浙教版二次函数知识点
更新时间:2023-08-06 00:17:01 阅读量: 实用文档 文档下载
浙教版二次函数知识点
浙教版二次函数知识点
二次函数在初中数学中占有重要位置,特别是在中考的最后一道大题,算是数学大题中的压轴题,接下来为你整理了浙教版二次函数知识点,一起来看看吧。
浙教版二次函数知识点I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax+bx+c (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和B(x₂,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b)/4a x₁,x₂=(-b±√b-4ac)/2a III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像,可以看出,二
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次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P ( -b/2a ,(4ac-b)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
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特别地,二次函数(以下称函数)y=ax+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax,y=a(x-h),y=a(x-h) +k,y=ax+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h>0时,y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h) +k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
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2.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b]/4a).
3.抛物线y=ax+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a 时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a 时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对
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应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
浙教版二次函数解题方法1.求证“两线段相等”的问题:
借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来;然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,把它们进行化简,即可证得两线段相等。
2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题:
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式y上-y下,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3.“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:
(方法1)先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛
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物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等),再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=0(因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以△=0)从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离。
4.常数问题:
(1)点到直线的距离中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题:先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(2)三角形面积中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题:先求出定线段的长度,再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析
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式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题:
用K点法设出直线方程,求出与抛物线(或其它直线)的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可。
5.“在定直线(常为抛物线的对称轴,或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题:先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。
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