3.4《基本不等式》教学设计

3.4基本不等式（第一课时）

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab?a?b的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解2决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab?明过程；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程： 1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

那么正方形的边长为a2?b2．于是，

a?b 的证24个直角三角形的面积之和S1?2ab， 正方形的面积S2?a2?b2． 由图可知S2?S1，即a2?b2?2ab．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（a?b），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：ab?2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若a,b?R?，则a?b?2ab． 若a,b?R?，则ab?22b

a a?b 2a?b． 2学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若a,b?R?，则a2?b2?2ab；（2）若a,b?R?，则ab?请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：

a?b 2a2?b2?2ab?(a?b)2?0

?a2?b2?2ab，当a?b时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于a,b?R?，于是 要证明

a?b?ab， 2只要证明 a?b?2ab， 即证 a?b?2ab?0，

即 (a?b)2?0，该式显然成立，所以得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若a,b?R?，则ab?a?b?ab，当a?b时取等号． 2a?b（当且仅当a?b时，等号成立） 2若a,b?R，则a2?b2?2ab（当且仅当a?b时，等号成立） 深化认识：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式ab?a?b为a,b的算术平均数 2a?b又可叙述为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC?a，BC?b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．

根据射影定理可得：CD?AC?BC?ab 由于Rt?COD中直角边CD?斜边OD， 于是有ab?D A

B E O C a?b 2当且仅当点C与圆心O重合时，即a?b时等号成立． 故而再次证明： 当a?0,b?0时，ab?a?b（当且仅当a?b时，等号成立） 2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于x,y?R?，

（1）若xy?p（定值），则当且仅当a?b时，x?y有最小值2p； s2（2）若x?y?s（定值），则当且仅当a?b时，xy有最大值．

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

1例2.求y?x?(x?0)的值域．

x变式1. 若x?2，求x?1的最小值． x?21在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示y?x?(x?0)的函数图象，使学

x生再次感受数形结合的数学思想．

并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab?a?b的三个限制条件（一正二2定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）： 1.已知x?0,y?0，且

28??1，求xy的最小值． xy2.设x,y?R，且x?y?2，求3x?3y的最小值． 5．归纳小结，反思提高

基本不等式：若a,b?R，则a2?b2?2ab（当且仅当a?b时，等号成立）

若a,b?R?，则ab?a?b（当且仅当a?b时，等号成立） 2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题A组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

（3）探究作业：

现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

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