高中必修数学公式含经典解题技巧

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.??A?A??

2 集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n?1个；非空子集有2n?1个；非空的真子集有2?2个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

n(1) 一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0)；

(2) 顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0)；（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式） (3) 零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)；当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时，设

为此式）

（4）切线式：f(x)?a(x?x0)2?(kx?d),(a?0)；（当已知抛物线与直线y?kx?d相切且切点的

横坐标为x0时，设为此式）

4 真值表：同真且真，同假或假 5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有x，成立 存在某x，不成立 对任何x，不成立 存在某x，成立 原结论 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有（n?1）个 至多有n个 至少有（n?1）个 p或q ?p且?q p且q ?p或?q 6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题 逆命题

若p则q 若q则p

否命题 逆否命题

若﹃ｐ则﹃q 若﹃ｑ则﹃ｐ

充要条件： (1)、p?q，则p是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

(2)、p?q，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；

(3)、p ≠> p ，且q?p，则P是q的必要不充分条件；

（4）、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：数学符号表述是：设f（x）在x?D上有定义，若对任意的

f(x1)?f(x2)x1,x2?D,且x1?x2，都有

成立，则就叫f（x）在x?D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

x,x?D,且x1?x2减函数：数学符号表述是：设f（x）在x?D上有定义，若对任意的12，都有

f(x1)?f(x2)

成立，则就叫f（x）在x?D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

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单调性性质：(1)、增+增=增；（2）、减+减=减； (3)、增-减=增；(4)、减-增=减；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：

单调性 内层函数 减 增 增 减 外层函数 减 增 减 增 复合函数 增 增 减 减 等价关系：

(1)设x1,x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数； ?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数. 8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：

定义：在前提条件下，若有f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0，则f（x）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有f(?x)?f(x)，则f（x）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：(1)、奇·偶=奇；（2）、奇·奇=偶；(3)、偶·偶=偶；(4)、奇±奇=奇（例外是偶）

(5)、偶±偶=偶；(6)、奇±偶=非奇非偶

9函数的周期性： 对函数f（x），若存在T?0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2m?n ；

1f(x)(3)、f(x?m)??，此时周期为2m 。

10常见函数的图像：

yyyyk<0ok>0xoa<0xy=ax01y=kx+b

a>02 y=ax+bx+c

o1a>1x

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11 对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x?函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?12 分数指数幂与根式的性质：

ma?b2;两个

b?a2对称.

(1)an?（2）a?mnnam（a?0,m,n?N?，且n?1）. ?1nm?1m（a?0,m,n?N?，且n?1）.

ana（3）(na)n?a.

nn（4）当n为奇数时，a?a；当n为偶数时，a?|a|??nn?a,a?0??a,a?0.

13 指数式与对数式的互化式: logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

指数性质： (1)、a?p?s1ap （2）、a0?1（a?0）(3)、amn?(am)n

m(4)、a?a?arr?s(a?0,r,s?Q) (5)、an?nam

指数函数：指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：

(1)、 logaM?logaN?loga(MN)（2）、 logaM?logaN?logam(3)、 logab?m?logab (4)、 logab?mMNlogab

?b

nnm?logab (5)、 a对数函数：对数函数图象都恒过点（1，0）

(1)、 logax?0?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)

(2)、 logax?0?a?(0,1)则x?(1,??) 或 a?(1,??)则x?(0,1)

14 对数的换底公式 :logaN? 对数恒等式：anmlogmNlogma (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logaN?N(a?0,且a?1, N?0). logab(a?0,且a?1, N?0).

推论 logab?nm15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga(3)logaMnMNn?logaM?logaN; ?nmlogaN(n,m?R)。

?nlogaM(n?R); (4) logamN16 平均增长率的问题（负增长时p?0）：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p). 17 数列： 等差数列：

通项公式： （1） an?a1?(n?1)d ，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项。

x- 3 -

（2）推广： an?ak?(n?k)d

（3）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和： （1）Sn?n(a1?an)22 ；其中a1为首项，n为项数，an为末项。

d

（2）Sn?na1?n(n?1)（3）Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用） （4）Sn?a1?a2???an （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；

注：若am是an,ap的等差中项，则有2am?an?ap?n、m、p成等差。

（2）、若?an?、?bn?为等差数列，则?an?bn?为等差数列。

（3）、?an?为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m也成等差数列。 （4）、ap?q,aq?p,则ap?q?0 ； （5） 1+2+3+?+n=

等比数列：

通项公式：（1） an?a1qn?1?a1q?q(n?N) ，其中a1为首项，n为项数，q为公比。

n*n(n?1)2

n?k（2）推广：an?ak?q

（3）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

（2）Sn?a1?a2???an （注：该公式对任意数列都适用）

na1?? （3）Sn??a1(1?qn)?1?q?(q?1)(q?1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则 am?an?ap?aq ；

注：若am是an,ap的等比中项，则有 am?an?ap?n、m、p成等比。 （2）、若?an?、?bn?为等比数列，则?an?bn?为等比数列。

2- 4 -

（3）Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列

23n-1

错位相减求和： Sn=1+2x+3x+4x+ ┄ +nx ①

xSn=0+ x+2x2+3x3+4x3+ ┄ +nxn ② ①－②得（1-x）S n = 1+x+x2+x3+ ┄ +x n-1-nx n

⑴当x=1时，在原式中Sn=1+2+3+4 + ┄ +n=

(1?x)Sn?1?xn2nn(n?1)2

⑵当x?1时，

?Sn?11n1?x??nxnxnn1?x(1?x)?1n?1?11?x?11?(1?n)xn2?nxn

(1?x)?12(1n 裂项相消求和：

n(n?1)1?n(n?2)?1n?2)

(2n?1)(2n?1)22n?1(1?12n?1)1n?1?n?n?1?n

n(n?1)?13?n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)?ab(1?b)nn18分期付款(按揭贷款) ：每次还款x?19三角不等式：

（1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2(1?b)?1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

)，则sinx?x?tanx.

)，则1?sinx?cosx?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

?2. 20 同角三角函数的基本关系式 ：sin2??cos2??1，tan?=

sin?cos?，

21 正弦、余弦的诱导公式（函数名不变，符号看象限；函数名改变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin?

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

baasin??bcos?=22a?bsin(???) (辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??).

23 二倍角公式及降幂公式

sin2??sin?cos??22tan?1?tan?22.

22cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??tan2??2tan?1?tan?21?tan?1?tan?22.

. tan??sin2?1?cos2??1?cos2?sin2?

24 三角函数的周期公式

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