二元一次方程组学案

第一课 7.1二元一次方程组和它的解

一、情境导入：

问题：暑假里，《新闻晚报》组织了“我们的世界杯”足球邀请赛。勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?又平了几场呢? 请列一元一次方程解决这个问题

解：设这个队胜了x 场，根据题意得：

思考；易知，在这个问题中有二个未知数，能不能分别设为x 和y 呢？这时又得到怎样的方程？

二、知识导学：

1、二元一次方程和二元一次方程组的概念。

提问：由上面问题得到的两个方程有什么共同的特点？（和一元一次方程的概念比较）

概括：

二元一次方程的概念：方程中含有（ ）未知数，并且含有未知数项的次数都是（ ），像这样的（ ）叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

如：???=+=+17

37y x y x

2、二元一次方程组的解。

由导入可知，不管用什么方法，都可求得勇士队胜5场，平2场。即x=5,y=2。这里的x=5与y=2既满足第一个方程x+y=7，又满足第二个方程3x+y=17，我们就说，x=5与y=2是二元一次方程组???=+=+1737y x y x 的解，记作???==2

5y x

一般地，使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

三、实践与应用：

实践1 ：根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或二元一次方程组：（1）甲数的

31比乙数的4倍多8；

（2）摩托车的时速是货车的2

3，它们的时速之和是200千米/小时；

（3）某校现有校舍20000平方米，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%，若建造新校舍的面积是被拆除旧校舍面积的4倍，那么应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？

实践2：方程组??

?=+=-2

123y x y x 的解为（ ）

A ．???==43y x

B 。???==02y x

C 。???==11y x

D 。???-==11y x

实践3：如果???==43y x 是方程组???-=+=-14

254by x y ax 的解，求a-b 的值。

四、反馈训练：

1、下列各式中：（1）3x-y=2 ; (2) 0212=+x y ; (3) y-z=5 ; (4) xy= - 7;

(5) 4x-3y ; (6) 421=-y x

; (7) x+y-z=5 ; (8) 5x+3=x-4y. 属于二元一次方程的个数有（ ）

A ．1个

B 。 2个

C 。 3个

D 。 4个

2、已知方程3x+y=2,当x=2时，y=_____;当y=-1时，x=_____.

3、已知x=1,y=-3满足方程5x-ky=3,则k=_______.

4、写出满足方程2x-3y=17 的三个不同解。除了这三个解外，还有没有其它的解？一般地，一个二元一次方程通常有多少个解？

5、已知有三对数值：??

?-==11y x ???==12y x ???==5

4y x ，哪一对是下列方程组的解？

①???=+=-104332y x y x ②?

??=--=13433y x x y 6、已知???==12y x 是方程组???=+=-31ny x y mx 的解，求2)(n m -的值。

7、一批零件有1500个，如果甲先做4天后，乙加入合作，再做8天正好完成；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做7天也恰好完成。设甲、乙两人每天分别加工零件x 、y 个，请根据题意列出方程组。

五、下一课预习

作业：1、已知3x+y=5,那么y= 2、解二元一次方程组：

?????=-=700

2523y x x y ???=+=+.173,7y x y x

第二课用代入消元法解二元一次方程组（1）

一、复习

1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解?

2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。

二、问题探知：问题：某种时装的价格是某种皮装价格的1.5倍，买5件皮装比2件时装贵700元。求每件时装和皮装的价格？

（1）你能用列方程的方法来解吗？

解：设每件皮装的价格为x元，根据题意，得

（2）能不能列方程组？

解：设每件皮装的价格为x元，时装的价格为y 元。

根据题意，得：

思考：怎样求这个方程组的解？

三、知识导学

1、代入消元法。

由上述问题的讨论中可知y和 ( ) 都表示皮装的价格，所以可以把方程组中

(2)式中的y换成( ) ，变(2)式为关于x的一元一次方程，这样就可以先

解出未知数x的值，然后把x代入(1)式再解出未知数y的值，从而求出方程组的解。

归纳总结：将二元一次方程组其中一个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，然后将它代入另一个方程消去一个未知数，转化为一个一元一次方程，从而求出二元一次方程的解。这样解二元一次方程组的方法叫做“代入消元法”。

尝试练习：1.??

?=++=.83,2|3y x y x 2.???-==-.

57,1734x y y x

2、试一试：解二元一次方程组：???=+=+.173,7y x y x ①

②

3、再试一试：以上将方程①中的y 用x 的代数式来表示，能将x 用y 的代数式来表示后代入②来解吗？ 能将方程②通过变形后代入①来解吗？

4、请你概括一下上面解法的思路，并想想，怎样解方程组：?

??-=+=-.154,

653y x y x

四、实践与应用：

解下列二元一次方程组：

3.???=+-=-.1023,5y x y x

4.???-=-=-.

2.32,872x y y x

五、课堂小结：

1、 代入法解二元一次方程组的基本思想:是将二元一次方程组的其中一个方程

中的一个未知数用( )来表示，通过“( )”另一个方程消去一个未知数，将方程组转化为( )来解，即化“二元”为“一元”的消元方法来解。

2、 用代入法解二元一次方程组的基本思路：先抓住其中未知数系数为( )的

那个二元一次方程，将它用( )的代数式来表示，再代入另一个方程消元转化为一元一次方程来解。

3、 在解决有关数学问题时，我们常常采用化“未知”为“已知”的转化的思想

方法。

六、达标检测：

1、 用含有x 的代数式表示y:

(1) 2x+y=1 (2) y-3x+1=0

2、解方程组：

（1）???=+=32y x y x （2）???-==-x y y x 571734 （3）?

??=+=-18223y x y x

七、下一课预习

1、已知3x-5y=2,那么x=

2、解方程组???=+-=-;

1723,1452y x y x

第3课时 7．2二元一次方程组的解法(2)

一、复习导入

1、已知2x-7y=8,那么x=

2，解下列方程组：

(1) ?

??=-+=010432y x y x （2）???=+=-18223y x y x

二、合作探究

3．解方程组：???=--=-.01083,872y x y x ①②

分析与思考：

(1)这两个方程中未知数的系数都不是1，怎么办?

(2)怎样解这个方程组?

试一试：能否通过先消去y ，得到关于x 的一元一次方程来解呢?

问题2：口答，说明下列方程组可消哪个元，为什么?怎么消?

（1） ??

?=-=+-35201y x y x （2）???-=-=-5.2212753t s t s （3）???=--=-01083872y x y x

问题3．已知关于x 、y 的二元一次方程组???=-=+28by ax by ax 的解为?

??==35y x 求a 、b 的值。

提问：你有没有注意到本题的解法与前面解法的不同点?你能不能用类似的方法先消去b 然后再求a 呢?试一试。

三、实践与应用

1．把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式： （1）4x －y ＝-1； （2）5x －10y ＋15＝0.

2．解下列方程组:

（1）???=+=-;1723,642y x y x （2）???=++=;

2352,53y x x y

（3）???=-=+;153,732y x y x （4）?

??=-=+.2343,553y x y x

四、课堂小结

1．代人法解题的一般步骤。

2，代人法解二元一次方程组的关键是选择哪一个方程变形，消什么元。谈谈自 己的体会。

五、达标检测：

解下列方程组。

（1）???=--=+894132t s t s （2）?

??=+-=-025109743n m n m

（3）?????=+=-9

23143y x y x （4）13253=-=q p q p

六、课后作业：

1、解方程组：（1）?????=+=-4

32225n m n

m

（2）???-=+-=+x y y x 23)2(351)2(4

七、下一课预习

解方程组1、???=+=-3020

y x y x

2、???=+=-40341432y x y x

第4课时 7.2二元一次方程组的解法(3)

一、问题探知：

两个完全相同的塑料杯中盛有相同重量的水，现将第一个杯中的若干重量的水倒入第二个杯中，称得第一个杯子重30克，第二个杯子重70克(塑料杯本身的重量忽略不计)，问原来杯中各盛有多少克水?从第一个杯中倒了多少克水到第二个杯中? 如果将原来杯中盛有的水设为x 克，从第一个杯中倒入第二个杯中的水设为y 克，你能解决上述给出的问题吗?

你有更简捷的思考方法吗?

上面的等式，能由最初方程组中的两个方程变形而来吗?

尝试： ①十②得

尝试：②—①得

由此，你能得上述方程组的新解法了吗?写出你的新解法。

二、知识导学：

问题1：请用新的解法解方程组??

?=-=+235835b a b a ①② 解法一：①+②得

解法二：①—②得，

问题2：解方程组：（1）???=-=+2343553y x y x ①② (2) ???=-=+5

74973y x y x ①②

概括：在前两堂课中，我们是通过“代人”消去一个未知数，将方程组化为一元一次方程来解的。这种解法叫做代入消元法，简称代入法。

而本节课中，我们通过将两个方程相加(或相减)消一个未知数，将方程组化为一元一次方程来解的。这种解法叫做加减消元法，简称加减法。

三、实践与应用：

解下列方程组:

(1)???=-=+1375y x y x (2)?

??=+=-1464534y x y x

(3) ???=-=+1976576y x y x (4)?????=+--=-352

1135.0y x y x

四、课堂小结

1．解二元一次方程组常采用两种方法——（ ）。两种解法的基本 思想都是“（ ）”，将“( )”转化为“一元”。

2．加减法消元的基本思想是通过“( )”，达到化“（ ）”为“一元”，即消元的目的。

3．当方程组中某个未知数的系数（ ）时，应用减法消元。但应注意减式中的各项须变号；当方程组中某个未知数的系数（ ）时，应用加法消元。

五、达标检测：

用加减法解下列方程组。

(1) ???=-=+7283y x y x (2) ?

??=-=+131623n m n m

(3) ???=-=+578774y x y x (4) ???=-=+1321542y x y x

六、课后作业：

1．用加减法解下列方程组：

(1)??

?-==-y x y x 211323 （2）?

??+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x

七、下一课预习 用加减法解方程组?

??=+=-13451023y x y x ①②

第5课时7.2二元一次方程组的解法(4)

一、问题探知：

用加减消元法解下列方程组

（1）???-=-=-582532y x y x （2）?

??=-=+578774b a b a

二、知识导学：

我们可以用代入法来解一般的二元一次方程组，那么是否也可用加减法来解一 般的二元一次方程组呢?

试一试： 用加减法解方程组

(1)???=+-=-10073203y x y x （2）?

??=+=-42651043y x y x ①②

概括：对于一般的二元一次方程组，可将方程变形，(即在方程两边同时乘以某一个

数)，使得方程满足“某个字母的系数相等或互为相反数”这个条件，然后就可以消元了。

2．实践与应用：

用加减消元法解下列方程组。

(1)???=+=-263262y x y x (2)?

??=+=-751424y x y x

(3)???=+=-1732623y x y x (4)???=-=-5

75832x y y x

三、课堂小结

用加减消元法解方程组，首先观察方程组中两方程中相同字母前的系数，判断： ①如果相同或相反，直接加减消元。

②如果有整数倍关系，变形一个方程，让它两边同乘以这个整数倍。

③如果①、②均不满足，两个方程同时变形，注意：①所选系数尽可能简单；②

两方程两边同时扩大到两系数的最小公倍数。

四、反馈检测：

1．填空。

(1) 二元一次方程组?

?

?=+=-31y x y x 的解是_________。 (2) 已知???=+=+8

272y x y x ，则x-y 的值是_______.

(3) 若,34

2=+y x 则2x+y=___;4x+2y=____;___+4y=____;10x+____=_____. (4) 已知方程组???=-=+872y cx by ax 的解为???-==2

3y x ，小李粗心把c 看错，解得

???=-=22y x ，则a+2b-c=_______. 2．用加减法解下列方程组。

（1）???-=-=+1392a x a x （2）???=--=--0

23256017154y x y x

五、布置作业：

1．用加减消元法解下列方程组。

（1）??

?-=-=+22223n m n m （2）???=--=-495236y x y x （3）???=-=+2463247y x y x

（4）???=+-=+7

43125b a b a （5）2x-3y=4x-5y=6

六、下一课预习

用适当的方法解下列方程组：

（1）?

??=+=-11521

2y x y x （2）???=+=+953532y x y x

第6课时 7.2二元一次方程组的解法(5)

一、问题探索：

解二元一次方程组的基本思想是（ ），把“二元一次方程组”’转化为“ （ ）”，基本方法是“（ ）”和“（ ）”。

本节课就让我们运用自己的智慧，在面临解决不同类型的方程组时，灵活地选用适当的方法来解决。

问题： 用适当的方法解下列方程组：

（1）???=+=-853

1

2y x y x

（2）???=+=+954532y x y x

（3）?

??-=+=+1579

39y x y x

（5）???=-++=-++39)(10)(23)(5)(4y x y x y x y x

二、综合探究：

问题1：下列方程组将如何求解？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/75pq.html