2010年中考数学二轮拔高专题复习—代数几何综合题

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2010年中考数学二轮复习——代数几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析

的中点，AE⊥AC于【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BFAD，EM切⊙O于M。

⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝BC·CE；

2⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE，

∵BFAD，∴∠DCA＝∠BAE，

∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)

中点，∴HC＝HB1， ∵A是BDC

102

∵∠CAE＝90，∴AC＝CH·CE＝ BC·CE

中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ⑶∵A是BDC

∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM ① 12

∵ACBC·CE，BC·CE＝8 ②

2①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC＝17 ∵EC＝AC＋AE17－2＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， AE13

∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AC2

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.

【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠

BAC=90。

○

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过C作CD⊥x轴，D为垂足．（1）求点 A、B的坐标和AD的长；（2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。解：（1）在y=2x+2中分别令x=0，y=0．

得 A（l，0），B（0，2）．易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2．

（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）．设过过B、A、C三点的抛物线为y ax2 bx c

a 6

a b c 0

17 所以 c 2 ，解得 b

6 9a 3b c 1

c 2

所以y

5217

x x 2 66

点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．

【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为5个平方单位？

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b 由题意，得

3 b=6k 解得 4

8k b 0

b 6

所以，直线AB的解析式为y＝－

x＋6． 4

（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1° 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

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3010 2t

所以 t＝10 解得 t＝11(秒)

2° 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以

t＝10 2t 解得

610

t＝50(秒)

（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝BO＝4

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·4＝8 －8t所以，S△APQ＝1AP·QE＝

t·(8－8t)

＝－5t＋4t＝24 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作 PE⊥AB．

【例4】（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．

在Rt⊿ABC中，AC＝10， PC＝AC－AP＝10－x． ∵ PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．

○

PE10 x4

故 PE PC，即 ,PE 8 x.

8105ABAC∴⊿PBC面积＝2PE BC 24 5x. 又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝24 12x.

112

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即 y 48 5x，x的取值范围是0＜x＜10．（2）这个判断是正确的．理由：由（1）可得，⊿PAD面积＝12x.

⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．

点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了. Ⅲ、综合巩固练习（100分 90分钟）

1、如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A （0，3 ），B（－1，0）、C（0，1）中，若△DEF各顶点坐标分别为D3 ，0）、E（0，1）、F（0，－1），则下列判断正确的是（）

A．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90得到; B．△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90得到; C．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60得到; D．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120得到

2．如图2－5－9,已知直线 y=2x＋1与x轴交于A点，与y轴交于B点，直线y=2x—1与x轴交于C点，与y轴交于D点，试判断四边形ABCD的形状．

3．如图2－5－10所示，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，设∠ABD=α，已知sinα是方程

○○○○

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25z－35z+ 12=0的一个实根．点E、F分别是BC、DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF面积等于y.

⑴ 求出y与x之间的函数关系式；

⑵ 当E、F两点在什么位置时y有最小值？并求出这个最小值．

4．（10分）如图2－5－11所示，直线y=－与x 轴、y轴分别交于点M、N．

3（1）求M、N两点的坐标；

124

（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=相切，求

53点P的坐标．

5．（10分）如图2－5-12所示，已知等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC．垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q．设BP=x，AQ=y． ⑴ 写出y与x之间的函数关系式；

⑵ 当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；

⑶ 当线段 PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）

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6．（12分）如图2－5－13所示，已知A由两点坐标分另为（28，0）和（0，28），动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动，动直线 EF从 x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴)并且分别交y轴，线段AB交于E、F点．连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

⑴ 当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积，t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

⑵ 当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段 PF的长．

⑶ 设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2 ，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

7．（12分）如图2－5－14所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为(1，0)，5

对角线的交点P的坐标为（，1）

2⑴ 写出B、C、D三点的坐标；

⑵ 若在AB上有一点 E作，’入过 E点的直线‘将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线l的解析式；

⑶ 若过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，并与y轴交于点M，求过点C、D、M三点的抛物线的解析式．

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8．（10分）已知矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A（0，0），B（m，0），D（0，4）其中m≠0．

⑴ 写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示）

⑵ 若一次函数y=kx－1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含m的代数式表示）

⑶ 在⑵的前提下，l又与半径为1的⊙M相切，且点 M（0，1），求此矩形ABCD的中心P点的坐标．

9．（10分）如图2－5－15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2，若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O． ⑴ 设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式； ⑵ 当t为何值时，AB⊥GH； ⑶ 请你证明△GFH的面积为定值．

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10. (10分)如图2－5-16，在矩形ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm．点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图 2－5－17是点 P出发x秒后△APD的面积S1（cm）与x（s）的函数关系图象；图2－5－18是点Q出发xs后面AQD的面积S2（cm）与x（s）的函数关系图象． ⑴ 参照图2－5－17，求a、b及图中c的值； ⑵ 求d的值；

⑶ 设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点 P、

Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值．

⑷ 当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．

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