大学高等数学 第一章第一节到第四节典型例题

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定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么 存在 正数N ,使 小),总 ),总 得对 n > N 时的 于 一切xn , 都成立, 不等式 xn a < ε都成立 那末 , 就称常 a是数列 数

xn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为 的极限,lim xn = a,n→∞

或xn → a (n → ∞).

如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的

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数列极限的几何意义 ε > 0, N ,

使得 N 项以后的所有项

x N +1 , x N + 2 , x N + 3 , 都落在a点的ε邻域

(a ε , a + ε )内

因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点

2ε

a ε x 2 x1 x N + 1

a+ε

a

x N + 2 x3

x

注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法

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1. 定义:不论它多么小), 定义 1 如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在着正数 X , 使得对于适合不等式 x > X 的一切

x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A < ε ,那末常数 A就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限, 记作 时的极限,

lim f ( x ) = A 或x →∞

f ( x ) → A(当x → ∞)

"ε X"定义

lim f ( x ) = A x →∞

ε > 0, X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) A < ε .

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2.另两种情形 另两种情形: 另两种情形10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞ ε > 0, X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) A < ε .

2 . x → ∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → ∞0

ε > 0, X > 0, 使当x < X时, 恒有 f ( x ) A < ε .lim 定理 : lim f ( x ) = A x → +∞ f ( x ) = A且 lim f ( x ) = A. x → ∞ x →∞

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3.几何解释 几何解释: 几何解释y=ε A

sin x x

X

ε

X

当x < X或x > X时, 函数 y = f ( x )图形完全落在以 直线y = A为中心线 , 宽为 2ε的带形区域内 .

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1. 定义 :定义 2 如果对于任意给定的正数 ε ( 不论它多 么小), 总存在正数 么小),总存在正数 δ , 使得对于适合不等式 ),

0 < x x 0 < δ 的一切 x , 对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A < ε , 那末常数 A 就叫函数

f ( x ) 当 x → x 0 时的极限, 记作 时的极限,x → x0

lim f ( x ) = A 或

f ( x ) → A(当x → x 0 )

"ε δ"定义 ε > 0, δ > 0, 使当0 < x x 0 < δ时,

恒有 f ( x ) A < ε.

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注定义其三个要素： ①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素： 10。正数ε,20。正数δ,30。不等式 ， | f ( x ) A |< ε (0 <| x x0 |< δ ) ②定义中 0 <| x x0 |< δ 表示x ≠ x0 所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态 在 并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近 并无关系，这是因为我们所关心的是 的变化趋势， 变化有无终极目标， 的变化趋势，即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标， 而不是f(x) 在x0这一

孤立点的情况 。约定 →x0但 约定x 而不是

x≠x0

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③δ>0反映了x充分靠近 0的程度，它依赖于ε, 反映了 充分靠近x 的程度， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 而言， 一的。 一的。δ由不等式 |f(x) -A|<ε 来选定， < 来选定， 一般地， 越小， 一般地，ε越小，δ越小

2.几何解释 几何解释: 几何解释当x在x 0的去心 δ邻 域时,函数y = f ( x ) 图形完全落在以直 线y = A为中心线, 宽为2ε的带形区域内.A+ε A A ε

y

y = f (x )

o

x0 δ

δ

δx0

x0 + δ

x

显然 , 找到一个 δ后, δ越小越好 .

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左极限

ε > 0, δ > 0, 使当x 0 δ < x < x 0时,

恒有 f ( x ) A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 0) = A.x → x0 0 ( x → x0 )

右极限

ε > 0, δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时,

恒有 f ( x ) A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 + 0) = A.注意 : { x 0 < x x 0 < δ } = { x 0 < x x 0 < δ } ∪ { x δ < x x 0 < 0}x → x0 + 0 + ( x → x0 )

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定理 : lim f ( x ) = A f ( x 0 0) = f ( x 0 + 0) = A.x → x0

x . 例6 验证lim 不存在 x→0 x →x x lim lim 证 x → 0 = x → 0 x x= lim ( 1) = 1x → 0

y

1ox

1

x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0

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子列收敛性( 子列收敛性 函数极限与数列极限的关系)+ 定义 设在过程 x → a (a可以是 x0 , x0 , 或x0 )中

{ f ( xn )}, 即f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), 为函数 f ( x )当x → a时的子列.定理

有数列 xn ( ≠ a ), 使得n → ∞时xn → a .则称数列

若 lim f ( x ) = A, 数列 f ( xn )是f ( x )当x → ax →a n→ ∞

时的一个子列 , 则有 lim f ( xn ) = A.

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证 ∵ lim f ( x ) = Ax → x0

∴ ε > 0, δ > 0, 使当0 < x x 0 < δ时, 恒有 f ( x ) A < ε.又 ∵ lim x n = x 0 且 x n ≠ x 0 ,n→∞

∴ 对上述 δ > 0, N > 0, 使当n > N时, 恒有 0 < x n x0 < δ.从而有 f ( x n ) A < ε,故 lim f ( x n ) = A.x→∞

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sin x 例如, 例如 lim =1 x→0 x 1 lim n sin = 1, n→ ∞ n

y=

sin x x

n2 n+1 1 sin 2 = 1 lim n sin = 1, lim n→ ∞ n + 1 n→ ∞ n n函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 限都存在,且相等.

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即 lim f ( x) = A xn , xn →a, xn ≠ a, lim f ( xn ) = Ax→a n→∞

证明

设 lim f ( x ) = Ax→a

即 ε > 0, δ , 使当0 <| x x0 |< δ时 恒有 | f ( x ) A |< ε 再由 lim xn = an→ ∞

则对上述 δ > 0, N ,

使当n > N时又 xn ≠ a

有 | xn a |< δ

0 <| xn a |< δ

故 | f ( xn ) A |< ε

lim f ( xn ) = An→ ∞

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设对 xn , xn → a , xn ≠ a

都有

lim f ( xn ) = An→ ∞

要证 lim f ( x ) = A x→a→ x→a

用反证法

若 lim

f ( x ) ≠ A

即 ε 0使对 δ,都有 xδ 满足 0 <| x xδ |< δ 但 | f ( xδ ) A |≥ ε 0

1 1 现取 δ = 有 xn 满足 0 <| xn a |< n n 但 | f ( xn ) A |≥ ε 0 即 xn → a , xn ≠ a此与 lim f ( xn ) = A 矛盾n→ ∞

lim f ( x ) = Ax →a

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1 例7 证明limsin 不存在 . x→0 → x 1 证 取 {x n } = , nπ lim x n = 0, 且 x n ≠ 0;n→ ∞

y = sin

1 x

1 取 {x ′ } = , lim xn = 0, 且 xn ≠ 0; ′ ′ n 4n + 1 n→ ∞ π 2 1 而 lim sin = lim sin nπ n→ ∞ x n n→ ∞ 1 4n + 1 = lim 1 = 1, 而 lim sin = lim sin π n→ ∞ n→ ∞ x ′ n→ ∞ 2 n 1 二者不相等, 二者不相等 故 lim sin 不存在. x→0 → x

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1.定义 定义: 定义

极限为零的变量称为无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小

么小), 定义 1 如果 于 对 任意给 定的正 ε(不 它多 数 论 么小), ),使得对于适合不等式 总存在正数δ ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式

0 < x x0 < δ (或 x > X )的一切x ,对应的函数值f (x)都满足不等式 f (x) < ε,那末 称函数 f (x)当x → x0(或x → ∞)时为 无穷小 记作x→x0

lim f ( x) = 0 (或lim f ( x) = 0).x→∞

例如, 例如∵ lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小.x→0

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1 ∵ lim = 0, x→∞ x

1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x

( 1) n ( 1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n

注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 称函数为无穷小， 称函数为无穷小 变化过程； 变化过程； 2.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小的数混淆 无穷小是变量 不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数

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2.无穷小与函数极限的关系 无穷小与函数极限的关系: 无穷小与函数极限的关系理1 定 1 理x→x0

lim f ( x) = A f ( x) = A + α( x),

时的无穷小. 其中α(x)是当x → x0时的无穷小证 必要性 设 lim f ( x ) = A, 令 α( x ) = f ( x ) A, x→ x0

则有 lim α( x ) = 0,x → x0

∴ f ( x ) = A + α( x ).

充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.x → x0 x → x0x → x0

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将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 将一般极限问题转化为特殊极限问题 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷 小);

2.给出了函数 f ( x )在 x 0附近的近似表达式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).

3.无穷小的运算性质 无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两

个无穷小 ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得

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定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设函数u在U 0 ( x 0 , δ 1 )内有界， 内有界，

则 M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x x 0 < δ 1时 恒有 u ≤ M .

又设α是当x → x 0时的无穷小,∴ ε > 0, δ 2 > 0, 使得当0 < x x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M

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