基本不等式导学案

不等式导学案

教学目标：（1）学会推导不等式ab?a?b，理解不等式的几何意义。 2 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式ab?a?b的推导及应用。 2教学难点：理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。 教学过程：

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会

上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？

设小直角三角形的两条直角边为a、b，

则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.

特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。我们通常把上式写

成ab?a?b(a?0,b?0) 2第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?

a?b?ab ① 2 只需证 ? ② (同时平方)

要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)

证明过程: 要证

要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④

显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立. a,b,

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,

a?b是a,b的 ，叫做a,b的算术平均数， 2ab是叫做a,b的 ，叫做a,b的几何平均数，

由基本不等式可得：a,b的等差中项 a,b的等比中项（?,?），

特别的，当a?b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。

1? aab 若ab?0，则??

ba习题二：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x，宽为y，则xy? ，篱笆的总长度表示为 ，

习题一：若a?0，则a? 由

a?b?ab 可得x?y? ， 2当等号成立时，所用篱笆最短，此时x?___,y?___.

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x，宽为y，则x?y? ，篱笆的面积表示为 ，

a?b?ab可得xy? ， 2当等号成立时，面积最大，此时x?_____,y?_____.

由

总结：两个实数a?0,b?0,

若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。

练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为x,y。则xy?_______ x?y

2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

概念回顾：基本不等式 ，其中（a?0,b?0）特别的，当 时等号成立。 a,b的算术平均数是 ， a,b的几何平均数是 。

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