北京2018年中考数学复习专题突破8代数综合

专题突破（八） 代数综合

名师说中考：

代数综合题是中考题中较难的题型(属于次压轴题)，是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要包括方程类、函数类、动点类、应用类等类型．

解代数综合题注意归纳整理代数中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系，注意数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意、化整为零、层层深入、各个击破，加强知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的．

A组·真题体验

1．［2017·北京］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B的

左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1

2．［2016·北京］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m>0)与x轴的交点为A，B. (1)求抛物线的顶点坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

图Z8－1

B组·专题训练

类型1 确定参数取值范围类问题

1．［2017·海淀一模］平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2m2x＋2交y轴于A点，交直线x＝4于B点．

(1)抛物线的对称轴为直线x＝________(用含m的代数式表示)； (2)若AB∥x轴，求抛物线的表达式；

(3)记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)，若对于图象G上任意一点P(xP，yP)，yP

≤2，求m的取值范围．

图Z8－2

2．［2017·东城一模］二次函数y＝(m＋2)x2－2(m＋2)x－m＋5，其中m＋2>0. (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)过动点C(0，n)作直线l⊥y轴．

①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系式；

②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；

(3)若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

图Z8－3

3．［2017·西城一模］在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－(2m＋1)x＋m－5的图象与x轴有两个公共点．

(1)求m的取值范围；

(2)若m取满足条件的最小的整数，

①写出这个二次函数的解析式；

②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；

③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．

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4．［2017·朝阳一模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－mx＋m2＋m－2的顶点在x轴上．

22(1)求抛物线的表达式；

(2)点Q是x轴上一点，

①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标；

②抛物线与直线y＝2交于点E、F(点E在点F的左侧)，将此抛物线在点E、F(包含点E和点F)之间的部分沿x轴平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．

图Z8－4

5．［2017·丰台一模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－4mx＋2m－1(m≠0)与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)①如果点A的坐标是(－1，－2)，求点B的坐标；

②抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为－1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．

图Z8－5

6．［2017·石景山一模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－4ax＋4a－3(a≠0)的顶点为A. (1)求顶点A的坐标；

(2)过点(0，5)且平行于x轴的直线l与抛物线y＝ax2－4ax＋4a－3(a≠0)交于B，C两点． ①当a＝2时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．

图Z8－6

7．［2017·顺义一模］如图Z8－7，已知抛物线y＝ax2＋bx＋8(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC＝2.

(1)求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；

(2)过点A，B作x轴的垂线，分别交直线CD于点E，F，将抛物线沿其对称轴向上平移m个单位，使抛物线与线段EF(含线段端点)只有1个公共点．求m的取值范围．

图Z8－7

8．［2017·怀柔一模］已知二次函数y＝ax2＋2ax＋a－1(a>0)． (1)求证：抛物线与x轴有两个交点； (2)求该抛物线的顶点坐标；

(3)结合函数图象回答：当x≥1时，其对应的函数值y的最小值范围是2≤y≤6，求a的取值范围．

图Z8－8

9．［2017·平谷一模］直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A关于直线x＝－1的对称点为点C.

(1)求点C的坐标；

(2)若抛物线y＝mx2＋nx－3m(m≠0)经过A，B，C三点，求该抛物线的表达式；

(3)若抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过A，B两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围．

图Z8－9

10．［2017·门头沟一模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线的顶点为P，规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界)．

(1)如果该抛物线经过(1，3)，求a的值，并指出此时“G区域”有________个整数点；(整数点就是横纵坐标均为整数的点)

(2)求抛物线y＝a(x＋1)(x－3)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，直接写出a的取值范围．

图Z8－10

类型2 直线与抛物线交点类问题 11．［2017·怀柔二模］在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y轴交于点A，并且经过点B(3，n)． (1)求点B的坐标；

(2)如果抛物线y＝ax2－4ax＋4a－1(a>0)与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．

图Z8－11

12．［2017·房山一模］在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x－3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x－3交于点C.

(1)求点C的坐标；

(2)如果抛物线y＝nx2－4nx＋5n(n＞0)与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

图Z8－12

13．［2017·通州一模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2－m＋2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(－3，m)，B(1，m)．

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)； (2)若该抛物线经过点B(1，m)，求m的值；

(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

14．［2017·燕山一模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－3)，B(4，5)． (1)求此抛物线表达式及顶点M的坐标；

(2)设点M关于y轴的对称点是N，此抛物线在A，B两点之间的部分记为图象W(包含A，B两点)，经过点N的直线l：y＝mx＋n与图象W恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．

图Z8－13

15．［2017·石景山二模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(点

A在点B的左侧)，对称轴与x轴交于点(3，0)，且AB＝4.

(1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

(2)将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为(0，－1)，抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2

围成的封闭图形为M.直线l：y＝kx＋m(k≠0)经过点B.若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．

图Z8－14

16．［2017·顺义二模］如图Z8－15，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线y＝－x2＋bx＋c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P(－3，4)的直线y＝mx＋n(m≠0)与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．

图Z8－15

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