数学建模第二次作业(3)

数

学 建 模

任意两个城市之间的最廉价路线

参与人员信息 ：

2012 年 6 月 6 日

一、问题提出

某公司在六个城市C1、C2、C3、C4、C5、C6中都有分公司，从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行、第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表，试做出这样的表来。

0 50 ∞ 40 25 10 50 0 15 20 ∞ 25

∞ 15 0 10 20 ∞

40 20 10 0 10 25 25 ∞ 20 10 0 55 10 25 ∞ 25 55 0

二 、问题分析

若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通

常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题———求图中所有的最短路径。

题中要求算出一张任意城市间的最廉价路线表，属于全局最短路问题，并且使得该公司总经理能够与各个子公司之间自由往返。（此两点为主要约束条件） Floyd算法，具体原理如下：

（1） 我们确定本题为全局最短路问题，并采用求距离矩阵的方法

根据路线及票价表建立带权矩阵W，并把带权邻接矩阵我w作为距离矩阵的初始值，即D(0)?(dij(0))v?v?W

（2）求路径矩阵的方法

在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R，R?(rij)v?v，rij的含义是从vi到vj的最短路径要经过点号为rij的点。

（3）查找最短路径的方法

若rij(v)?p1，则点p1是点i到j的最短距离的中间点，然后用同样的方法再分头查找。

三、 模型假设：

1.各城市间的飞机线路固定不变 2.各城市间飞机线路的票价不改变 3.忽略乘客除票价以外的各项开销费用

4.不考虑雷雨云、低云、大风、雷暴、冰雹等主要天气因素对飞行的影响。

四、 模型建立

建立带权邻接矩阵：

根据飞机路线及票价表建立带权邻接矩阵， 在带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出 6 个矩阵。

采用floyd算法步骤为:

Di,j:i到j的最短距离

Ri,j：i到j之间的插入点

输入带权邻接距阵 w

(1)赋初值：对所有i,j,wi,j?di,j,j?ri,j,k?1. (2)更新Di,j,Ri,j:对所有i,j若di,k?dk,j?di,j，则 di,k?dk,j?di,j,k?ri,j.

(3)若k?v,停止；否则k?1?k，转（2）.

运行程序得：

D (1)

(2)(3) 、

、 D D

(4)

（ 5）

、 D 、 D

D

（6）

，

使最后得到的矩阵 D ( 6 ) 为飞机的最廉价矩阵。

五、 模型求解结果

根据模型求解，分析得出任意两个城市之间最廉价线路及票价为：

C1→C2: 1→6→2；35

C1→C3:1→5→3,1→6→4→3;45 C1→C4:1→6→4，1→5→4﹔35 C1→C5∶1→5﹔25 C1→C6:1→6﹔10 C2→C3∶2→3﹔15 C2→C4∶2→4﹔20 C2→C5∶2→4→5﹔30 C2→C6∶2→5﹔25 C3→C4∶3→4﹔10

C3→C5∶3→5∶3→4→5﹔20 C3→C6∶3→4→6﹔35 C4→C5∶4→5﹔10 C4→C6∶4→6﹔25 C5→C6∶5→4→6﹔35

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6tcf.html