二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结

一、二次函数概念：

2b，c是常数，a?0）的函 1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a， 数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

2y?ax?bx?c的结构特征： 2. 二次函数

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，例题：

例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

练习、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，0? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，0? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax2?c的性质： 上加下减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，c? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，c? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：

左加右减。

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，0? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，0? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 4. y?a?x?h??k的性质：

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，k? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，k? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式

4ac-b22

y=ax+bx+c则最值为 ）

4a

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14

5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴

2

6．已知二次函数y=mx+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ 。

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标

2?h，k?；

⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位 平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】

平移|k|个单位 y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：

1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

12122

（1）y= x－2x+1 ； （2）y=－3x+8x－2； （3）y=－ x+x－4

24

4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得 图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。 5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者

b?4ac?b2b4ac?b2?通过配方可以得到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点

c?、以及?0，c?关于画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??， ?．2a4a2a??当x??bb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当2a2a4ac?b2b． x??时，y有最小值

4a2a 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??b，顶点坐标为2a?b4ac?b2?bb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增??，?．当x??4a?2a2a?2a4ac?b2b大而减小；当x??时，y有最大值．

4a2a

例题：函数y=a(x－h)2的图象与性质 1．填表：

抛物线 开口方向 对称轴 2y??3?x?2? y?1?x?3?2 2顶点坐标

1

2．试说明函数y= (x－3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增

2

减性、最值）。

1

3．二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a = ，OA＝OC，试求该抛物线的解

2

析式。

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y 随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。 2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y 随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。

3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .

15

4.已知二次函数y=－ x2+3x+ 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且

223

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函

数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线

的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2ab?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

bab的符号的判定：对称轴x??在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则

2aab?0，概括的说就是“左同右异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

例题：函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2

2.已知抛物线y=ax+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论： ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）

A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

y yyy

O1x1xO1xO1Ox

DA BC

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b， a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

c2

7.在同一坐标系中，函数y= ax+c与y= (a

x

A B C D

k

8.反比例函数y= 的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大

x

致为图中的（ ）

A B C D

k

9.反比例函数y= 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx

x

的图象大致为图中的（ ）

A B C D 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 例题：函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；

1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二 次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二 次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二 次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二 次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次 函数的解析式。

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

22 2. 关于y轴对称

y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

22 3. 关于原点对称

y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b2 y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；

2a2222y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．

22n?对称 5. 关于点?m，y?a?x?h??k22n?对称后，得到的解析式是关于点?m，y??a?x?h?2m??2n?k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物

线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

0?，B?x2，0?(x1?x2)，① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，其中的

x1，x2是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离

b2?4ac. AB?x2?x1?a② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶

点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实有两个交点 正、可零、可负 根 ??0抛物线与x轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实 只有一个交点 非负 数根 ??0抛物线与x轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根. 无交点 为正 例题：二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝

（写一个即可）

2. 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3. 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )

A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

4. 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于

点C， 则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1

5. 已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离

49

平方等于为 ，则m的值为( )

25

A.－2 B.12 C.24 D.48 6. 已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

??0 抛物线与x轴十一、函数的应用

刹车距离二次函数应用??

?何时获得最大利润?最大面积是多少? 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 例题：二次函数应用 (一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。 （2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式； (2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4t18.html