河南郑州外国语学校等比数列基础练习题

一、等比数列选择题

1．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ）

A ．2

B ．2或2-

C ．2-

D ．2 2．

已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

3．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14

，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ） A ．22017 B ．22018 C ．22019 D ．22020

4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=

，2454a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n -

B ．41n -

C ．12n -

D ．21n -

5．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.

A ．55989

B ．46656

C ．216

D ．36

6．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）

A ．3

B ．12

C ．24

D ．48

7．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a +

+的取值范围为（ ） A ．73,2?????? B ．()3,+∞ C ．73,2?

? ??? D ．[

)3,+∞ 8．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

9．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ）

A ．8

B ．8-

C ．16

D ．16-

10．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()

*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010

n

n S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．4

12．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6

B ．3 或-1

C ．6

D ．3

13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ）

A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

15．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）

A ．若对任意正整数n ，都有24n n a =成立，则{}n a 为等比数列

B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=?成立，则{}n a 为等比数列

C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m n m n a a +?=成立，则{}n a 为等比数列

D ．若对任意正整数n ，都有312

11n n n n a a a a +++=??成立，则{}n a 为等比数列 16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1或2 C ．-2或2 D ．-2或1或2

17．正项等比数列{}n a 的公比是

13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11

18．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?，，

，则该数列从第5项到第15项的和为（ ） A ．2016 B ．1528 C ．1504 D ．992

19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项

m a ，n a 14a =，

则14m n

+的最小值为（ ） A ．53 B ．32 C ．43 D ．116

20．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14 B ．1 C ．12 D ．

13 二、多选题

21．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ??????为等差数列 B ．数列{}2n

a 为等比数列 C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a += D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S +=

22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） A

．12 B

．12- C

．12+ D

．12

-+ 23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =

，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ）

A ．数列{}n S 递增，且1n S <

B ．数列{}n S 递减，最小值为12

C ．数列{}n S 递增，最小值为12

D ．数列{}n S 递减，最大值为1

24．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ）

A ．数列{}n a 是等差数列

B ．2n n a =

C ．数列{}2

n a 的前n 项和为21223n +- D ．数列11n n b b +???????

的前n 项和为n T ，则1n T <

25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +??+??+?

?的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ）

A ．24a =

B ．2n n S =

C ．38n T ≥

D ．12n T <

26．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列

B ．若4123,27,a a ==则89a =±

C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1

27．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,

n =，则下面给出的四个判断中，正确

的有（ ）

A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列

B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列

C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列

D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列

28．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ）

A ．1023

B ．341

C ．1024

D ．342

29．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（ ）

A ．{}n a 是等比数列

B ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???或 2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列

C ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???和 2a ，4a ，???，2n a ，???均是等比数列

D ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???和 2a ，4a ，??? ，2n a ，???均是等比数列，且公比相同

30．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}n a 是等比数列

B ．数列{}1n n a a +是等比数列

C ．数列{}2lg n a 是等比数列

D ．数列1n a ??????

是等比数列 31．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,

01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．681a a >

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T 32．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）

A ．n a n ??????

为等差数列 B ．{}n a 为递增数列

C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-?+

D ．12n n a +??????的前n 项和22

n n n T += 33．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n ?b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b

1C ．S 2n ＜T 2n D ．S 2n ≥T 2n

34．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

35．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有

( )

A ．数列n S n ??????

的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若11

1625n i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n

+的最小值为2512

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一、等比数列选择题

1．A

【分析】

由等比数列的性质可得2315a a a =?，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值

【详解】

解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，

所以23154a a a =?=，

因为110a =>，所以30a >，

所以32a =，

故选：A

2．C

【分析】

根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ．

【详解】

设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，

因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，

解得24q =或21q =-（舍），所以2q ， 又等比数列{}n a 的前4项和为30，

所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =，

∴2318a a q ==．

故选：C .

3．A

【分析】

根据已知条件计算123

20182019a a a a a ????的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果.

【详解】 因为1n n n b a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=?????=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()()123

201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=?????? 22220192019101010101010101010102a a a a a =???== 所以2019202012b b =，又114

b =，所以201720202b =， 故选：A.

【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N

+=+=∈， （1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；

（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ?=?=. 4．D

【分析】

根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.

【详解】

因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352

a a +=，2454a a +=， 所以2

4135

1452

2

q a a a a =++==， 因此()

()111111*********n n n n n n n n n

a q S q q a a q q q ---??- ?--??====--?? ???. 故选：D.

5．B

【分析】

第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．

【详解】

设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得

数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q =

所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=?=

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，

蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂．

故选：B ．

6．C

【分析】

题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项．

【详解】

根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()717

1238112a S ?-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==， 故选：C.

7．C

【分析】

由等比数列性质求得3a ，把35124

a a a +

+表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】 因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53

32a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124

a a a ++ 1111a a =++

，易知函数()1f x x x =+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ??++∈ ???， 故选：C ．

【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数．

8．C

【分析】

根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项

公式可得121n n a -=+，即求.

【详解】

因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121

n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.

则112n n a --=，即121n n a -=+.

因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >.

故选：C

9．C

【分析】

根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值.

【详解】

因为254,32a a ==，所以3528a q a =

=，所以2q ，

所以2424416a a q ==?=， 故选：C.

10．C

【分析】

根据()*122n n a S n N ++=∈可求出n a 的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合

不等式可求n 的最大值.

【详解】

1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =

；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n ??<+< ???，1111000210

n ??<< ???，则n 的最大值为9.

故选：C

11．A

【分析】

利用已知条件化简，转化求解即可．

【详解】

已知{}n a 为等比数列，1322a a a ∴=，且22a =， 满足13123321231322111124

a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ．

【点睛】

思路点睛：

（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=，

（2）通分化简

312311124

S a a a ++==. 12．D

【分析】 由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k .

【详解】

k a 是1a 与2k a 的等比中项

212k k a a a ∴=，()()2

111121a k d a a k d ??∴+-=+-?????? ()()223423k d d k d ∴+=?+，3k ∴=.

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 13．C

【分析】

根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S .

【详解】

因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，

所以()()242264S S S S S -=-，即()()62

153315-=-S ，解得663S =. 故选：C

14．B

【分析】

设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531

a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】

设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意得515(12)512a S -==-，解得1531

a =， 5(12)312012

n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=

∴该女子所需的天数至少为7天． 故选：B

15．C

【分析】

根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.

【详解】

对于A ，若2

4n n a =，则2n n a =±，+1+12n n a =±，则12n n

a a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；

对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=?，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m n m n a a +?=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +?=，所以1+1

222

n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；

对于D ，由312

11n n n n a a a a +++=??可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++?=?，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++?=?，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C.

【点睛】

方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n n a q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列；

（2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()221

0n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列； （3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 16．C

【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

当1q =时，4121

422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()

()41424222111115111a q S q q q S q

a q q

---===+=---，解得2q =±. 故选：C.

17．B

【分析】

根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ；

【详解】

解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =.

所以31a =，211a q ∴=，因为13

q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q -=

=-.

故选：B

18．C

【分析】 利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可

【详解】

因为119211021119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?

，，， 所以，41049104561022222212a a a -+++=+

+==--， 49

8448

941112152222222212a a a -+++=++=++==--， 该数列从第5项到第15项的和为

10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=?-+-=?+-=?= 故选：C

【点睛】

解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题

19．B

【分析】

设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q ，

根据存在两项m a 、n a 14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分

类讨论即可得出．

【详解】

解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，

满足：7652a a a =+，

22q q ∴=+，

解得2q ，

存在两项m a 、n a 14a =，

∴14a =，

6m n ∴+=，

m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)， 则14m n

+的最小值为143242+=． 故选：B ．

20．D

【分析】

根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2243a a a =，

所以231a =，31a =，211a q =.

因为313S =，

所以1q ≠.

由()()31231111a q S a q q q -=

=++- 得22131q q q =++，

即21210q q --=，

解得13q =，或14

q =-（舍去）. 故选：D 二、多选题

21．ABC

【分析】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为

()112

n n n S na d -=+

，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案.

【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+

选项A. 112n S n a d n -=+，则+1111+1222

n n S S n n d a d a d n n -????-=+-+= ? ?????（常数） 所以数列|n S n ???

???为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122n a n d a +-=,则112222n n n n a a a d a ++-==（常数），所以数列{}

2n a 为等比数列，故B 正确.

选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m n

a a m d n a a n d m ?=+-=??=+-=?? ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-?-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+

=，()112m m m m S a d n -=+= 将以上两式相减可得：()()()2212d m n a m m n n n m ??-+---=-?

? ()()()112d m n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠ 所以()1112d a m n ++-=-，即()1112

d m n a +-=-- ()()()()()()()1

11112m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确.

故选：ABC

【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应

用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m n a a m d n a a n d m

?=+-=??=+-=??，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()

112n n n n S a d m -=+=，

()

112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112

d m n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题.

22．AB

【分析】

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案

【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，

①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+，

整理得()()()2111q q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >

，所以解得q =

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=，

因为0q >

，所以解得12q -+=

，

综上12q +=

或12

q -+=， 故选：AB

23．AC

【分析】

计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可

【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2

f =， 所以221(2)(1)4a f f ===，

31(3)(1)(2)8

a f f f ===， …… 所以1()2

n n a n N +=∈， 所以11(1)122111212

n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==

， 故选：AC

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题

24．BD

【分析】

根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2

n n S n a S n =?=?≥?，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证.

【详解】

当1n =时，12a =，

当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-，

两式相减得：12n n a a -=，

又212a a =，

所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以2n n a =，24n n a =，数列{}2n a

的前n 项和为()141444143

n n n S +--'==-， 则22log log 2n n n b a n ===， 所以()1111111

n n b b n n n n +==-??++， 所以 1111111...11123411n T n n n =-

+-++-=-<++， 故选：BD

【点睛】

方法点睛：求数列的前n 项和的方法

(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122

n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()

11,11,11n n na q S a q q q =??=-?≠?-?； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

25．ACD

【分析】

在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由3

2122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138

b =， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断.

【详解】

解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；

32212822S a a =+==≠，故B 错误；

+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，

12n n

a a +=， 所以2n ≥时，2422n n n a -=?=， 令12(1)n n n

b n n a ++=+，12123(11)8

b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?， 1138T b ==，2n ≥时，

()()23341131111111118223232422122122

n n n n T n n n ++=+-+-++-=-

n T ≤<，故CD 正确； 故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n

n a n a S S n -=?=?-≥?递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.

26．AC

【分析】

根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断

D.

【详解】

设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠

则222112()n n n n

a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；

若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >?<<∴?>?或1001a q

，即数列{}n a 是递增数列，C 正确； 若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3

a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC

【点睛】

等比数列的判定方法

(1)定义法：若1(n n

a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比

数列；

(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则

{}n a 是等比数列.

27．AD

【分析】

利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B.

【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，

则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-，

则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=????，

所以{}n A 是等差数列，故A 正确；

对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，

()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列， 奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确.

对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，

当1q ≠-时， 则11111n n n n n n n n n n

a q a A a a a q q a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 28．AB

【分析】

首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得；

【详解】

解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为

22a =，48a =，所以242

4a q a ==，所以2q =±， 当2q 时11a =，所以101012102312

S -==- 当2q =-时11a =-，所以()()()1010

11234112S -?--==--

故选：AB

【点睛】 本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.

29．AD

【分析】

根据{}n S 为等比数列等价于

2n n

a a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】 {}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n n

a a +为常数. 对于A ，因为{}n a 是等比数列，故

22n n a q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足； 对于B ，取21221,2n n n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列，

1a ，3a ，??? ，21n a -，???不是等比数列，2121

n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n n n n a a -==，此时满足2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列，

1a ，3a ，??? ，21n a -，???是等比数列，

21213n n a a +-=，2222n n

a a +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2n n

a a +为常数. 故选：AD.

【点睛】 本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 30．ABD

【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.

【详解】

根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则

1n n a q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n n a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n n

a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}

2lg n a 不是等比数列，C 错误；

对于D ，对于数列1n a ??????，有11

1

11n n n n a a a q a --==，1n a ??????为等比数列，D 正确. 故选：ABD .

【点睛】

本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题.

31．AD

【分析】

分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.

【详解】

①671,1a a >>, 与题设67101

a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.

③671,1,a a <<与题设67101

a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.

得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .

∴B ，C ，错误.

故选：AD.

【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈. 32．BD

【分析】

由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=?+，所以可知数列n a n ??????是等比数列，从而可求出12n n a n +=?，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于

1

11222

n n n n a n n +++?==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +??????的前n 项和. 【详解】

由12(1)0n n n a na ++-=得

121n n a a n n +=?+，所以n a n ??????是以1141a a ==为首项，2为公比的

等比数列，故A 错误；因为

11422n n n a n -+=?=，所以12n n a n +=?，显然递增，故B 正确；

因为23112222n n S n +=?+?+

+?，342212222n n S n +=?+?++?，所以 231212222n n n S n ++-=?+++-?()22212212n

n n +-=-?-，故

2(1)24n n S n +=-?+， 故C 错误；因为111222

n n n n a n n +++?==，所以12n n a +??????的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确.

故选：BD

【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

33．ABC

【分析】

利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.

【详解】

∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；

∵a n +a n +1＝2n ，

∴1223

24a a a a +=??+=?； ∴12123

212244a a a a a a a +??+=-?＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．

∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列；

∴b 1＜b 2＜b 3；

∵b n ?b n +1＝2n

∴1223

24b b b b =??=?； ∴2132

b b b b ???＞＞； ∴1＜b

1B 正确．

∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n

＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）

()()()()

12

1212122122n

n n b b b b ?--=+=+-

))2121n n ≥-=-；

∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．

故选：ABC

【点睛】

本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

34．AB

【分析】

由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分

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