2013西城区二模数学理科试题(含答案)

北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（理科） 2013.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集U {0,1,2,3,4}，集合A {0,1,2,3}，B {2,3,4}，那么ðU(A B) （A）{0,1} （B）{2,3} （C）{0,1,4} （D）{0,1,2,3,4} 2．在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1,1)，z2的对应点是Z2(1, 1)，则z1 z2 （A）1 （B）2 （C） i （D）i

3．在极坐标系中，圆心为(1, 2

)，且过极点的圆的方程是

（A） 2sin （B） 2sin （C） 2cos （D） 2cos 4．如图所示的程序框图表示求算式“2 3 5 9 17” 之值， 则判断框内可以填入

（A）k 10 （B）k 16 （C）k 22 （D）k 34 5．设a 21，b ，c log32，则

（A）b a c （B）a b c （C）c b a （D）c a b 6．对于直线m，n和平面 ， ，使m 成立的一个充分条件是 （A）m n，n∥ （B）m∥ ，

（C）m ，n ，n （D）m n，n ，

7．已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是

（A

）

4 （B

）2

（C

（D

）8．已知函数f(x) x [x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x) kx k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是

（A）[ 1, 1) (1,1] （B）( 1, 1] [1,1243243)

（C）[ 13, 14) (12,1] （D）( 13, 14] [1

2

,1)

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x甲和x乙，则 x甲______x乙． （填入：“ ”，“ ”，或“ ”） 10．(2x 1)5的展开式中x3

项的系数是______．（用数字作答） 11．在△ABC中，BC

2，AC ，B

3

，则AB ______；△ABC的面积是______．

12．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD PD．若PC 4，PB 2，则CD ______．

13．在等差数列{an}中，a2 5，a1 a4 12，则an ______；设bn

1a2

(n N*

)，则数列{bn}的前n项和Sn ______． n 1

14．已知正数a,b,c满足a b ab，a b c abc，则c的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 如图，在直角坐标系xOy中，角 的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且 ,

)．将角 的终边按逆时针方向旋转

623

，交单位圆于点B．记A(x1,y1),B(x2,y2)．

（Ⅰ）若x1

1

3

，求x2； （Ⅱ）分别过A,B作x轴的垂线，垂足依次为C,D．记△AOC 的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1 2S2，求角 的值．

16．（本小题满分13分）

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）

如图1，四棱锥P ABCD中，PD 底面ABCD，面ABCD是直角梯形，

M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：BC 平面PBD； （Ⅱ）证明：AM∥平面PBC； （Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为4

？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

如图，椭圆C:x2

y2

m

1(0 m 1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．

（Ⅰ）若点P

的坐标为(95,5

，求m的值； （Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP OM，求m的取值范围．

19．（本小题满分14分） 已知函数f(x)

23

x3

2x2 (2 a)x 1，其中a R． （Ⅰ）若a 2，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）

已知集合Sn {(x1,x2, ,xn)|x1,x2, ,xn是正整数1,2,3, ,n的一个排列}(n 2)，函数

g(x)

1,x 0,

1,x 0.

对于(a1,a2,…an) Sn，定义：bi g(ai a1) g(ai a2) g(ai ai 1),i {2,3, ,n}，b1 0，称bi为ai的满意指数．排列b1,b2, ,bn为排列a1,a2, ,an的生成列；排列a1,a2, ,an为排列b1,b2, ,bn的母列．

（Ⅰ）当n 6时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0, 1,2, 3,4,3的母列；

（Ⅱ）证明：若a1,a2, ,an和a1

,a2 , ,an 为Sn中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于Sn中的排列a1,a2, ,an，定义变换 ：将排列a1,a2, ,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换 将

排列a1,a2, ,an变换为各项满意指数均为非负数的排列．

北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． ； 10．80； 11．3

，

2

； 12．125； 13．2n 1，n44(n 1)； 14．(1,3]．

注：11、13题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x

1 cos ，x2 cos( 3

)． 2分

因为 6, 1

2)，cos 3

，

所以

sin 3

． 3分

所以

x 2 cos( )

11 32cos 2

6

． 5分 （Ⅱ）解：依题意得 y

1 sin ，y2 sin( 3

)． 所以 S11

2x12 sin 1

1y1 cos4sin2 ， 7分S 12|xy1 12

22|2 2[ cos( 3)] sin( 3) 4sin(2 3

)． 9分

依题意得 sin2 2sin(2 2

3

)， 整理得 cos2 0． 11分 因为 6 2， 所以 3 2 ，所以 2

2， 即 4

． 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A， 1分

则 P(A) A2

3A 1

13，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为． 4分44

4

（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20． 5分

1A2P(X 0) 4， P(X 5) 21

A2

， 46

P(X 10) 1A2 A2

21C122

1A2 3 ， P(X 15) 3

， 4A46A46

A3P(X 20) 31

A4

． 10分

44

X 11分

EX 0 14 5 16 10 16 15 16 20 1

4

10． 13分

17．（本小题满分14分）

【方法一】

（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2

BC2

CD2

， 所以 BC BD． 1分 又因为 PD 平面ABCD，

所以 BC PD， 3

分 所以 BC 平面PBD． 4分 （Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ:PC 1:4，连结

MQ，BQ． 5分

由左视图知 PM:PD 1:4，所以 MQ∥CD，MQ

1

4

CD． 6分 在△BCD中，易得 CDB 60 ，所以 ADB 30

．又 BD 2， 所以AB 1， AD 又因为 AB∥CD，AB

1

4

CD，所以 AB∥MQ，AB MQ． 所以四边形ABQM为平行四边形，所以 AM∥BQ． 8分 因为 AM 平面PBC，BQ 平面PBC， 所以 直线AM∥平面PBC． 9分

（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为

3

4

．证明如下： 10分 因为 PD 平面ABCD，DA DC，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz． 所以 D(

0,0,0),A(3,0,0),B(3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3)． 设 N(0,t,0)，其中0 t 4． 11分 所以

( ,0,3)， ( 3,t 1,0)．

要使AM与BN所成角的余弦值为|AM4，则有 |AM BN

||BN|| 4

， 12分

所以

|3|2 3 (t 1)2

3

4

，解得 t 0或2，均适合0 t 4． 13分 故点N位于D点处，此时CN 4；或CD中点处，此时CN 2，有AM与BN所成角的余弦值为

3

4

． 14分 【方法二】

（Ⅰ）证明：因为PD 平面ABCD，DA DC，建立如图所示 的空间直角坐标系D xyz．

在△BCD中，易得 CDB 60

，所以 ADB 30

， 因为 BD 2， 所以AB 1，

AD 由俯视图和左视图可得：

D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3),P(0,0,4)．

所以 ( ,3,0)， (,1,0)．

因为 3 3 1 0 0 0，所以BC BD． 2分 又因为 PD 平面ABCD，所以 BC PD， 3分

所以 BC 平面PBD． 4分

（Ⅱ）证明：设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则有 n PC 0,

n BC 0.

因为 ( ,3,0)， (0,4, 4)，

所以

4y 4z 0, 取

3y 0.y 1，得n (,1,1)． 6分

因为 ( ,0,3)，所以 n

( 3) 1 0 1 3 0． 8分 因为 AM 平面PBC，

所以 直线AM∥平面PBC． 9分

（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为

3

4

．证明如下： 10分 设 N(0,t,0)，其中0 t 4． 11分 所以 ( ,0,3)， ( 3,t 1,0)． 要使AM与BN所成角的余弦值为

4，则有 4

， 12分 所以

|3|23 3 (4

，解得，均适合 t 1)2

t 0或20 t 4． 13分故点N位于D点处，此时CN 4；或CD中点处，此时CN 2，有AM与BN所成角的余弦值为

4

． 14分 18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，M是线段AP的中点，因为A(

1,0)，P(95,

5

，

所以 点M

的坐标为(25,

5

． 2分

由点M在椭圆C上，

所以

412

25 25m

1， 4分 解得 m 4

7

． 5分

（Ⅱ）解：设M(x2y20

0,y0)，则 x0

m

1，且 1 x0 1． ① 6分

因为 M是线段AP的中点，所以 P(2x0 1,2y0)． 7分 因为 OP OM，

所以 x0(2x0 1) 2y2

0 0．

② 8分

由 ①，② 消去y2x20 x0

0，整理得 m 2x2

． 10分

0 2

所以

m 1

1

2(x0 2)

x0 2

1， 12分 82上的最小值是f(2)

7

2a；最大值是f(3) 7 3a． 10分 3

② 当2 a 8时，x1 2 x2 3，此时f(x)在区间(2,x2)上单调递减，在区间(x2,3)上单调递增，

1当且仅当

x0 2 所以 m

的取值范围是(0,． 13分

219.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：f(x)的定义域为R， 且 f (x) 2x2 4x 2 a． 2分 当a 2时，f(1)

1

3

，f (1) 2， 所以曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y 1

3

2(x 1)， 即 6x 3y 5 0． 4分 （Ⅱ）解：方程f (x) 0的判别式为 8a．

（ⅰ）当a 0时，f (x) 0，所以f(x)在区间(2,3)上单调递增，所以f(x)在区间[2,3] 上的最小值是f(2)

7

3

2a；最大值是f(3) 7 3a． 6分 （ⅱ）当a 0时，令f (x) 0，得

x1 1

x2 1 ． f(x)和f (x)的情况如下：

故f(x)的单调增区间为( ,1，(1

)；单调减区间为(1． 8分

① 当0 a 2时，x2 2，此时f(x)在区间(2,3)上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]

所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是 f(x52) 3 a

3

． 11分 因为 f(3) f(2) 14

3

a， 所以 当2 a

143时，f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(3) 7

3a；当

14

3

a 8时，f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(2) 7

3

2a． 12分

③ 当a

8时，x1 2 3 x2，此时f(x)在区间(2,3)上单调递减， 所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是f(3) 7 3a；最大值是f(2) 7

3

2a． 14分 综上，

当a 2时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是

7

3

2a，最大值是7 3a； 当2 a

143时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是53 a7 3a； 当

143 a 8时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是573 a3 2a；

当a 8时，f(x)在区间[2,3]上的最小值是7 3a，最大值是7

3

2a． 20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：当n 6时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1, 2,1,4, 3； 2分 排列0, 1,2, 3,4,3的母列为3,2,4,1,6,5． 3分

（Ⅱ）证明：设a1,a2, ,an的生成列是b1,b2, ,bn；a1

,a2 , ,an 的生成列是与b1 ,b2 , ,bn ． 从右往左数，设排列a1,a2, ,an与a1

,a2 , ,an 第一个不同的项为ak与ak ，即：an an ，an 1 a n

1， ，ak 1 ak 1，ak ak ． 显然 bn b n

，bn 1 bn 1， ，bk 1 bk 1，下面证明：bk bk ． 5分

由满意指数的定义知，ai的满意指数为排列a1,a2, ,an中前i 1项中比ai小的项的个数减去比ai大的项的个数．

由于排列a1,a2, ,an的前k项各不相同，设这k项中有l项比ak小，则有k l 1项比ak大，从而

bk l (k l 1) 2l k 1．

同理，设排列a1

,a2 , ,an 中有l 项比ak 小，则有k l 1项比ak 大，从而bk 2l k 1． 因为 a1,a2, ,ak与a1

,a2 , ,ak 是k个不同数的两个不同排列，且ak ak ， 所以 l l ， 从而 bk b k

． 所以排列a1,a2, ,an和a1

,a2 , ,an 的生成列也不同． 8分 （Ⅲ）证明：设排列a1,a2, ,an的生成列为b1,b2, ,bn，且ak为a1,a2, ,an中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1 0,b2 0, ,bk 1 0,bk 1． 9分 进行一次变换 后，排列a1,a2, ,an变换为ak,a1,a2, ak 1,ak 1, ,an，设该排列的生成列为

b1 ,b 2

, ,bn ． 所以 (b1

b2 bn ) (b1 b2 bn) [g(a1 ak) g(a2 ak) g(ak 1 ak)] [g(ak a1) g(ak a2) g(ak ak 1)] 2[g(ak a1) g(ka 2a) gk(a k1

a ) ]2bk 2． 11分 因此，经过一次变换 后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为ai的满意指数bi i 1，其中i 1,2,3, ,n，

所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1 2 3 (n 1) (n 1)n

2

，

即整个排列的各项满意指数之和为有限数，

所以经过有限次变换 后，一定会使各项的满意指数均为非负数． 13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ia1.html