材料力学复习资料

12材料力学

一、填空

1、图所示桁架中，水平杆看作刚性，三根竖杆长度相同，横截面积均为A，材料相同，屈服极限为?y．当三杆均处于弹性阶段时，各杆轴力之比为N1: N2: N3=5:2:-1．当三杆中有一杆开始屈服时，荷载P的值为(1.5?yA)．

2、一等截面圆直杆，长度为l，直径为d，材料的弹性模量为E，轴向受压力P，在弹性范围内，其最大切应力为（2P/?d2），受载后的长度为（l-4lP/?Ed2），受载后的直径为（ d+4?P/?Ed ），

22

杆件内的应变能为（2P l/??d ）。 3、外径 D = 55 mm，内径 d = 45 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。则能使用欧拉公式时压杆的最小长度是（1.78m），当压杆长度为上述最小长度的4/5时，压杆的临界应力为（188.5kN）。

已知：E = 200 GPa，? p= 200 MPa ，?s = 240 MPa ，用直线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa。

4、一等直圆杆，直径为d，长度为l，两端各作用一扭矩T，材料的泊松比为?，弹性模量为E。则两端面的相对转角为（64(1+?)Tl/?Ed4），杆件内储存的应变能为（32(1+?)T 2l/?Ed4 ）；

32又若两端各作用一弯矩M，则按第三强度理论时，其危险点的相当应力为（3T2?M2），

?d32按第四强度理论时，其危险点的相当应力为（3T2?0.75M2）。

?d6、矩形截面梁，材料的抗弯许用应力[?]=8MPa,梁内最大弯矩Mmax=24kNm,梁截面的高宽比h/b=1.5.则梁宽b应取( 20cm ).

7、圆柱形蒸汽锅炉的外径为D，内径为d，壁厚为t，若材料的许用应力为[?]．则锅炉能承受的最大内压力(工作压力)为(p=2[?]t/d)。

8、梁的受力情况对于中央截面为反对称，如图。梁中央截面上的内力Qc=( 0 )和Mc=( 0 )

9、火车轮缘与钢轨接触点处的主应力为-800MPa，-900MPa和-1100MPa．按第三强度理论的当量应力为（ 300 MPa ），按第四强度理论的当量应力为（ 265 MPa）。

10. 如图所示为一简支外伸梁，在AB中点D作用一力偶M，BC段的长度为AB段的一半。

则AD段的弯矩为（-Mx/a），DB段的弯矩为（M-Mx/a），BC段的弯矩为（0）；AD段的剪力为（-M/a），DB段的剪力为（-M/a），BC段的剪力为（0）。

1、一构件中某点的?1=80Mpa，?2=?3=0，又E=200Gpa，?=0.3，则?1=（4×10-4 ），?2=（?1.2×10-4 ），?3=（?1.2×10-4）。

3、如图所示，一直径为d的插销连接两板件，板A上下厚度均为h，板B厚度为2h，则实用计算时，插销的剪切应力为（2P/?d2），挤压应力为（P /?hd）。

5、如图所示为一简支外伸梁，在AB中点作用一力F，BC段的长度为AB段的一半。则BC段的剪力为（0），弯矩为（0）。

6、如图所示为一简支外伸梁，在AB中点D作用一力偶M，BC段的长度为AB段的一半。则AD段的弯矩为（Mx/a），DB段的弯矩为（M-Mx/a），BC段的弯矩为（0）；AD段的剪力为（M/a），DB段的剪力为（M/a），BC段的剪力为（0）。

7、图示螺钉在拉力F作用下，已知螺钉材料的[τ]与[σ]之间的关系约为[τ]＝0.6[σ]。则螺钉

直径d与钉头高度h的合理比值＝（ 2.4 ）。

2、用冲床冲圆孔，已知冲床的最大冲力为400KN，冲头材料的许用应力[σ]＝440MPa，被冲剪钢板的剪切强度极限τb＝360MPa。则在最大冲力作用下所能冲的圆孔的最小直径Dmin＝（34mm ），钢板的最大厚度δmax＝（10.4mm ）。

3、实心传动轴的直径D＝50mm，长度L＝1.5m，转速n＝500rpm，传递的功率为2kW。若材料的弹性模量G＝80GPa，则该轴中τmax＝（1.556Mpa），端面扭转角υ＝（0.067°或0.00116rad）。

1、一构件中某点的?1=10Mpa，?2=?10Mpa，?3=?20Mpa，又E=200Gpa，?=0.3，则?1=（9.5×10-5 ），?2=（?3.5×10-5 ），?3=（?10-4）；按第三强度理论的相当应力为（30Mpa），按第四强度理论的相当应力为（26.5Mpa）。

二、一悬臂梁EI=常数，受三角形分布载荷作用，如图所示。试用积分法求梁的挠曲线方程，以及自由端的挠度和转角。

解 一）支座反力

二）挠曲线近似微分方程及其积分

三）挠曲线方程，由边界条件定常数

挠曲线方程

四）自由端转角和挠度

三、某二向应力的单元体如图所示(单位：Mpa)，

1、作出应力圆。

2、求最大切应力及其所在截面的方向，并在单元体内标出该截面。 3、求主应力，并在单元体内标出主应力的方向。

解：1、

2??0=197.5° 2??1=107.5°

2、?max = 99.6 MPa

3、?1=104.6Mpa ?2=0 ?3=-94.6Mpa

四、齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，）连接，它传递的扭矩m=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用剪应力为[?]= 80M Pa ，许用挤压应力为[? jy]= 240M Pa，试设计键的长度。

题四图

解：?键的受力分析如图

2m2?1600??64kN Q?Pjy?d0.05

?剪应力和挤压应力的强度条件

QQ64?[?] ? [L1]???10?3(m)?50mm Lbb???16?802PjyLh?[?jy] ? [L2]?2Pjyh[?jy]?2?64?10?3(m)?53.3mm

10?240?综上 ?L??max? ?L1? ,?L2? ??53.3mm

二、如图所示为一简支梁，梁上对称作用着分布集度为q的均匀载荷，分布范围为梁长的一半，求梁中点的挠度（梁的EI已知）。

题二图

注：以下副图所示的挠曲线方程为：

Fbx2(l?x2?b2)??? (0≤x≤a) 副图a: w??6EIlFblw??[(x?a)3?(l2?b2)x?x3]??? (a≤x≤l)

6EIlb

副图(a)

副图b:?w??qx(l3?2lx2?x3) 24EI

副图(b)

Fb(l/2)2Fb[l?(l/2)2?b2]??(3l2/4?b2) 6EIl12EIqdx(l?x)2[3l/4?(l?x)2]， b=l?x，F=qdx，dw??12EI解：梁中点的挠度w??55ql4梁中点的挠度w??dw??

l/46144EIl/2

三(、某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500马力， 输出功率分别 N2 =

200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[? ]=70M Pa，[? ]=1o/m ，试确定：

①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？

N注：马力、弯矩与专速的关系为 m?7.024(kN?m)

n

解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：m?7.024N(kN?m) n

Wt?? d1316?T16T316?7024??3 ?d1??80mm

[?]????3.14?70?106??3?d216T?????316?4210?67.4mm 63.14?70?10由刚度条件得：Ip?? d 432?T G [? ]???4?d132 T32?7024?180?4?84mm 29? G [? ]3.14?80?10?1???4d232 T32?4210?180?4?74.4mm 29? G [? ]3.14?80?10?1综上： ?d1??85mm, ?d2??75mm ②全轴选同一直径时 ?d???d1??85mm

③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。

四、外径 D = 55 mm，内径 d = 45 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。

1、求能使用欧拉公式时压杆的最小长度。

2、当压杆长度为上述最小长度的4/5时，求压杆的临界应力。

已知：E = 200 GPa，? p= 200 MPa ，?s = 240 MPa ，用直线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa。 解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度

E ?1?π?100σp

压杆 ? = 1 π(D4?d4) I12264i???D?d π(D2?d2)4A 4

?l4?l

?????1?10022 iD?d

221000.055?0.045 l??1.78mmin4?1

（2）当 l = 4/5 lmin 时，Fcr=? l?5l?1.424m?l4?lmin????80.2??1

22iD?d

a?σs304?240????57?? 2b1.12

用直线公式计算

π22 Fcr?A?σcr?(a?b?)(D?d)?188.5kN4

二、在图示简易吊车中，BC为钢杆，AB为木杆。木杆AB的横截面面积A1=100cm2，许用应力[]1=7MPa；钢杆BC的横截面面积A2=6cm2，许用应力[]2=160MPa。试求许可吊重P。

P

解： 取铰支点B为研究对象

三、如图示某起重机的吊具，吊钧与吊板通过销轴联结，起吊重物F。己知：F=40kN，销轴直径D=22mm，吊钧厚度t=20mm。销轴许用应力：的强度。

。试校核销轴

解：(1)剪切强度校核

销轴的受力情况如图所示，剪切面为mm和op。截取mnop段作为脱离体，在两剪切面上的剪力为

剪应力强度条件为

将有关数据代入，得

A B a F1 C b F2

解（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2， （a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为

1F12aW1?F1δB1?22EAF1aEA?B1?外力作功为

F(a?b)（b）再在C上加 F2，C截面的位移为 ?C2?2EA

F22(a?b)1F2 作功为 W2?F2?C2?22EA

Fa（c）在加F2 后,B截面又有位移

?B2?2 EA在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）

FFaW3?F1?B2?12

EA

11所以应变能为

Vε?W?F1?B1?F2?C2?F1?B2 22 F12aF22(a?b)F1F2a??? 2EA2EAEA

（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1. （a）在C截面加F2 后,F2 作功 F22(a?b)2EA

（b） 在B截面加F1后,F1作功 F12a 2EA

（c）加 F1引起 C 截面的位移 F1a EA

F1F2a在加F1过程中F2作功（常力作功）

EA

11所以应变能为

Vε?W?F1?B1?F2?C2?F1?B2 22 F12aF22(a?b)F1F2a??? 2EA2EAEA

6、抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度 wC 和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.

ql/2 A l/2 q C l ql/2 B

qlqx2(0?x?l)解、在实际荷载作用下,任一 x 截面的弯矩为 M(x)?x?22

（1）求C 截面的挠度，在C点加一向下的单位力,任一 x 截面的弯矩为

1l

M(x)?x(0?x?) 22l/2x M(x)dxqlqx2wC?M(x)??2??(x?)dxl0 EI2EI22 5ql4?(?) 384EI

（2）求A截面的转角

1在 A 截面加一单位力偶，引起的 x 截面的弯矩为

(0?x?l)M(x)?x?1 ll1 M(x)dxxqlqx2?A?M(x)??(?1)(x?)dxl0 EIEIl22 ql3

??????24EI

7、图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠度和转角.

q A B F=qa C 2a qa解、

FRA? 2（1）求截面的挠度（在C 处加一单位力“1”） AB: 2qaqx M(x)?x?a

2x2M(x)??

2BC: M(x)??qa?xM(x)??x

a12aqaqx2x wC?[(x?)(?)dx?(?qax)(?x)dx]00EI222

2qa4 ?(?)3 EI（2）求C截面的转角（在C处加一单位力偶）

AB: qaqx2xM(x)?x?M(x)? 222a

BC: M(x)??qa?xM(x)?1

a 12aqaqx2x?C?[(x?)()dx?(?qax)(1)dx]00 EI222a 5qa3 ??6EI

8、外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.

????F

Me B A C FRA l a

MFa解、 FRA?e?ll

MFaAB:

M1(x1)?(e?)x1?Me ll

?M1(x1)a?M1(x1)x1??x1??1

?Fl?Mel BC: M2(x2)??Fx2?M2(x2)

?0?M2(x2)??x2 ?Me?F 23Mla1FlaFaelM(x)?M(x)aM(x)?M(x) 112222wC??dx1??dx2?EI(3?6?3) (?)00 EI?FEI?F

lM(x)?M(x)aM(x)?M(x)112222?A??dx1??dx2

00EI?MeEI?Me

9、刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.

????Ma C a D F

a Me B A FRAx FRAy FRD

解、在C截面虚设一力偶 Ma ,在D截面虚设一水平力F.

FRD?FRAy FRAx?F1 ?F?(Ma?Me)2a

1(Me?Ma)]xCD: M(x)?[F?2a

?M(x) ?M(x)x?x? ?F?Ma2a

1(Me?Ma)]?2a?Ma?FxCB: M(x)?[F?2a

?M(x)?M(x)

?2a?x?0 ?F?Ma

AB: M(x)?Fx

?M(x)?M(x)?x?0

?F?Ma

12aMex1a1?Vε??xdx?M?(2a?x)dx? δx?eMa?0EI02aEI0EI?FF?0

???a0217Mae0?xdx?(?)6EI

?Vε θC??Ma

aa2Mea12aMexx?[?dx?M?0dx?0?0dx]??0e?0Ma?0EI?02a2a3EIF?0

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