7-3三重积分的概念及计算

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7-3 三重积分

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域 上有定义 将 任意分割成n个互不重叠的小区域 i

f xi , yi , zi Vi

i 1 n

在 i 上任取一点 xi , yi , zi , i 1, 2, , n. 作积分和 其中 Vi 表示小区域 i的体积

令 max i的直径 . 若对区域 i的任意一种分割法 1 i n

以及中间点 xi , yi , zi 的任意取法，积分和的极限

lim f xi , yi , zi Vi

0

n

总存在，则称此极限为 f x, y, z 在区域 上的三重积分， f x, y, z dV 或 f x, y, z dxdydz 记作

i 1

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当极限 lim f xi , yi , zi Vi 存在时,称 f x, y, z 在 0 i 1 区域 上可积.

三重积分

n

f x, y, z dV 中的各部分的名称

————积分号 ————积分区域 f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv—被积表达式 dv ————体积元素 x y z———积分变量

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1 在直角坐标下的计算 （１）积分区域是一个拄面，而其底与顶可以是 曲面

x, y, z | x, y D, z1 x, y z z2 x, y

其中 z1 x, y 及 z2 x, y 在 D 上连续

f x, y, z 在 上连续 则

f x, y, z dxdydz

dxdy

D

z2 x , y

z1 x , y

f x, y, z dz.

D

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先二重积分后定积分的方法 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算 一个定积分 设积分区域为 {(x y z)|(x y) Dz a z b} 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域 所得到的一个平 面闭区域 则

f x, y, z dv a dz f x, y, z dxdy.

b

Dz

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2 在柱坐标下的计算公式 空间点的柱面坐标 设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(r ) 则这样的三个数r、 、z就叫做点M的柱 面坐标 这里规定 、 、z的变化范围为 0 r< 0 2 <z< 直角坐标与柱面坐标的关系 x rcos y rsin z z 柱面坐标系中的体积元素 dV rdrd dz 提示 简单来说 dxdy rdrd

dV=dxdydz rdrd dz

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3 在球坐标下的计算公式

空间点的球坐标 设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序 的数 、 、 来确定 如图 这样的三个数 、 、 叫做点M 的球面坐标 这里 、 、 的变化范围为 0 < 0 < 0 2 直角坐标与球坐标的关系 x sin cos y sin sin z cos 球坐标系中的体积元素 dV 2sin drd d 球坐标系中的三重

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