）

2.8 一根绳子，一端被水平的拉着，另一端绕水平棒一周后竖直的吊着质量为m的物

体，设绳子的质量可略去不计，绳子和棒之间的摩擦系数??14，如图所示，问当物体处于静止状态时，拉绳子的水平力F是多少？

答案：0.14mg?F?7.12mg

2.9 一根长为L、质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑木钉上，如图示。开始时BC?b。试证当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速度为

v?2g(?b2?bL?2L29)L。

证明：设软绳的线密度为λ，

T??(L?y)g??(L?y)a

?yg?T??ya?a??g?2g2Lgy，当y?时，a? L33a?2gy?Lgdvdy2gy?Lgdv2gy?Lgdy ? vdv?LdydtLdtL2L3?vdv??0vb2gy?Lg1dy v2L2v20gy2?Lgy2L3?b

L22g(L)2?LgL2g422212gb2?Lgb233(L?L?b2?Lb) v?v??L932LL?v?2g22(? L?bL?b2) L9（也可以求解二阶常系数非其次微分方程来证明，或利用机械能守恒来证明）

2.10 一根绳子跨过一定滑轮，一端 拴在爬绳人的身上，另一端握在爬绳人的手中，人以自身体重的23的力往下拉绳。略去滑轮和绳子的质量以及它们之间的摩擦，绳子的长度不变，求人的加速度和绳中的张力。 解： 人拉绳的力和绳拉人的力是一对作用力和反作用力，∴绳中的张力

T?2mg 34gmg?mg?ma，?a? 33如图，对人做受力分析，F?ma，

2.11 如图，一条长为L的柔软链条，开始时静止地放在一光滑表面AB上，其一端D至B的距离为L-a。试证当D端滑到B点时，链条的速度为v?g2(L?a2)sin?。 L

解：?F(r)?dE(r)nk??n?1?drr方向与位矢?的方向相反，即指向力心．?

2.37 （1）试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少？地球质量5.98?1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84?10m，月球质量7.35?1022kg，月球半径1.74?10m。

（2）如果一个1kg的物体在距月球和地球均无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少？

解：???设在距月球中心为?处?月引??地引，由万有引力定律，有??

mM月r286??

mM地?R?r?M月2?

经整理，得???

M地?M月R?

??

7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108?

??????????????

则?点处至月球表面的距离为?

?????月??????????????×???＝????×??????????质量为????的物体在?点的引力势能为???????

EP??GM月mr月11?GM地m?

?R?r月?7.35?10225.98?1024?11??????6.67?10???6.67?10?77?38.4?3.83??103.83?10???????????106J?

2.38 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，，如图所示。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解：弹簧?、?及重物?受力如题????图所示平衡时，有??????????又??????Δ????????Δ???

所以静止时两弹簧伸长量之比为??

?x1k2???x2k1弹性势能之比为??

Ep1Ep21k1?x12k?2?2?1k12k2?x22

2.39 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸缩的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止在A点，AB=BC= h，绳已拉直，现令m1滑块落下，求它下落到B处时的速率。

解：取?点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有??μ?????

11???????????［???????Δ???］?22式中Δ?为弹簧在?点时比原长的伸长量，则?Δ?????????2?????

2?m1?m2?gh?kh2联立上述两式，得????

m1?m2?2?1?2?

2.40 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v=vxi+vyj，质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。 解：?由题知，质点的位矢为?

??????????

作用在质点上的力为?

??????

所以，质点对原点的角动量为?????×???

??????????×???????????

????????????????

作用在质点上的力的力矩为?

????×???????????×???????????

2.41 物体质量为3kg，t=0时位于r=4im，v=i+6j m s-1，如一恒力f=5jN作用在物体上，求3秒后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。 解：??????p?fdt???305jdt?15jkg?m?s?1?

???解?一??????????????????

y?v0yt?1215at?6?3???32?25.5?223即???????????????????????????

5vy?v0y?at?6??3?11?

3即?????????????????

∴??????×??????×????????????

?????×??????????????×????????????????∴Δ??????????????????·??·????解?二??∵M?∴???L?dz?dtt0?t0M?dt??(r?F)dt?

3?15????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023???????????

??5(4?t)kdt?82.5k03kg?m2?s?1

2.42 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量M2为的物体，如题2-24图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少？

解：在只挂重物??时，小球作圆周运动的向心力为???，即?

???????ω??????????????????????????????????????????①?

挂上??后，则有?

????????????′ω′?????????????????????????????②?

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．?即????????′??′?

?r02?0?r?2??2?????????????????????????????③?

联立①、②、③得?

?0????r??(M1gmr0M1gM1?M23()?mr0M1M1)3?r0M1?M22?

?????质量20g为的子弹以400m?s的速率沿如图所示的方向击入一原来静止的质量为980g的摆球中。摆线长为?米，不可伸缩，质量不计。子弹击入后摆球速度为?

（A）4ms；（B）8m?s；（C）2m?s；（D）8?rad?s。 答案：A

2.44 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?1010m时的速率是v1?5.46?104ms?1，它离太阳最远时的速率是v2?9.08?102ms?1，这时它离太阳的距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）

解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有?????????????????????????

?1?1?1?1?1r1v18.75?1010?5.46?104∴r2???5.26?10122v29.08?10m?

2.45 电子质量为?×???????，在半径为???×??????的圆周上绕氢核作匀速运动，已知电子的角动量为

h，求它的角速度。?2??2解：电子角动量L?rmvsin??rm?rsin90?rm??对基态电子rm??2h，得电子角速度?2?h6.63?10?3416????4.18?10rad/s?2?31?1122?mr2?3.14?9?10?(5.3?10)?

2.46 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m1=2m2。用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a=g/2上升时，求：（1）m1和m2相对升降机的加速度；（2）在地面上观察m1，m2的加速度各为多少？ 解：分别以?????为研究对象，其受力图如图???所示．?

???设??相对滑轮?即升降机?的加速度为?′，则??对地加速度????′??；因绳不可伸长，故??对滑轮的加速度亦为?′，又??在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以??在水平方向对地加速度亦为?′，由牛顿定律，有?

??????????′????

?????′?

?

题????图?

联立，解得?′??方向向下???????对地加速度为?????′???

g??方向向上?2??在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即?绝??相′??牵?

g25∴a1?a??a?g??g?

42222θ???????

a1????????????°，左偏上．?a?2

2.47 火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为3000m/s，每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为50t，求火箭得到的加速度。

解：火箭的运动是变质量系统的反冲运动。当喷出dm气体，其速度增加dv

mv?(m?dm)(v?dv)?(?dm)(v?u)∴dv??u则a?

dm， mdv1dm1??u??3000?(?600)??36m/s2 3dtmdt50?102.48 一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆周运动，圆的半径为R0，速率为v0。因火箭爆发，给飞船增加了向外的速度分量vx?v0。于是它的轨迹成为椭圆。?

⑴试证引力可写成?

2mv0R0F??2r⑵试用R0、v0以及vx写出椭圆方程，并利用相应的计算机语言编程作图。

2v0Mm2（1）证明：m作圆周运动时，G02?m， ?G0M?R0v0 （1）

R0R02R0Mmmv0M作椭圆运动时，F?G02?

rr2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ylq3.html