6-4基本不等式

第6模块 第4节

[知能演练]

一、选择题

a

1．“a＝1”是“对任意正数x,2x＋≥1”的

x

( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

a12a

解析：当a＝1时，2x＋＝2x＋≥22(当且仅当x＝时取等号)所以a＝1?2x＋

xx2xaa

≥1(x>0)．a＝1为2x＋≥1(x>0)的充分条件．反过来，对任意正数x，当a＝2时，2x＋≥1

xxa

恒成立，所以2x＋≥1a＝1.故为非必要条件．故选A.

x

答案：A

2．下列结论正确的是

( )

A．当x>0且x≠1时，lgx＋B．当x>0时，x＋

1

≥2 x

1

≥2 lgx

1

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

x1

D．当0

x解析：x>0，x＋当且仅当x＝答案：B

3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是

( )

A．(－∞，－1] C．[－1,3]

B．[3，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

1≥2x

1

x·＝2， x

1

，即x＝1时，等号成立． x

解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)，

如果x>1，则log2x＋logx2≥2， 如果0

∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D

4．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式正确的是

( )

a2＋b2A．a<

2a2＋b2

C．a

2

a2＋b2

B．b<

2a2＋b2

D．b

a2＋b26

解析：a＝2sin60°＝>1，b＝2sin62°，于是b>a，淘汰B、D，又>ab>b，从

22a2＋b2

而>b>a.故选C.

2

答案：D 二、填空题

x2

5．函数y＝4(x≠0)的最大值为____________，此时x的值为________．

x＋9x2

解析：y＝4＝

x＋91

答案： ±3

6

6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

解析：设仓库建在离车站d千米处， k120

由已知y1＝2＝，得k1＝20，∴y1＝，

10d44

y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，

55204d

∴y1＋y2＝＋≥2

d5

204d·＝8， d519x2＋2x

≤

19

＝，当且仅当x2＝2，即x＝±3时取等号．

x2961

204d

当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．

d5答案：5 三、解答题

7．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；

(2)设x>－1，求函数y＝?x＋5??x＋2?

x＋1的最值；

解：(1)∵x>0，a>2x，

x(a－2x)＝112x＋?a－2x?2a2

∴y＝2×2x(a－2x)≤2×[2]＝8

aa2

当且仅当x＝4时取等号，故函数的最大值为8.

(2)∵x>－1，∴x＋1>0， 设x＋1＝z>0，则x＝z－1

∴y＝?z＋4??z＋1?z2＋5z＋44

z＝z＝z＋z＋5

≥2

z·4z

＋5＝9 当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号 ∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．

8．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)； (2)求f(x)；

(3)不等式f(x)>ax－5当0

解：(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2. (2)令y＝0，

f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x， ∴f(x)＝x2＋x－2.

(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5， ax

. 当x∈(0,2)时，1＋x＋3

x≥1＋23，

当且仅当x＝3

x，即x＝3时取等号，

由3∈(0,2)，得(1＋x＋3

x)min＝1＋23，

∴a<1＋23.

[高考·模拟·预测]

1．(2009·九江模拟)函数f(x)＝x2－2x＋1

x2－2x＋1

，x∈(0,3)，则

( )

7

A．f(x)有最大值

4

B．f(x)有最小值－1 D．f(x)有最小值1

C．f(x)有最大值1

解析：∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)， ∴(x－1)2∈[0,4)， 1

∴f(x)＝(x－1)2＋－1

?x－1?2≥2

1

?x－1?2·－1＝2－1＝1.

?x－1?21

当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，

?x－1?2即x＝2时取等号，

∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1. 答案：D

11

2．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为

ab

( )

A．8 C．1

B．4 1D. 4

1111ba＋

解析：由题意有3a·3b＝3ab＝(3)2＝3，∴a＋b＝1.∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，

ababab1

等号当且仅当a＝b＝时成立，故选B.

2

答案：B

11

3．(2009·重庆高考)已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是

ab

( )

A．2 C．4

B．22 D．5

1111解析：＋＋2ab≥2＋2ab≥4.等号当且仅当a＝b且＝ab，即a＝b＝1时

ababab成立．故选C.

答案：C

4．(2009·江西高考)一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下图四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为

( )

A．τ1>τ4>τ3 C．τ4>τ2>τ3

B．τ3>τ1>τ2 D．τ3>τ4>τ1

2a＋2ba2＋b

2＝解析：第1个区域：先补成一个长方形，设长为a，宽为b，则周率为≤22.

第2个区域：设大圆半径为2，则 2π＋2π周率为＝π.

4

2?a＋b?a2＋b23a

第3个区域：将原图补成一个正三角形，设边长为a，则周率为＝3.

a

第4个区域：设此区域的外接圆半径为R，则其中大的正△ABC的边长为3R， 33R＋3R

∴周率为＝23，故选C.

2R

答案：C

5．(2009·广东六校联考)某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？

解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m， 中间的矩形区域面积为S， πy则半圆的周长为，

2因为操场周长为400， πy

所以2x＋2×＝400，

2

400

即2x＋πy＝400(0

π112x＋πy2

∴S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·()

2π2π2

＝

20000

， π

????2x＝πy

由?，解得?200?2x＋πy＝400??y＝

x＝100

π?

.

x＝100??

∴当且仅当?200时等号成立，

??y＝π

200

即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m时，矩形区域面积最大．

π

[备选精题]

6．已知：x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0， (1)求xy的最小值． (2)求x＋y的最小值．

解：(1)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy. ∴2xy＋5≤x＋y＋5＝3xy. ∴3xy－2xy－5≥0， ∴(xy＋1)(3xy－5)≥0，

525

∴xy≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.

39525

此时x＝y＝，故xy的最小值是.

39x＋y2

(2)解法一：由x＋y＋5＝3xy≤3·()

23

＝(x＋y)2， 4

3

∴(x＋y)2－(x＋y)－5≥0， 4即3(x＋y)2－4(x＋y)－20≥0， 即[(x＋y)＋2][3(x＋y)－10]≥0， 10

∴x＋y≥，

3

5

等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝时取得．

310

故x＋y的最小值为.

3

解法二：由(1)知x＋y＋5＝3xy，且(xy)min＝∴3(xy)min＝

252510，∴(x＋y)min＝－5＝， 333

25

， 9

5

此时x＝y＝.

3