2018年选修4-5《二维形式的柯西不等式》第二课时参考教案

3.1 二维形式的柯西不等式（二）

教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.

教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程： 一、复习准备：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？

答案：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2；x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2 2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y?x?1?2?x的最大值? 要点：利用变式|ac?bd|?a2?b2二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值：

① 出示例1：求函数y?3x?1?10?2x的最大值？

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y?3x?1?10?2x → 推广：

y?abx?c?de?fx,(a,b,c,d,e,f?R?)

c2?d2. ② 练习：已知3x?2y?1，求x2?y2的最小值. 解答要点：（凑配法）x2?y2?1211(x?y2)(32?22)?(3x?2y)2?. 131313 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：

① 出示例2：若x,y?R?，x?y?2，求证：?1x1?2. y分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点：?1x11111112?(x?y)(?)?[(x)2?(y)2][()2?()]?… y2xy2xy 1 / 2

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a、b?R?，求证：(a?b)(?)?4. 3. 练习：

① 已知x,y,a,b?R?，且?axbyaxb?1，则x?y的最小值. y1a1b 要点：x?y?(?)(x?y)?…. → 其它证法

② 若x,y,z?R?，且x?y?z?1，求x2?y2?z2的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）

变式：若x,y,z?R?，且x?y?z?1，求x?y?z的最大值.

3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：

1. 练习：教材P37 8、9题 2. 作业：教材P37 1、6、7题

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