2017年石家庄一模数学卷

2018年6月20日数学试卷

一、选择题（共16小题；共42分） 1. 的倒数是

A.

B.

C. D.

2. 下列图形中是轴对称图形的是

A. B.

C. D.

3. 据统计， 年石家庄外环线内新栽植树木 株，将 用科学记数法表示为 A.

B.

C.

D.

4. 同一直角坐标系中，一次函数 与正比例函数 的图象如图所示，则满足 的 取值范围是

A. A.

B. B.

C. C.

D. D.

5. 下列运算正确的是

6. 如图，数轴上一点 向左移动 个单位长度到达点 ，再向右移动 个单位长度到达点 ．若点 表示的数为 ，则点 表示的数

A.

B.

C.

D.

7. 如图，几何体是由 个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是

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A. B.

C. D.

8. 如图， ，则 的大小为

A. B. C. D.

9. 、 两地相距 千米，甲车和乙车的平均速度之比为 ，两车同时从 地出发到 地，乙车比甲车早到 分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为 千米/小时，则所列方程是

A.

B.

C.

D.

10. 一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数是

A.

B.

C.

D.

11. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若

， ，将四个直角三角形中边长为 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是

A.

B. C. D.

12. 若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图象不经过

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

13. 如图为 的网格图， ， ， ， ， 均在格点上，则点 是

A. 的外心 B. 的外心 C. 的内心 D. 的内心

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14. 如图，小正方形的边长均为 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是

A. B.

C. D.

15. 如图，在 中， ， ，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 ，

于点 和 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接

并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是

① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；④ ．

A.

B.

C.

D.

16. 如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为

，其部分图象如图所示，下列结论：

① ；

②方程 的两个根是 ， ； ③ ；

④当 时， 的取值范围是 ； ⑤当 时， 随 增大而增大； 其中结论正确的个数是

A. 个 B. 个 C. 个

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D. 个

二、填空题（共3小题；共10分）

17. 的平方根是 . 18. 若 ，则 的值为 ．

19. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 和 ， ， ， 分别在直线

和 轴上， ， ， ， 都是等腰直角三角形，如果 ， ，那么点 的纵坐标是 ，点 的纵坐标是 ．

三、解答题（共7小题；共68分）

20. （1）计算：

（2）先化简，再求值：

．

，其中 ．

21. 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的

次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B，E两组发言人数的比为 ，请结合图中相关数据回答下列问题：

发言次数

（1）则样本容量是 ，并补全直方图；

（2）该年级共有学生 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 的人数；

（3）已知A组发言的学生中恰有 位女生，E组发言的学生中有 位男生，现从A组与E组中

分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女

的概率．

22. 如图，在四边形 中， ， ， ． 是 的中点， 是 边上

的一动点（ 与 ， 不重合），连接 并延长交 的延长线于点 ．

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（1）试说明 ．

（2）当点 在点 ， 之间运动到什么位置时，四边形 是平行四边形?并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交

于第二、第四象限内的 ， 两点，与 轴交于 点，过 作 轴，垂足为点 ， ， ，点 的坐标为 ．

（1）求 的周长；

（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

24. 某片果园有果树 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距

离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果 （千克），增种果树 （棵），它们之间的函数关系如图所示．

（1）求 与 之间的函数关系式；

（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 千克?

（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 （千克）最大?最大产量是多少?

25. 如图，在 中， 为直角， ， ，半径为 的动圆圆心 从点 出发，

沿着 方向以 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点 从点 出发，沿着 方向也以 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为 秒 以 为圆心， 长为半径的 与 、 的另一个交点分别为 、 ，连接 、 ．

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（1）当 为何值时，点 与点 重合?

（2）当 经过点 时，求 被 截得的弦长．

（3）若 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．

26. 如图1，在平面直角坐标系中有一 ， 为坐标原点， ， ，将此三

角形绕原点 逆时针旋转 ，得到 ，抛物线 经过 ， 两点．

（1）求抛物线 的解析式及顶点 的坐标． （2）①求证：抛物线 经过点 ．

②分别连接 ， ，求 的面积． 接写出点 的坐标．

（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点 的一点 ，使 与 的面积相等，请直

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答案

第一部分 1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. D 8. C 9. B 10. D 11. C 12. A 13. B 14. C 15. D

【解析】根据作图的过程可知， 是 的平分线．故①正确； 在 中， ， ， ．

又 是 的平分线， ，

．故②正确． ， ， 点 在 的中垂线上．故③正确． 在 中， ， ，

， ，

， ． ，

故④正确． 16. B 第二部分 17. 18. 19. ，

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【解析】 ， 在直线 上，

解得

直线解析式为： ；

设直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ， 当 时， ，

当 时， ，

解得 ，

点 ， 的坐标分别为 ， ，

，

作 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，

， ，

，

，

是等腰直角三角形， ， ，

同理可求，第四个等腰直角三角形 依次类推，点 的纵坐标是 第三部分

20. （1）

，

．

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（2）

当 时，原式 ． 21. （1） ； 补图如下：

【解析】 B，E两组发言人数的比为 ，E占 ， B组所占的百分比是 ， B组的人数是 ，

样本容量为： ， C组的人数是 （人），

F组的人数是： （人）， （2） F组的人数是 ， 发言次数不少于 的次数所占的百分比是： ，

全年级 人中，在这天里发言次数不少于 的人数为 （人）． （3） A组发言的学生为： 人，有 位女生， A组发言的有 位男生， E组发言的学生： 人， 有 位女生， 位男生． 由题意可画树状图为：

共有 种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有 种， 所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 ． 22. （1） 因为 ，

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所以 ， 因为 是 的中点， 所以 ， 在 和 中，

因为

所以 ．

（2） 当四边形 是平行四边形时， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ．

所以当 时，四边形 是平行四边形． 23. （1） 轴于点 ， ，

， ， ，

由勾股定理可求出 ， 的周长为 ．

（2） 由（1）可知：点 的坐标为 ，把 代入 ， ．

反比例函数的解析式为： ． 把 代入反比例函数 中， ，

点 的坐标为 ．

将 和 代入 ．

解得：

一次函数的解析式为： ．

24. （1） 设函数的表达式为 ，该一次函数过点 ， ，

根据题意，得

解得

所以该函数的表达式为 ．

（2） 根据题意，得 ． 解这个方程得 ， ．

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因为投入成本最低．

所以 不满足题意，舍去．

所以增种果树 棵时，果园可以收获果实 千克． （3） 根据题意，得

因为 ，则抛物线开口向下，函数有最大值 所以当 时， 最大值为 千克．

所以当增种果树 棵时果园的最大产量是 千克． 25. （1） ， ， 由勾股定理可求得： ， 由题意知： ， ，

是 的直径， ， ， ， ，

当 与 重合时， ， ，

.

（2） 当 经过 点时，如图1，

， ， ，

，

过点 作 于点 ， 与 相交于点 、 ， 连接 ， ，

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，

， ，

，

；

由勾股定理可求得：

由垂径定理可求知：

（3） 当 与 相切时，如图，

此时 ， ， ， ， ， ， ，

，

，

当 时， 与 只有一个交点，当 时，此时 与 重合，由（1）可知： ， 当

时， 与 只有一个交点，综上所述，当， 与 只有一个交点， 的取值范

围为： 或 ． 26. （1） ， ． 又 ． ．

将 ， 代入抛物线的解析式得： 解得： ， ．

，

抛物线的解析式为 ． ， 抛物线的顶点 的坐标为 ．

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（2） ①由旋转的性质可知： ， ．

当 时， ， 抛物线 经过点 ．

②如图1所示：过点 作 轴．

轴， ， ， ．

梯形 ．

由旋转的性质可知： ， ．

， ． 梯形 ． （3） 如图2所示：过点 作 ，交抛物线于点 ．

，

的面积 的面积． ， ．

设直线 的解析式为 ．

将点 ， 代入得： 解得： ， ，

直线 的解析式为 ．

，

直线 的一次项系数为 ． 设 的解析式为 ．

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将点 的坐标代入得： ，解得： 直线 的解析式为

，

．

将 与 联立．解得： （舍），

．

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