课堂练习答案3

三、分析题

2、假定货币的边际效用递减，将高工资者的收入转移给低工资者，能否增加全社会的总效用？并用图说明。

如果货币的边际效用递减，由于低工资者的边际效用大于高工资者的边际效用，所以把相同部分的收入从高工资者手里转移到低工资者手里，从全社会来说，损失的总效用小于增加的总效用，全社会的总效用将是增加的。如图。

?

货币边际效用 C C’ D D‘ O A A ‘B B’ 货币收入 图 3－1 ? 4、我国许多大城市，由于水源不足，自来水供应紧张，请根据边际效用递减规律，设计一种方案供政府来缓解或消除这个问题。并请回答这种措施（1）对消费者剩余有何影响？（2）对生产资源的配置有何有利或不利的效应？（3）对于城市居民的收入分配有何影响？能否有什么补救的办法？

可用提高自来水价格的方法来缓解或消除这个问题。因为，提高自来水价格，一方面可抑制自来水消费量，另一方面可以刺激自来水的供给量。 （1）提高自来水价格会使消费者剩余减少。 如图3-2，当价格从P1提高到P2时，消费者剩余 P 从ΔCP1A减少为ΔCP2B。 C （2）对生产资源配置的有利效应就是节约 了用水，可使水资源得到更合理更有效的使 B P2 A 用。但这样做，也许会造成其他资源的浪费。 P1 比如说，工厂里本来用自来水冷却产品，现 在改用电来冷却，增加了对电和有关装置的

O 要求。如果自来水价格提高过度，必然会带 Q2 Q1 Q 来更多其他资源的消耗。

图3-2

1

（3）如果城市居民的收入不变，自来水价格

提高无异于居民实际收入降低。补救的办法，也许是给居民增加货币工资或予以价格补贴。

? 5、消费品的边际替代率（MRS）的含义是什么？为什么它是递减的（其理论基础是什么）？

MRSXY???Y，它表示为得到一单位的X商品，必须放弃的Y商品的数?X量。因为随着X商品数量的增加，X的边际效用递减。假定Y商品的边际效用不变，为保持总效用不变，每单位X商品替代的Y商品量不断递减。而实际上，如果Y商品量减少，其边际效用会递增。这样，每单位X商品替代的Y商品的数量递减得更快。可见，MRSXY递减的根本原因在于随着X商品消费量的增加，其边际效用递减。

? 6、分别画出具有下列特征的无差异曲线，并解释图形为什么具有这样特征？（1）MRS递减；（2）MRS递增；（3）MRS为固定不变的常数。又问，在MRS为递增或常数时，均衡点是否表示消费者只购买其中的一种商品？为什么？

（1）MRS递减的无差异曲线如图3-3所示。MRS递减，无差异曲线凸向原点。MRS递减是因为X、Y两种产品之间存在一定的替代关系，但又不能完全替代。当X增加时，Y减少，MUX递减，MUY递增，因此，

MRSXY???YMUX递减。正是由于MRS递减，决定了无差异曲线凸向原??XMUY点。 Y Y

A Ⅱ Ⅰ a a C b

b c B O O X X 图 3-4 图3-3

（2）MRS递增的无差异曲线形状如图3－4所示。MRS递增，无差异曲线凹向原点。MRS递增，即无差异曲线上各点（从左上方向右下方移动时）的斜率是递增的。这也决定了无差异曲线凹向原点。

2

（3）MRS为固定不变常数，有两种情况。第一，MRS为非零常数，其无差异曲线如图3-5所示。无差异曲线为一条直线。这时两种商品存在完全替代关系。 Y Y

E A

Ⅱ H

Ⅰ O O F B C G X X 图3-5 图3-6

第二，MRS为零。无差异曲线如图3-6所示。无差异曲线弯成直角，两条直角边分别平行于纵轴和横轴。因为MRS＝0，这说明两种商品是互补的，完全不能替代，X、Y的配合比例也固定不变。

当MRS递增时，均衡点表示消费者只购买其中的一种商品。这可从3-4中得到说明。在图3-4中，虽然预算线AB与无差异曲线Ⅰ相切于C，但是在该点消费者的满足没有达到最大。因为可以仅购买X而达到较高的无差异曲线Ⅱ（无差异曲线经过B点），这时消费者才能在既定收入下得到最大满足。（如果经过A的无差异曲线高于经过B的无差异曲线，那么消费者将仅仅购买Y商品而达到最大效用。）

当MRS为非零常数时，均衡点表示消费者只购买其中一种商品。这可以从图3-5中得到说明。在图3－5中，AB表示预算线，AC表示无差异曲线。MRS的数值小于预算线AB的斜率，消费者在既定收入下可到达的最高无差异曲线是经过A的直线AC。为满足最大，他只购买OA的Y商品。（如果MRS的数值大于预算线AB的斜率，那么，消费者只购买OB的X商品。）

当MRS为零时，均衡点不表示消费者只购买一种商品。这可从图3-6中得到说明。在图3-6中，预算线EF与无差异曲线Ⅰ没有切点，但切于无差异曲线Ⅱ的拐点上，消费者在既定的收入下购买OG的X商品和OH的Y商品。 ? 7、（1）导致需求曲线移动的因素是什么？（2）作图说明指出正常商品和劣质商品的区别，以及（3）正常商品与劣质商品的需求曲线的区别，（4）吉芬商品与劣质商品的相同与不同之处。

(1)导致需求曲线移动的因素包括除了商品价格以外的一切能够影响该商品需求量的因素，如消费者的收入、偏好、对价格的预期、其他商品的价格和商品广告费用等等。其中最主要的是消费者收入。消费者收入增加时，该商品在原有价格水平上增加需求量，表现为需求曲线向右上平行移动。相反，当消费者收入下降时，对商品需求量在该商品价格不变的情

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况下会减少，表现为需求曲线向原点方向平移。

（2）正常商品与劣质商品的区别如图3－7。在图3－7（a）中，恩格尔曲线EC随收入的增加，X数量增加而向右上方延伸。在图3－7（b）中，恩格尔曲线EC随收入的增加，X商品量减少而自左上方向右下方延伸。

M M2 M1 O M EC M2 EC M1 X1 X2 X (a) O (b) X2 X1 X 图3－7 （3）正常商品的需求曲线和劣质商品的需求曲线的区别如图3-8所示。 在图3－8（a）中，商品X需求量随着价格上升而下降，其需求曲线自左上方向右下方倾斜。这是正常商品的需求曲线；在（b）中，商品X需求量随价格上升而上升，需求曲线向右上方倾斜。这是劣质商品的需求曲线。

P P

P1 P2 P1 P2 O X1 X2 X (a) 图3-8 O X2 X1 X （b） （4）吉芬商品和劣质商品的相同之处在于，替代效应与收入效应的方向相反，二者可以互相抵消。即当X商品价格下降时，从替代效应看，对X的需求量会增加，因为消费者总会用多消费X来取代其他商品的消费。但从收入效应看，对X的需求量会减少，因为X的价格下降意味着购买X的消费者的实际收入增加，而收入增加，无论是劣质商品还是吉芬商品，其需求量都会下降。二者不同之处在于，劣质品的替代效应大于收入效应。一

4

次，劣质品价格下降时，需求量的增加超过需求量的减少。因此，总体来说，需求量还是增加的；而吉芬商品的收入效应大于替代效应，因而价格下降时，需求量的减少（收入效应）大于需求量的增加（替代效应），因此，需求量总体来说是减少的。

? 9、某消费者原来每月煤气开支50元，煤气的其他用途如取暖等可用电替代。现在煤气价格上涨100%，其他商品价格不变，政府给予消费者50元作为价格补贴，试问消费者处境改善了，还是恶化了？为什么？ 该消费者的处境改善了。因为该消费者得到50元补贴后，可以多消费电来替代多消费煤气。由于电价未变，他完全可以多用电来改善自己的处境。如果煤气价上涨100%，电价也上涨100%，他的处境就不会改善。 如图3-10所示，MN、MN?分别代表煤气涨价100%但未给补贴前后的预算线，AB是给了50元补贴后的预算线。煤气涨价100%，该消费者仍然要用煤气，必须支出100元，现在政府补贴50元，正好100元，因而仍然可以消费X1的煤气。因而AB必和MN相交于E1点。又由于电价未变，因而AB必和MN?平行，在AB预算线上，消费者找到了新的均衡点E2，消费者得到的效用为U2，大于在原来均衡点E1的效用U1。从图中可以看出，该消费者用多消费电来代替煤气的消费。

? 10、假定总效用函数为U＝f（x，y），（1）说明其二阶交叉偏导数的经济含义。（2）根据二阶偏导数的大小，说明两种产品的性质。

??U?2U（1）()?，表示y固定不变时，x发生微小变动所引起的MUy，

?x?y?x?y?U即的变化。 ?y?U??U?2U，表示x固定不变时，y发生微小变动所引起的MUx，即()??x?y?x?y?x的变化。

?2U?2U（2）??0，说明一种产品消费量的变动，引起另一种产品

?x?y?y?x边际效用的反方向变动。因此，两种产品是互补的。

?2U?2U??0，说明一种产品的消费量的变动，引起另一种产品边际?x?y?y?x效用同方向变动。因此，这两种产品是相互替代的。

?2U?2U??0，说明一种产品的消费量变动，不会导致另一种产品边?x?y?y?x际效用变动。因此，这两种产品是相互独立的，或称为无关的。

5

四、计算题

? 1、假定X和Y两种商品有线性无差异曲线，其斜率处处是1/2，即MRSXY

＝1/2。（1）当PX＝PY＝1，且货币收入M＝1000时，消费者均衡是什么？（2）当PX＝1，PY＝2时，消费者均衡是什么？

解：（1）由于MRSXY＝1/2,而

PXP?1，所以，MRSXY?X。消费者均PYPY衡时最优商品组合为X＝0，Y＝1000； （2）由于

PPX1?，所以，MRSXY?X，故预算线上各点均是均衡点。

PYPY2? 2、若甲的效用函数为U＝XY，试问（1）X＝40，Y＝5时，他得到的效

用是多少？过（40，5）的无差异曲线是什么？（2）若甲给乙25单位X的话，乙愿意给甲15单位Y，进行这个交换后，甲得到的效用会比（40，5）的组合更高吗？（3）乙用15单位Y同甲换取X，为使甲的满足与（40，5）的组合相同，他最多能够得到多少单位的X？

解：（1）U＝XY＝40×5＝200，过（40，5）的无差异曲线是XY＝200。 （2）交换后，甲的商品组合为（15，20），其效用为U＝XY＝15*20＝300，可见交换后的效用高于原有效用。

（3）由于XY＝X*（5＋15）＝200，所以，X＝10。因此，甲必须放弃40－10＝30个单位的X。也就是说，乙最多只能得到30个单位X。

? 3、甲的效用函数为U＝（x＋2）（y＋6），X、Y分别代表蛋糕的块数

和牛奶的杯数。问（1）甲原有4块蛋糕、6杯牛奶。现甲给乙3块蛋糕，乙将给甲9杯牛奶，进行这项交易，甲的商品组合是什么？若甲拒绝交易，这一决策明智吗？（2）若MRSxy＝－2，甲愿意为3杯牛奶放弃1块蛋糕吗？愿意为6杯牛奶而放弃2块蛋糕吗？ 解：（1）交换前甲的商品组合为（4，6），总效用为U＝（4＋2）（6+6）＝72，而交换后的商品组合为（1，15），总效用为U＝3×21＝63，显然，拒绝交换是明智的。

（2）MRSxy＝－2，意味着得到2杯牛奶，放弃1块蛋糕。现在只要放弃1块蛋糕就可以得到3杯牛奶，他当然愿意。（3）愿意。与（2）同理。 ? 4、假定效用函数为U＝q0.5＋2M，其q为消费的商品量，M为收入。求

（1）需求曲线；（2）反需求曲线；（3）p＝0.05，q＝25时的消费者剩余。 解：（1）商品的边际效用为MU??U?0.5q?0.5，货币的边际效用为?q 6

MU0.5q?0.5?U1???2，??2，根据货币边际效用不变时，??则q??MPP16p2即为需求曲线。 （2）由q?11得到，这就是反需求曲线。 P?216p4qq（3）当p＝0.05，q＝25时， 消费者剩余＝?01dq?pq?q224q1311q01?pq??252－0.05?25＝1.25

21? 5、已知某人的效用函数为U?XY，商品价格分别为PX和PY，收入为

M，请推导出他对X、Y的需求函数。

解：根据题意，预算方程为PX?X?PY?Y?M，构建拉各朗日函数

11L?X3Y3??(M?PX?X?PY?Y)

效用函数有极大值的必要条件是所有一阶偏导数为零，即

1?1?2?X3Y3??PX?0M??3X?21??2PX?1?33?解之可得?即为X和Y的需求函数 ?YX??PY?03M??Y??M?PX?X?PY?Y?0?2PY????13? 6、小张每年为购买第一件装饰品愿付10元，第二件愿付9元，……，

直到第10件1元，第11件就不愿付钱。问：（1）假如每件装饰品需付3元，她将买多少件装饰品？她的消费者剩余是多少？（2）装饰品的价格上涨到每件5元，情况又怎样？（3）消费者剩余与商品价格之间的关系是什么？

解：（1）因为小张对第8件装饰品愿意支付3元，即她认为第8件装饰品的边际效用等于3元货币的边际效用。所以，她将购买8件装饰品，她的消费者剩余＝7＋6+5+4+3＋2＋1＋0＝28元。

（2）因为小张对第6件装饰品愿意支付5元，所以当价格上涨到5元时，她将购买6件装饰品。这时，她花的最后一块钱所得的边际效用

恰好等于货币的边际效用，即

MU??。此时她的消费者剩余＝P（5+4+3+2+1+0）＝15

（3）由前面消费者剩余的计算可知：消费者剩余＝愿意支付的价格总额－实际支付的价格总额。

7

? 7、已知某人每月收入120美元，全部用于X、Y的消费，其效用函数为U

＝XY，X的价格是2美元，Y的价格是3美元。求：（1）为使获得的效用最大，他购买商品组合是什么？（2）货币的边际效用和他获得总效用各为多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他的效用水平不变，收入必须增加多少？（4）假如他愿意的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为消费品价格指数的加权数，当X价格提高44％时，消费品价格指数提高多少？（5）为使他保持原有效用水平，他的收入必须提高多少百分率？（6）你关于（4）和（5）的答案相同吗？若不相同，请解释为什么他的效用水平能够保持不变。

?(XY)?(XY)?Y，MUY??X，该消?X?YMUY?MUX??PY费者要得到最大效用，必须满足?PX，将各数值代入有

?PX?PY?MY?X?YX??，解这个方程组得到X＝30，Y＝20。即为了使效用最大，3?2??2X?3Y?120解：（1）由U＝XY得：MUX?他应该购买30单位X商品，20单位Y商品。 （2）货币的边际效用??MUXMUY3020????10 PXPY32总效用TU＝XY＝30*20＝600

X?Y??（3）PX提高之后为PX=2(1+44%)=2.88,据题意有?2.883，解之得

??XY?600?X?25到?，将它代入预算方程可得：?Y?24M?PXX?PYY?2.88*25?3*24?144，由此可知?M?144?120?24。因

此为保持原有效用水平，收入必须增加24美元。 （4）

价格指数增加额消费品价格指数提高百的分率＝原有价格指数（30*2.88?20*3）－（30*2?20*3）26.4＝＝＝22％30*2?20*3120

（5）收入提高的百分率为24/120＝20％。

（6）消费品价格指数提高22%，而收入提高20%，二者显然不同。因为X的价格提高44％，在Y价格不变的情况下，为取得同样效用，均衡购买量发生了变化。一方面，X的购买量从30下降到25，减少支出2.88×

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（30-25）＝14.4；另一方面，Y的购买量从20增加到24，增加了3×（24-20）＝12元的支出，二者相抵，净节省2.4元，占原收入120美元的2.4/120＝2％。因此，当价格指数提高22％时，收入只需要提高20％。 3U?X2Y和3X＋4Y＝100，消费?8、消费者甲的效用函数和预算约束分别为 U?X6Y4?1.5lnX?lnY，者乙的效用函数为 预算约束与甲相同。求：（1）

他们各自的最优商品购买量；（2）最优商品购买量是否相同？这与两条无差异曲线不能相交矛盾吗？

?U32?U解：（1）对于U?XY有：MUX??XY,MUY??X2。由预算

?X2?YP3约束方程的斜率可知X?，第一个消费者最大化效用实现的条件为：

PY4?31?X2Y3?X?20?2?3 ?，解之得第一个消费者的最优商品购买为 ?4Y?10??X2?3X?4Y?100?1.51U?X6Y4?1.5lnX?lnY有：MUX?6X5Y4?,MUY?4X6Y3?，对于

XY3213据题意，第二个消费者最大化效用的实现条件为：

1.5?546XY??X?3?X?20?14，解之得第二个消费者的最优商品购买为。 63?4XY???Y?10?Y??3X?4Y?100 （2）两人的最优购买相同，这样两条无差异曲线就经过同一点，似乎这与两条无差异曲线不能相交矛盾。其实，这是不矛盾的。因为两个消费者都有自己的无差异曲线图，在各自的无差异曲线图中，两条无差异曲线是不相交的。它们分别与同样的预算线相切，购买量相同。但是，这两个购买量所代表的效用是不一样的。

?9、某君爱好是红葡萄酒，当其他商品价格固定不变时，他对高质量的红葡萄酒的需求函数为q=0.02M-2P。收入M＝7500元，价格P＝30元。现在价格上升到40元，问价格上升的价格效应是多少瓶酒？其中替代效应、收入效应各是多少瓶？

解：当M＝7500，P＝30时，他购买红葡萄酒数量为：

q＝0.02×7500-2×30＝90瓶

当P＝40时，为保持效用不变，购买90瓶红葡萄酒和其他商品所需的收入为：M＝7500＋（40-30）×90＝8400元。

9

当他面对M＝8400元，P＝40元时，该消费者会以其他酒来代替红葡萄酒，即他会减少红葡萄酒的购买量。此时，他的购买量为：q=0.02×8400－2×40＝88瓶。

由于他的收入维持在M＝7500，而酒的价格上涨为40元，等于他的实际收入下降。因此，不仅替代效应使他减少红葡萄酒的购买，收入效应也会是他减少红葡萄酒的购买。因此，他实际上对红葡萄酒的购买量为：q＝0.02×7500－2×40＝70瓶。

可见，价格效应使他对红葡萄酒的需要减少90－70＝20瓶，其中替代效应减少90-88＝2瓶，收入效应减少88-70＝18瓶。 在图3-11中，AB是M＝

7500，P＝30时的预算线，它Y 与无差异曲线U1相切，决定酒M 的购买量为90，MN是价格上升到40时，为使他买到90瓶酒和U1 A 其他商品，需要提高收入的预U2 算线（补偿预算线），它与U1相切决定了由于替代效应而使他只会购买88瓶。AC表示了它M＝7500，P＝40时的预算线，它与无差异曲线U2相切决

C X OB N 定了购买量为70瓶酒。于是价70 88 90 格效应（20）为替代效应（2）

图3-11 与收入效应（18）之和。 10

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