(1)大一数学试题及答案

大一高数试题及答案

一、填空题（每小题１分，共１０分）

________ １

１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ ｘ2

_______________。

x

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ─────────────── h→o h ＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是

____________。

ｘ

５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ

１

６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ

７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______

R √R－ｘ

８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为 ____________。

0 0

ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ

９．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。 ｄｘ ｘ ｄｘ

∞ ∞

１０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000

3

2

2

2

4

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１

１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ｘ

１ １ １

①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ ｘ ｘ １－ ｘ

１

２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ）

ｘ

①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

３．下列说法正确的是 （ ）

①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续

③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）

①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）

① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０

ｄ ｄ

④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘ ｄｘ

1

６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ） -1

① ０ ② １ ③ ２ ④ ３

７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）

①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线

ｘ

８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ ＋ ｙ ＋ ｘ ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ） ｙ

①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） １

③ｔｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）

ｔ2

ａn＋１ ∞

９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1

①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散

2

１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘｙ 是 （ ）

①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程

（二）每小题２分，共２０分

１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）

①ｙ＝ｅ ②ｙ＝ｘ＋１

③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）

x

3

3

3

3

2

①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）

①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件

ｄ

１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝ （ ）

ｄｘ

①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ ｓｉｎｘ

１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3

的曲线方程为ｙ＝ （ ）

①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ １

１ x

１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ）

x→0 ｘ3

１

① ０ ② １ ③ ── ④ ∞ ３

ｘｙ

１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ） x→0 ｘ2＋ｙ2 y→0

① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１

１８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ）

④１－④ｘ4－

① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ'

ｄｐ

② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ─── ｄｙ ｄｐ ③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ─── ｄｙ １ ｄｐ ④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝── ─── ｐ ｄｙ

∞ ∞

１９．设幂级数 ∑ ａnｘ在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘ 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）

n=o n=o

①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关

ｓｉｎｘ

２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ （ ） D ｘ

1 1 ｓｉｎｘ

① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ __

1 √y ｓｉｎｘ ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __

1 √x ｓｉｎｘ

③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __

1 √x ｓｉｎｘ

④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ

三、计算题（每小题５分，共４５分）

___________

／ ｘ－１

１．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。 √ ｘ（ｘ＋３）

2

n

n

2

ｓｉｎ（９ｘ－１６） ２．求 ｌｉｍ ─────────── x→4/3 ３ｘ－４

ｄｘ

３．计算 ∫ ─────── 。 （１＋ｅx ）2

t 1 ｄｙ

４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕ

ｄｕ，求 ─── 。

0 t ｄｘ

５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

６．设 ｕ＝ｅ＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。

x asinθ

７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。 0 0

ｙ＋１

８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。 ｘ＋１

３

９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。 （１－ｘ）（２＋ｘ）

四、应用和证明题（共１５分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。

___ １

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。 ｘ 附：高数（一）参考答案和评分标准

x

一、填空题（每小题１分，共１０分）

１．（－１，１）

２．２ｘ－ｙ＋１＝０

３．５Ａ

2

４．ｙ＝ｘ＋１

１

５．──ａｒｃｔｇｘ＋ｃ ２

６．１

７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

π/2 π

８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ）ｒｄｒ 0 0

９．三阶

１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的 （ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②

６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③

（二）每小题２分，共２０分

１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③

１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②

三、计算题（每小题５分，共４５分）

22

１

１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分） ２

１ １ １ １ １

──ｙ'＝──（────－──－────） （２分） ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３ __________

１ ／ ｘ－１ １ １ １

ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分） ２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３

ｓｉｎ（９ｘ2－１６） ２．求 ｌｉｍ ─────────── x→4/3 ３ｘ－４

１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）

２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分） x→4/3 ３

１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］

＝ ────────────────────── ＝８ （２分） ３

１＋ｅx－ｅx

３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分） （１＋ｅx）2

ｄｘ ｄ（１＋ｅx）

＝∫─────－∫─────── （１分） １＋ｅx （１＋ｅx）2

１＋ｅ－ｅ １

＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分） １＋ｅx １＋ｅx １

＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分） １＋ｅx

４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）

ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）

ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

x

x

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）

ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２

所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分） １ ０ －３ __ __

６．解：ｄｕ＝ｅｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分） __ 一、 D C B D A

二课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设函数f()

x1

xx 1

，则f(2x)

x +√y + sinz

A C B B

C B A D

A A D A

C A D

（ ）

B.D.

21 x

x

A.C.

11 2x2x

2(x 1)2(x 1)

2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ） A.x+3 C.2x 3.lim(

x

xx 1

)

x

B.x-3 D.-2x

（ ） B.e

-1

A.e

x 3

C. D.1

4.函数y

(x 2)(x 1)

的连续区间是（ ）

A.( , 2) ( 1, ) B.( , 1) ( 1, )

C.( , 2) ( 2, 1) ( 1, ) D. 3,

(x 1)ln(x 1)2　，x 1

5.设函数f(x) 在x=-1连续,则a=（ ）

a　　　　　　　，x 1

A.1 B.-1

6.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx C.-tanx dx

C.2 D.0

B.cotx dx D.tanx dx

7.设y=a(a>0,a 1),则y

x

(n)x 0

（ ）

A.0 B.1

n

C.lna D.(lna)

8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.C.

C(x)xdx

C(x)xdC(x)dx

x x0x x0

-x

B.D.

dC(x)

9.函数y=e-x在区间(-1,1)内（ ） A.单调减小

B.单调增加

C.不增不减 D.有增有减 10.如可微函数f(x)在x0处取到极大值f(x0),则（ ） A.f (x0) 0 C.f (x0) 0

B.f (x0) 0 D.f (x0)不一定存在

11. [f(x) xf (x)]dx （ ） A.f(x)+C C.xf(x)+C

B. xf(x)dx D. [x f(x)]dx

2

12.设f(x)的一个原函数是x,则 xf(x)dx （ ）

A.C.

x

3

3

C

3

B.x5+C D.

x

5

23

x

8

C

3

15

C

13.

e

x

dx （ ）

8

A.0

2

x

B.2 e

02 2

8

3

x

dx

C. edx

21

D.3 x2exdx

1

14.下列广义积分中,发散的是（ ） A.

dxxdxx

B.

dxx

01

C.

1

0D.

dx x

15.满足下述何条件,级数 Un一定收敛（ ）

n 1

n

A. Ui有界

B.limUn 0

i 1

n

C.lim

Un 1 r 1

D.n

Un

|Un|收敛

n 1

16.幂级数 (x 1)n的收敛区间是

（ ）

n 1

A. 0,2 B.(0,2) C. 0,2

D.(-1,1)

x

2

17.设z e

y

,则 z y

（ ）

x

2

2

x

2

A.e

y

B.

xy

2

e

y

x

2

2

x

C.

2xy

y

y

e

D.

1y

e

18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（ ） A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2)

D.(1,-2)

19.

cos

xcosydxdy （ ）

0 x 20 y

2

A.0

B.1 C.-1 20.微分方程

dydx

1 sinx

满足初始条件y(0)=2的特解是（ A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2

D.y=x-cosx+3

二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21.求极限 lim(n 3 n)n 1.n

1

22.设y xx,求y (1). 23.求不定积分

cos2x1 sinxcosx

dx.

24.求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分.

25.用级数的敛散定义判定级数

1的敛散性.

n 1

n

n 1

D.2

）

三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 26.设z xy xF(u),u 27.计算定积分 I 28.计算二重积分I

dydx

yx

,F(u)为可导函数

,求x

z x

y

z y.

2

xln

1

xdx.

D

cos(x

2

y)dxdy

2

,其中D是由x轴和y

2

x

2

所围成的闭区域.

29.求微分方程x

y e

x

0

满足初始条件y(1)=e的特解.

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 30.已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?

(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线y

x

140

x.　问

2

,直线x+y=6和

EyEx

10.设函数y=ln x,则它的弹性函数

2-x

=_____________.

11.函数f(x)=xe的单调增加区间为______________. 12.不定积分

dx2x 3

x0

=__________________.

2

2

13.设f(x)连续且 f(t)dt x cosx，则f(x)=________________. 14.微分方程xdy-ydx=2dy的通解为____________________. 15.设z=xe,则

xy

z x y

2

=______________________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） k ex16.设函数f(x)=

3x 1

x 0x 0

在x=0处连续，试求常数k.

17.求函数f(x)=

esin

x2

x

2

+x arctanx的导数.

18.求极限lim

x

x

x 0

xe sinx

2

.

19.计算定积分 20.求不定积分

2

sin2xdx.

1 x1 x

2

dx.

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21.求函数f(x)=x-6x+9x-4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 22.已知f(3x+2)=2xe,计算 f(x)dx.

2

32

-3x

5

23.计算二重积分 xydxdy，其中D是由直线y=x,x=1以及x轴所围的区域.

D

2

五、应用题（本大题9分）

24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大？

21 -3/2 22 -e^-1

23 x- arctgx + C 24 3/2 25 y + 2 = 0 26 t^2f(x,y)

27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 28 2pi/3 29

1/2

30 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三

四

一、 D C B D

C A

A C B B

C B A D

A A D A

A D 二

21 -3/2 22 23 24 25

-e^-1

x- arctgx + C 3/2

y + 2 = 0

26 t^2f(x,y)

27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 28 2pi/3 29 1/2

30 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三

四

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