高考数学北师大版（通用，理）总复习讲义 8.6 立体几何中的向量

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

→

1． 直线的方向向量：在空间直线l上任取两点A，B，则称AB为直线l的方向向量．

平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量叫作平面α的法向量． 2． 用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3． 用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的． (2)平面的单位法向量是唯一确定的．

( × ) ( × ) ( × ) ( √ ) ( × ) ( × ) ( )

(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．

(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．

(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行． 2． 若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则

A．l1∥l2

B．l1⊥l2 D．以上均不正确

C．l1与l2相交但不垂直 答案 B

解析 a·b＝－12＋36－24＝0，故a⊥b，即l1⊥l2选B.

3． 已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P

中，在平面α内的是 A．P(2,3,3)

( )

B．P(－2,0,1) D．P(3，－3,4)

C．P(－4,4,0) 答案 A

→

解析 逐一验证法，对于选项A，MP＝(1,4,1)， →→∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n， ∴点P在平面α内，

同理可验证其他三个点不在平面α内．

19554． 若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z

888

＝________. 答案 2∶3∶(－4)

→→→→→

5． 已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，

y，z分别为______________． 答案

4015，－，4 77

→→→→

解析 由题意知，BP⊥AB，BP⊥BC.

??→→所以?BP·AB＝0，

?→→?BP·BC＝0，

→→AB·BC＝0，

1×3＋5×1＋?－2?×z＝0，??

即??x－1?＋5y＋?－2?×?－3?＝0，??3?x－1?＋y－3z＝0，4015

解得，x＝，y＝－，z＝4.

77

题型一 证明平行问题

例1 (2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，

BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点， 点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD.

思维启迪 证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量． 证明 方法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP 所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知， A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)． 设点C的坐标为(x0，y0,0)． →→因为AQ＝3QC，

3231

所以Q?x0，＋y0，?.

442??4

因为M为AD的中点，故M(0，2，1)． 1

0，0，?， 又P为BM的中点，故P?2??323→

所以PQ＝?x0，＋y0，0?.

44?4?

→

又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ·a＝0. 又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD.

方法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)． →1→

∵CF＝CD，设F点坐标系(x，y,0)则

41

(x－x0，y－y0,0)＝(－x0，2－y0,0)

4

?∴?23

y＝?4＋4y

3x＝x0

4

0

23→3

∴OF＝(x0，＋y0,0)

444

23→3

又由证法一知PQ＝(x0，＋y0,0)，

444→→

∴OF＝PQ，∴PQ∥OF.

又PQ平面BCD，OF平面BCD， ∴PQ∥平面BCD.

思维升华 用向量证明线面平行的方法有

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．

如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，

△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、 CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，

∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、 E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．

→→→

∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)， →→→设PB＝sFE＋tFG，

即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2，??

∴?t－s＝0，??－t＝－2，

解得s＝t＝2.

→→→∴PB＝2FE＋2FG，

→→→→→

又∵FE与FG不共线，∴PB、FE与FG共面． ∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG. 题型二 证明垂直问题

例2 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1

的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

思维启迪 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平 面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．

证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，→→使m＝λBA1＋μBD.

→→→

令BB1＝a，BC＝b，BA＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，

→→1→

则BA1＝a＋c，BD＝a＋b，AB1＝a－c，

21→→

λ＋μ?a＋μb＋λc， m＝λBA1＋μBD＝??2?→??λ＋1μ?a＋μb＋λc? AB1·m＝(a－c)·??2??1

λ＋μ?－2μ－4λ＝0. ＝4??2?→

故AB1⊥m，结论得证．

方法二 如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.

→→→

取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB，OO1，OA为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)， A(0,0，3)，B1(1,2,0)．

→→

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，BA1＝(－1,2，3)，BD＝(－2,1,0)． →→

因为n⊥BA1，n⊥BD，

→?BA1＝0，?n·?－x＋2y＋3z＝0，故???

→－2x＋y＝0，??BD＝0?n·

令x＝1，则y＝2，z＝－3，

故n＝(1,2，－3)为平面A1BD的一个法向量， →→→

而AB1＝(1,2，－3)，所以AB1＝n，所以AB1∥n， 故AB1⊥平面A1BD.

思维升华 用向量证明垂直的方法

(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，

PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M 在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD.

证明 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y 轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， ∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.

∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.

∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)， M(

33→→

，0，)，∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)， 22

33→

CM＝(，0，)，

22

(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， →?n＝0，?DP·

则?

→?n＝0，?DA·

?－y＋2z＝0，即? ?23x＋3y＝0，

?z＝2y，∴?3

x＝－y，?2

1

令y＝2，得n＝(－3，2,1)．

33→∵n·CM＝－3×＋2×0＋1×＝0，

22→

∴n⊥CM，又CM平面PAD， ∴CM∥平面PAD.

→

(2)取AP的中点E，则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA.

→→又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， →→

∴BE⊥DA，∴BE⊥DA，

又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD， 又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 题型三 解决探索性问题

例3 (2012·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，

E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求 AP的长；若不存在，说明理由．

思维启迪 利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．

→→→

(1)证明 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)， a

，1，0?，B1(a,0,1)， E??2?

aa→→→→

－，1，－1?，AB1＝(a,0,1)，AE＝?，1，0?. 故AD1＝(0,1,1)，B1E＝??2??2?a→→

∵AD1·B1E＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

2∴B1E⊥AD1.

(2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)． →

使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)． 又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面B1AE，

ax＋z＝0，??→→

∴n⊥AB1，n⊥AE，得?ax

＋y＝0.??2

a

1，－，－a?. 取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝?2??a→

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，

21

解得z0＝.

2

又DP平面B1AE，

1

∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 2

思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．

如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱

的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD.

(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC. 若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． (1)证明 连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD. 由题意知SO⊥平面ABCD.

→→→

以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图． 设底面边长为a，则高SO＝于是S?0，0，6a， 2

?

6?2??a，D－a，0，0， 2??2?

B?

222???→??a，0，0，C0，a，0，OC＝0，a，0，

22?2?????

26→→→

SD＝?－a，0，－a?，则OC·SD＝0.

2??2故OC⊥SD.从而AC⊥SD.

(2)解 棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC. 理由如下：

→

由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量， 2626→→

且DS＝?a，0，a?，CS＝?0，－a，a?，

2?22??2?22→

BC＝?－a，a，0?.

2?2?

→→→→→→→

设CE＝tCS，则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS ＝?－?

226?a，a?1－t?，at， 222?

1→→而BE·DS＝0?t＝.

3

→→

即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.

而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.

利用向量法解决立体几何问题

典例：(12分)(2012·湖南)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面

ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD 的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积． 思维启迪 本题中的(1)有两种证明思路：

(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之； (2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积．

规范解答

方法一 (1)证明 如图，

连接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5. [1分] 又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.

[2分]

因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.[4分] 而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE.

[5分]

(2)解 过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE. 于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角， 且BG⊥AE.

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角． 由题意得∠PBA＝∠BPF，

因为sin∠PBA＝PAPB，sin∠BPF＝BFPB，

所以PA＝BF.

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.

又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形． 故GD＝BC＝3.于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以 BG＝AB2＋AG2＝25，BF＝AB2BG＝1685

25＝5

.

于是PA＝BF＝855

.

又梯形ABCD的面积为S＝1

2×(5＋3)×4＝16，

所以四棱锥P－ABCD的体积为 V＝13×S×PA＝18512853×16×5＝15

.

[6分]

[7分]

[10分][12分]

方法二 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分 别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)， P(0,0，h)．

[2分]

→→→

(1)证明 易知CD＝(－4,2,0)，AE＝(2,4,0)，AP＝(0,0，h)． →→→→因为CD·AE＝－8＋8＋0＝0，CD·AP＝0， 所以CD⊥AE，CD⊥AP.

而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE.

[5分] [6分]

[4分]

→→

(2)解 由题设和(1)知，CD，PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量． 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， →→→→

所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|， →→??→→??CD·PBPA·PB即?＝?. ?→→→→?|PB|??|PA|·|PB|??|CD|·

[8分]

→→

由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)， →

又PB＝(4,0，－h)，

?－16＋0＋0??0＋0＋h?故??＝??. ?25·16＋h2??h·16＋h2?

85

解得h＝. 5

[10分]

2

1

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，

2所以四棱锥P－ABCD的体积为 11851285V＝×S×PA＝×16×＝.

33515

[12分]

温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；

(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量．

方法与技巧

用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的

运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、 面，把立体几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 失误与防范

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1． 若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则( )

A．l∥α或lα C．lα 答案 A

2． 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 答案 D

解析 若l∥α，则a·n＝0，

D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0， ∴a⊥n.

3． 设平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量b＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为

( )

( )

B．l⊥α D．l与α斜交

A．－2 答案 C

B．－8 C．0 D．－6

解析 由α∥β得a∥b，∴

－2hk

＝＝， 12－2

∴h＝－4，k＝4，∴h＋k＝0.

4． 已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于

( )

62

A. 7答案 D

解析 由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，

63

B. 7

60

C. 7

65D. 7

7＝2t－μ??

∴?5＝－t＋4μ??λ＝3t－2μ

??17

，∴?μ＝7

65?λ＝?7

t＝

337

.

5． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，

P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为( ) A．60° C．90° 答案 C

解析 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，3)，C(0,2,0)，A(22，0,0)， M(2，2,0)．

→

∴PM＝(2，1，－3)， →

AM＝(－2，2,0)，

→→∴PM·AM＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， →→

即PM⊥AM，∴AM⊥PM. 二、填空题

6． 已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.

答案 －4

解析 ∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.

7． 设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.

答案 16

→→

解析 PA＝(－1，－3,2)，PB＝(6，－1,4)． →→→

根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB (x、y∈R)，

B．45°

D．以上都不正确

则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4) ＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)， 2a－1＝－x＋6y，??

∴?a＋1＝－3x－y，??2＝2x＋4y，

解得x＝－7，y＝4，a＝16.

8． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B

和AC上的点，A1M＝AN＝是________． 答案 平行

解析 ∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝→2→→2→∴MB＝A1B，CN＝CA，

33

→→→→2→→2→

∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA

332→→→2→→

＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA) 332→1→＝B1B＋B1C1. 33

→

又∵CD是平面B1BCC1的法向量， →→?2→1→?→∴MN·CD＝?3B1B＋3B1C1?·CD＝0， →→

∴MN⊥CD.又∵MN平面B1BCC1， ∴MN∥平面B1BCC1. 三、解答题

1

9． 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面

2

DCQ.

2a， 3

2a

，则MN与平面BB1C1C的位置关系 3

证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射 线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有 Q(1，1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，

→→→

则DQ＝(1,1,0)，DC＝(0,0,1)，PQ＝(1，－1,0)． →→→→∴PQ·DQ＝0，PQ·DC＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，

又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ， 又PQ平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.

10．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ACBD中，PA⊥底面ABCD，E，F

分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC.

证明 (1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，

111→1→→∴E(，1，)，F(0,1，)，EF＝(－，0,0)，PB＝(1,0，－1)，PD＝

2222→→→→

(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)． 1→→→→

∵EF＝－AB，∴EF∥AB，即EF∥AB，

2又AB平面PAB，EF平面PAB， ∴EF∥平面PAB.

→→(2)∵AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， →→AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

→→→→

∴AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC. 又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.

∵DC平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.

B组 专项能力提升 (时间：30分钟)

1． 已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为

( )

A．－1,2 C．1,2

B．1，－2 D．－1，－2

答案 A

解析 由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0.

??m＝－1，解得?

?n＝2.?

→3→1→1→

2． 已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM

488

( )

A．与平面ABC平行 B．是平面ABC的斜线 C．是平面ABC的垂线 D．在平面ABC内 答案 D

解析 由已知得M、A、B、C四点共面．所以AM在平面ABC内，选D. 3． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，

O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q 为平面ABCD内一点，线段D→→

1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN 的实数λ的有________个． 答案 2

解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)， O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为

?x＋1?2，y＋12，1??

，

又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3， ∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1. ∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.

4． 如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角

形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的 中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.

证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz， 令AB＝AA1＝4，

则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．

取AB中点为N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， →→

∴DE＝(－2,4,0)，NC＝(－2,4,0)， →→

∴DE＝NC，∴DE∥NC，

又∵NC平面ABC，DE平面ABC. 故DE∥平面ABC.

→→→

(2)B1F＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2,2,0)． →→B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， →→B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.

→→→→

∴B1F⊥EF，B1F⊥AF，即B1F⊥EF，B1F⊥AF， 又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.

5． 在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的

中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、 a

a，，0?、 C(0，a,0)、E??2?aaa?

P(0,0，a)、F??2，2，2?.

aa→→

－，0，?，DC＝(0，a,0)． EF＝?2??2→→→→∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD.

aaa→

x－，－，z－?， (2)解 设G(x,0，z)，则FG＝?22??2若使GF⊥平面PCB，则

aa→→?a

由FG·CB＝?x－2，－2，z－2?(a,0,0) ?·a

x－?＝0， ＝a??2?a得x＝；

2

aa→→?a

由FG·CP＝?x－2，－2，z－2?(0，－a，a) ?·a2?a?＝＋a?z－2?＝0，得z＝0. 2

a

，0，0?，即G点为AD的中点． ∴G点坐标为??2?

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